苏教版 必修第一册 第2章 常用逻辑用语 章节测试卷 （解析版）

必修第一册 第2章 常用逻辑用语 单元测试卷
一、选择题（共8小题）.
1．下列语句中，是命题的个数是（　　）
①|x+2|；②﹣5∈Z；③π?R；④{0}∈N．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设命题p：?n0∈N，＞，则￢p为（　　）
A．?n?N，n2≤2n B．
C．?n∈N，n2≤2n D．
4．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（　　）
A．“?x0∈R使得x02+x0+1≥0”
B．“?x0∈R使得x02+x0+1＞0”
C．“?x∈R，使得x2+x+1≥0”
D．“?x∈R，使得x2+x+1＞0”
6．命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）
A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0，x2≥0
C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤0
7．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
8．“a＜0”是“方程ax2+1＝0至少有一个负根”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
10．下列命题中的真命题是（　　）
A．?x∈R，使得x﹣2＞lnx
B．?x，y∈R，都有x2+y2≥2x﹣2y﹣3
C．命题“?x＞0，x2+x＞0”的否定是“?x＞0，x2+x≤0”
D．“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1＝0无实根”的充分不必要条件
11．下列命题中的假命题是（　　）
A．?x∈R，x2+|x|≥0 B．?x∈N*，（x﹣1）2＞0
C．?x∈R，x2+x+1＝0 D．?x∈R，
12．下列说法正确的是（　　）
A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
B．命题p：?x∈R，x2＞0，则￢p：?x∈R，x2＜0
C．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题
D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件
E．面积相等的三角形相似
三、填空题
13．若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　 　．
14．已知命题p：?x∈R，x2+x﹣1＜0则命题￢p是　 　．
15．用量词符号“?，?”表示下列命题：
（1）有的实数不能写成小数形式：　 　；
（2）凸n边形的外角和等于2π：　 　．
16．设p：x＞2或；q：x＞2或x＜﹣1，则￢p是￢q的　 　条件．
四、解答题
17．用符号“?”“?”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；
（4）存在实数x，使得x3＞x2．
18．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：?m∈R，方程x2+x﹣m＝0必有实根；
（2）q：?x∈R，使得x2+x+1≤0．
19．选择合适的量词（?、?），加在p（x）的前面，使其成为一个真命题：
（1）x＞2；
（2）x2≥0；
（3）x是偶数；
（4）若x是无理数，则x2是无理数；
（5）a2+b2＝c2．（这是含有三个变量的语句，用p（a，b，c）表示）
20．已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
21．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
22．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c＝d﹣b，证明：
（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；
（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．下列语句中，是命题的个数是（　　）
①|x+2|；②﹣5∈Z；③π?R；④{0}∈N．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】用命题的定义，即验证每个语句是否能判断对错，依次验证即可得解
解：①不能判断对错，∴①不是命题
②能判断对错，∴②是命题，且是真命题
③能判断对错，∴③是命题，且是假命题
④能判断对错，∴④是命题，且是假命题
故选：C．
2．设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵6＜x＜5推不出0＜x＜2，
∴0＜x＜5是0＜x＜7的必要不充分条件，
故选：B．
3．设命题p：?n0∈N，＞，则￢p为（　　）
A．?n?N，n2≤2n B．
C．?n∈N，n2≤2n D．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：?n0∈N，＞，则￢p为：?n∈N，n2≤2n．
故选：C．
4．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果
解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，
∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4?ab≤4，
但a+b＝4+＞7，
∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件
故选：A．
5．命题“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（　　）
A．“?x0∈R使得x02+x0+1≥0”
B．“?x0∈R使得x02+x0+1＞0”
C．“?x∈R，使得x2+x+1≥0”
D．“?x∈R，使得x2+x+1＞0”
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．
解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，
即命题的否定是：“?x∈R，使得x2+x+1≥0”
故选：C．
6．命题“?x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）
A．?x≤0，x2＜0 B．?x≤0，x2≥0
C．?x0＞0，x02＞0 D．?x0＜0，x02≤0
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0≤0，使得x72≥0”的否定是?x≤0，x2＜2．
故选：A．
7．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣4，
即“a＞1”是“a2＞7”的充分不必要条件，
故选：A．
8．“a＜0”是“方程ax2+1＝0至少有一个负根”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】“a＜0”?“方程ax2+1＝0至少有一个负根”，“方程ax2+1＝0至少有一个负根”?“a＜0”，由此能求出结果．
解：曲线y＝ax2+1与y轴焦点在（0，2），
所以只要开口向下就能确定有负根，不管对称轴在x正半轴还是负半轴，
方程ax2+1＝0至少有一个负根，
当a＞0时，方程ax2+1＝4无解；
∴“方程ax2+1＝0至少有一个负根”?“a＜0”，
故选：C．
二、多选题
9．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案．
解：∵中“a＝b”?“ac＝bc”为真命题，
但当c＝0时，“ac＝bc”?“a＝b”为假命题，
∵中“a+5是无理数”?“a是无理数”为真命题，
故“a+8是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
“a2＞b2”?“a＞b”也为假命题，
∵中{a|a＜5}?{a|a＜3}，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．
故选：BD．
10．下列命题中的真命题是（　　）
A．?x∈R，使得x﹣2＞lnx
B．?x，y∈R，都有x2+y2≥2x﹣2y﹣3
C．命题“?x＞0，x2+x＞0”的否定是“?x＞0，x2+x≤0”
D．“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1＝0无实根”的充分不必要条件
【分析】A，取特殊值x＝10，判断为正确；B 通过x2+y2﹣（2x﹣2y﹣3）＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+1≥0 判断为正确；C易知正确；D无实根的充要条件是△＝a2﹣4＜0，
解：A，取x＝10，得出?x∈R，使得x﹣2＞lnx A正确
B 因为x2+y2﹣（6x﹣2y﹣3）＝（x﹣1）2+（y﹣1）3+1≥0 所以?x，y∈R，都有x2+y2≥2x﹣6y﹣3正确
D 实系数一元二次方程x2+ax+1＝0无实根的充要条件是△＝a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2，
故选：ABC．
11．下列命题中的假命题是（　　）
A．?x∈R，x2+|x|≥0 B．?x∈N*，（x﹣1）2＞0
C．?x∈R，x2+x+1＝0 D．?x∈R，
【分析】通过函数的值域判断全称命题的真假，判断A；反例判断B；通过判别式以及函数的值域判断C；特例判断D即可．
解：?x∈R，x2+|x|≥0，显然是真命题；
?x∈N*，（x﹣8）2＞0，x＝1时，表达式为2，所以B不正确；是假命题；
?x∈R，，当x＝﹣1时成立，所以D是真命题；
故选：BC．
12．下列说法正确的是（　　）
A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
B．命题p：?x∈R，x2＞0，则￢p：?x∈R，x2＜0
C．命题“若a＞b＞0，则”的否定是假命题
D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件
E．面积相等的三角形相似
【分析】利用充要条件判断A、D；命题的否定形式判断B、C，反例判断E即可．
解：对于A，“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件，满足充分条件的定义，所以A正确；
对于B，命题p：?x∈R，x2＞4，则￢p：?x∈R，x2＜0，不满足命题的否定形式，所以B不正确；
对于D，“a＞b”推不出“a2＞b2”，反之也不成立，所以是既不充分也不必要条件，所以D不正确；
故选：AC．
三、填空题
13．若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　m＞3　．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可．
解：若“x＞3”是“x＞m”的必要不充分条件，
则{x|x＞m}?{x|x＞3}，
即实数m的取值范围是m＞3，
故答案为：m＞3．
14．已知命题p：?x∈R，x2+x﹣1＜0则命题￢p是　?x∈R，x2+x﹣1≥0　．
【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论，写出命题的否定．
解：含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定故
命题p：?x∈R，x2+x﹣1＜0 则命题￢p是?x∈R，x2+x﹣8≥0．
故答案为：?x∈R，x2+x﹣1≥0．
15．用量词符号“?，?”表示下列命题：
（1）有的实数不能写成小数形式：　?x∈R，x不能写成小数形式　；
（2）凸n边形的外角和等于2π：　?n∈N，且n≥3，则凸n边形的外角和等于2π　．
【分析】（1）利用存在量词命题：?x∈M，p（x）；
（2）利用全称量词命题：?x∈M，p（x）．
解：（1）有的实数不能写成小数形式：
?x∈R，x不能写成小数形式；
?n∈N，且n≥3，则凸n边形的外角和等于2π．
（2）?n∈N，且n≥3，则凸n边形的外角和等于2π．
16．设p：x＞2或；q：x＞2或x＜﹣1，则￢p是￢q的　充分不必要　条件．
【分析】可先判p是q的什么条件，也可先写出￢p和￢q，直接判断￢p是￢q的什么条件．
解：由题意q?p，反之不成立，
故p是q的必要不充分条件，
故答案为：充分不必要．
四、解答题
17．用符号“?”“?”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；
（4）存在实数x，使得x3＞x2．
【分析】根据全称量词命题可以表示为“?x∈R，P（x）”，
存在量词命题可以表示为“?x∈R，P（x）”；
分别写出对应的命题即可．
解：对于（1），实数都能写成小数的形式，
即：?x∈R，x可以写出小数的形式；
即：?有序数对（x，y），且x∈R，y∈R，有x+y+3＜0；
即：?x∈R，﹣1×x＝﹣x；
即：?x∈R，x3＞x2．
18．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：?m∈R，方程x2+x﹣m＝0必有实根；
（2）q：?x∈R，使得x2+x+1≤0．
【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
解：（1）￢p：?m∈R．方程x2+x﹣m＝0无实数根；
由于当m＝﹣1时，方程x2+x﹣m＝0的根的判别式△＜0，
（2）￢q：?x∈R，使得x7+x+1＞0；
故其是真命题．
19．选择合适的量词（?、?），加在p（x）的前面，使其成为一个真命题：
（1）x＞2；
（2）x2≥0；
（3）x是偶数；
（4）若x是无理数，则x2是无理数；
（5）a2+b2＝c2．（这是含有三个变量的语句，用p（a，b，c）表示）
【分析】根据全称命题与特称命题的意义即可得出．
解：（1）?x∈R，x＞2．
（2）?x∈R，x8≥0；?x∈R，x2≥2都是真命题．
（4）?x∈R，若x是无理数，则x2是无理数；例如．
（5）?a，b，c∈R，有a2+b2＝c2．
20．已知命题p：x+2≥0且x﹣10≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】先解出￢p，￢q，然后根据￢p是￢q的必要不充分条件，即可得到限制m的不等式，解不等式即可得m的取值范围．
解：命题p：﹣2≤x≤10，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0；
∴￢p：x＜﹣2，或x＞10；￢q：x＜1﹣m，或x＞1+m，m＞0；
∴集合{x|x＜﹣2，或＞10}真包含集合{x|x＜1﹣m，或x＞5+m，m＞0}；
∴解得：m≥9，即实数m的取值范围为[9，+∞）．
21．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：1﹣m2≤x≤1+m2．
（Ⅰ）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分条件，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．
（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．
解：由x2﹣8x﹣20≤5得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，
q：1﹣m2≤x≤2+m2．
则，即，即m4≤3，
即m的取值范围是[，]．
∴q是p的必要不充分条件．
即m的取值范围是m≥3或m≤﹣3．
22．设a，b，c，d均为正数，且a﹣c＝d﹣b，证明：
（Ⅰ）若ab＞cd，则+＞+；
（Ⅱ）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【分析】（Ⅰ）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；
（Ⅱ）先证若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得+＞+；再证若+＞+，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a﹣b|＜|c﹣d|，即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）由（+）2＝a+b+2，
（+）2＝c+d+2，
由ab＞cd，可得（+）8＞（+）2，
（Ⅱ）若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
由a+b＝c+d，可得ab＞cd，
若+＞+，则（+）2＞（+）2，
由a﹣c＝d﹣b，可得a+b＝c+d，
（a﹣b）2＝（a+b）6﹣4ab＜（c+d）2﹣2cd＝（c﹣d）2，
即有+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．