苏教版 必修第一册 第6章 幂函数、指数函数、对数函数 章节测试卷 （解析版）

必修第一册 第6章 幂函数、指数函数、对数函数 单元测试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
2．已知幂函数f（x）＝xa，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
3．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B． C．y＝x2+x+1 D．
4．已知f（3x）＝4x?log2x，那么的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．8（log23﹣1） D．
5．若关于x的方程|ax﹣1|＝2a（a＞0，a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，）
6．若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lgx）的解集是（　　）
A．（0，10） B．（，10）
C．（，+∞） D．（0，）∪（10，+∞）
7．已知函数f（x）＝是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（，] C． D．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a＝f（﹣），b＝f（log3），c＝f（），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
二、多选题
9．设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列命题中正确的是（　　）
A．f（x1+x2）＝f（x1）?f（x2）
B．f（x1?x2）＝f（x1）+f（x2）
C．
D．＜
10．在同一直角坐标系中，函数y＝ax，且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．关于函数f（x）＝log|x﹣1|，有以下四个命题，其中所有正确命题的选项是（　　）
A．函数f（x）在区间（﹣∞，1）上是单调增函数
B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．函数f（x）的定义域为（1，+∞）
D．函数f（x）的值域为R
12．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过函数且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）具有的特性是（　　）
A．在定义域内单调递减 B．图象过定点（1，1）
C．是奇函数 D．其定义域是R
三、填空题
13．函数f（x）＝ax﹣1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是　 　．
14．函数f（x）＝log5（2x+1）的单调增区间是　 　．
15．函数y＝的值域是　 　．
16．若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1]，恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
四、解答题
17．已知函数f（x）＝．
（1）如果x∈[﹣1，1]时，求函数y＝（f（x））2﹣2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）若a∈[﹣4，4]时，在（1）的条件下，求y（a）的值域．
18．已知x＞1，且x≠，f（x）＝1+logx3，g（x）＝2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小．
19．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（6﹣2x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数φ（x）＝f（x）+g（x）的定义域；
（2）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．
22．如图，A，B，C是函数y＝f（x）＝logx图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（t≥1）．
（1）设△ABC的面积为S，求S＝g（t）；
（2）若函数S＝g（t）＜f（m）恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．
解：a＝log20.2＜log21＝7，
b＝20.2＞20＝1，
∴c＝0.70.3∈（0，1），
故选：B．
2．已知幂函数f（x）＝xa，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【分析】x＞1时，f（x）＜x恒成立转化为xa﹣1＜x0恒成立，借助指数函数单调性可求a的取值范围．
解：当x＞1时，f（x）＜x恒成立，即xa﹣1＜1＝x0恒成立，
因为x＞1，所以a﹣1＜0，解得a＜1，
故选：B．
3．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）
A． B． C．y＝x2+x+1 D．
【分析】选项A可以化为一个指数函数，值域即可求得；选项B含有根式，且根号内部的值不回答语1，断定值域不符合要求；
选项C配方后可求值域；选项D的指数不会是0，所以之于众不含1．
解：＝＝，此函数为指数函数，定义域为R，所以值域为（0，+∞）；
不会大于5，所以其值域不是（0，+∞）；
所以的值域不是（0，+∞）．
故选：A．
4．已知f（3x）＝4x?log2x，那么的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．8（log23﹣1） D．
【分析】直接利用函数的解析式，代入求解函数值即可．
解：f（3x）＝4x?log2x，那么＝f（3×）＝?log2＝﹣2．
故选：A．
5．若关于x的方程|ax﹣1|＝2a（a＞0，a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1）∪（1，+∞） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，）
【分析】先画出a＞1和0＜a＜1时的两种图象，根据图象可直接得出答案．
解：据题意，函数y＝|ax﹣1|（a＞0，a≠1）的图象与直线y＝2a有两个不同的交点．
a＞3时
由图知，0＜2a＜1，所以a∈（0，），
故选：D．
6．若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lgx）的解集是（　　）
A．（0，10） B．（，10）
C．（，+∞） D．（0，）∪（10，+∞）
【分析】由于偶函数f（x）在（﹣∞，0]内单调递减故f（x）在（0，+∞）内单调递增，利用函数的性质可得等价于|lgx|＞|﹣1|，从而解得x的范围．
解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（|x|），
因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，
故选：D．
7．已知函数f（x）＝是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（，] C． D．
【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．
解：若f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，
则满足，
故选：B．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a＝f（﹣），b＝f（log3），c＝f（），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，化简a，b，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系．
解：a＝f（﹣）＝f（），b＝f（log3）＝f（log32），c＝f（），
∵0＜log32＜1，1＜＜，∴＞＞log32．
∴a＞c＞b，
故选：C．
二、多选题
9．设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列命题中正确的是（　　）
A．f（x1+x2）＝f（x1）?f（x2）
B．f（x1?x2）＝f（x1）+f（x2）
C．
D．＜
【分析】根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对各命题进行逐一进行判定即可．
解：＝，所以A成立，
+≠，所以B不成立，
若x1＞x2则f（x1）＞f（x2），则，
说明函数是凹函数，而函数f（x）＝2x是凹函数，故D正确
故选：ACD．
10．在同一直角坐标系中，函数y＝ax，且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行分析即可得解．
解：选项A、B，∵指数函数单调递增，∴a＞1，∴对数函数单调性递减，∴A正确，B错误；
选项C、D，∵指数函数单调递减，∴0＜a＜1，∴对数函数单调性递增，∴C正确，D错误．
故选：AC．
11．关于函数f（x）＝log|x﹣1|，有以下四个命题，其中所有正确命题的选项是（　　）
A．函数f（x）在区间（﹣∞，1）上是单调增函数
B．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．函数f（x）的定义域为（1，+∞）
D．函数f（x）的值域为R
【分析】首先画出函数的图象，进一步利用函数的图象求出函数的单调区间，函数的对称轴，函数的定义域和值域，最后判定结果．
解：函数f（x）＝log|x﹣1|，是由函数f（x）＝log|x|的图象向右平移8个单位得到的，
如图所示：
根据函数的图象：对于A：函数f（x）在区间（﹣∞，1）上是单调增函数，正确．
对于C：函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），错误．
故选：ABD．
12．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过函数且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）具有的特性是（　　）
A．在定义域内单调递减 B．图象过定点（1，1）
C．是奇函数 D．其定义域是R
【分析】根据指数函数的性质求得g（x）的图象恒过的定点，可得f（x）的解析式，再判断f（x）具有的性质即可．
解：在函数g（x）＝ax﹣2﹣中，
令x﹣2＝6，解得x＝2，
所以函数g（x）的图象过定点P（2，）；
得2a＝，解得a＝﹣4；
所以f（x）在定义域内的每个区间上是单调减函数，选项A正确；
函数的定义域是{x|x≠0}，所以选项D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．函数f（x）＝ax﹣1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是　（1，4）　．
【分析】通过图象的平移变换得到f（x）＝ax﹣1+3与y＝ax的关系，据y＝ax的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）
解：f（x）＝ax﹣1+3的图象可以看作把f（x）＝ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，
且f（x）＝ax一定过点（0，8），
故答案为：（1，4）
14．函数f（x）＝log5（2x+1）的单调增区间是　（﹣，+∞）　．
【分析】要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．
解：要使函数的解析有有意义
则2x+1＞0
由于内函数u＝7x+1为增函数，外函数y＝log5u也为增函数
故函数f（x）＝log5（2x+1）的单调增区间是 （﹣，+∞）
故答案为：（﹣，+∞）
15．函数y＝的值域是　（﹣2，﹣1]　．
【分析】根据指数函数的单调性判断每段函数的单调性，根据单调性即可得出每段的y的范围，从而得出y的范围，即得出原函数的值域．
解：①x≤1时，y＝3x﹣1﹣7单调递增；
∴﹣2＜y≤31﹣1﹣2＝﹣1；
②x＞1时，y＝31﹣x﹣5单调递减；
﹣2＜y＜31﹣1﹣4＝﹣1；
∴该函数的值域为（﹣2，﹣1]．
故答案为：（﹣2，﹣1]．
16．若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1]，恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1]　．
【分析】不等式lg≥（x﹣1）lg3可整理为a≤＝（）x+（）x，然后转化为求函数y＝（）x+（）x在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．
解：不等式lg≥（x﹣4）lg3，
即不等式lg≥lg2x﹣1，
∵y＝（）x+（）x在（﹣∞，1）上单调递减，
∴要使原不等式恒成立，只需a≤1，
故选：D．
四、解答题
17．已知函数f（x）＝．
（1）如果x∈[﹣1，1]时，求函数y＝（f（x））2﹣2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）若a∈[﹣4，4]时，在（1）的条件下，求y（a）的值域．
【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质即可求函数y＝（f（x））2﹣2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）根据函数的单调性即可得到结论．
解：令t＝，∵x∈[﹣1，1]，
∴t∈[，3]，则函数等价为y＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2+4﹣a2，
当≤a≤3，函数的最小值为y（a）＝6﹣a2，
故y（a）＝．
f（4）＝12﹣6×4＝12﹣24＝﹣12，
即y（a）∈[﹣12，]
故函数y（a）的值域为[﹣12，]．
18．已知x＞1，且x≠，f（x）＝1+logx3，g（x）＝2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小．
【分析】利用作差法，得出f（x）﹣g（x）＝logx，讨论x的取值，从而判断f（x）与g（x）的大小．
解：∵f（x）﹣g（x）＝（1+logx3）﹣2logx2＝logx，
且x＞1，x≠；
5+logx3＞2logx2，
当0＜＜5，即1＜x＜时，有logx＜8，
f（x）＜g（x）；
1＜x＜时，f（x）＜g（x）．
19．若不等式x2﹣logmx＜0在（0，）内恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，利用数学结合得出0＜m＜1，只要x＝时，y＝logm≥，进而求出a的范围．
解：由x2﹣logmx＜0，得x6＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示
∵x＝时，y＝，
∴≤，即m≥
∴≤m＜2
即实数m的取值范围为≤m＜1．
20．已知函数f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）当x＜0时，f（x）＝0≠2，舍去；当x≥0时，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2?2x﹣1＝0，2x＞0．基础即可得出．
（2）当t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0，即+m≥0，即 m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．化简解出即可得出．
解：（1）当x＜0时，f（x）＝0≠2，舍去；
当x≥5时，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2?7x﹣1＝0，2x＞0．
∴x＝．
即 m（27t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．
∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．
故m的取值范围是[﹣5，+∞）．
21．已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（6﹣2x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数φ（x）＝f（x）+g（x）的定义域；
（2）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．
【分析】（1）直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案；
（2）分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
【解答】解（1）由，解得1＜x＜3．
∴函数?（x）的定义域为{x|1＜x＜3}；
②当a＞1时，不等式等价于，解得：；
②当0＜a＜1时，不等式等价于，解得：．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为（6，]；
当0＜a＜1，不等式的解集为[）．
22．如图，A，B，C是函数y＝f（x）＝logx图象上的三点，它们的横坐标分别是t，t+2，t+4（t≥1）．
（1）设△ABC的面积为S，求S＝g（t）；
（2）若函数S＝g（t）＜f（m）恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）过点A，B，C分别垂直于x轴于点D，E，F．先写出A，B，C坐标，再用坐标表示得S＝S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S梯形ACFD＝log2．
（2）由于g（t）在[1，+∞）上单调递减，推出g（t）max＝g（1）＝log2，若g（t）＜f（m）恒成立，即g（t）max＝log2＜log2，
解得m取值范围．
解：（1）过点A，B，C分别垂直于x轴于点D，E，F．
A（t，logt），B（t+2，log（t+2）），C（t+4，log（t+4））
＝+﹣
＝log
＝log2（1+），
所以g（t）max＝g（1）＝log2，
所以g（t）max＝log2＜f（m）＝logm＝log2，
所以4＜m＜．