人教A版（2019）必修第一册第4章 对数函数 同步练习卷 （解析版）

对数函数 同步练习卷
一、选择题（共12小题）.
1．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，6） B．[4，6） C．[4，+∞） D．（4，6）
2．函数y＝loga（4x﹣1）（a＞0且a≠1）图象必过的定点是（　　）
A．（4，1） B．（1，0） C．（0，1） D．（，0）
3．已知函数f（x）＝x，x∈[，]，则f（x）的值域是（　　）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
4．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 10 20 39 81 160
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（　　）
A．y＝10x B．y＝5x2﹣5x+10
C．y＝5?2x D．y＝10log2x+10
5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
6．已知函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣8，﹣6] B．（﹣∞，﹣6] C．（﹣8，﹣6] D．
7．对任意实数x，都有loga（ex+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞）
8．若A（a，b），B（e，c）（其中e为自然对数的底数）是f（x）＝lnx图象上不同的两点，则下列各点一定在f（x）图象上的是（　　）
A．（ae，b+1） B．（a+e，b+1） C．（a+e，b） D．（ae，b）
9．若a＞0且a≠1，则“ax＞ay”是“loga|x|＞loga|y|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为4，且函数g（x）＝（1﹣m）ax在R上是减函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞0 D．m＜0
11．在同一直角坐标系中，函数y＝a﹣x，y＝loga（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（　　）
A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．f（x）一定有最小值
C．当a＝0时，f（x）的值域为R
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为　 　．
14．函数f（x）＝log2?log（2x）+log162的最小值为　 　．
15．若函数f（x）＝loga（x+1）+2（a＞0且a≠1），图象恒过定点P（m，n），则m+n＝　 　；函数的单调递增区间为　 　．
16．已知f（x）＝的值域为R，那么a的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝log3．
（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明；
（2）解方程f（2x﹣1）＝0．
18．已知函数，若函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的值域．
19．已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
20．已知函数，函数g（x）＝4x﹣2x+1﹣3．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22．已知实数t满足关系式loga（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）．
（1）令t＝ax，求y＝f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若x∈（0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，6） B．[4，6） C．[4，+∞） D．（4，6）
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
解：由题意得：，
解得：7≤x＜6，
故选：B．
2．函数y＝loga（4x﹣1）（a＞0且a≠1）图象必过的定点是（　　）
A．（4，1） B．（1，0） C．（0，1） D．（，0）
【分析】令对数的真数为1，求得x的值和y的值，即可得到函数图象经过的定点坐标．
解：令4x﹣1＝1，x＝，此时y＝5，故函数的图象经过定点（，0），
故选：D．
3．已知函数f（x）＝x，x∈[，]，则f（x）的值域是（　　）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
【分析】利用对数函数的单调性求解即可．
解：函数f（x）＝x，x∈[，]，是减函数，
所以函数的最小值为：f（）＝＝，
函数的值域为：[，2]．
故选：A．
4．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 10 20 39 81 160
则下列函数模型中能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是（　　）
A．y＝10x B．y＝5x2﹣5x+10
C．y＝5?2x D．y＝10log2x+10
【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可得到答案．
解：对于选项A，当x＝1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，30，40，50，
对于选项B，当x＝3，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，40，70，110，
对于选项D，当x＝1，2，3，4，5时，对应的y的值分别为10，20，10+10log23，30，10+10log28，
通过比较，即可发现选项C中y的值误差最小，即y＝5?2x能更好的反映y与x之间的关系．
故选：C．
5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
解：由题意，可知：
a＝log27＞log24＝2，
c＝0.30.8＜1，
故选：A．
6．已知函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣8，﹣6] B．（﹣∞，﹣6] C．（﹣8，﹣6] D．
【分析】令t＝3x2﹣ax+5，则t＝3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上是增函数，且t＞0，故可建立不等式组，即可得到结论．
解：令t＝3x2﹣ax+5，则t＝3x2﹣ax+8在[﹣1，+∞）上是增函数，且t＞0
∴，∴﹣8＜a≤﹣6
故选：C．
7．对任意实数x，都有loga（ex+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（　　）
A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞）
【分析】根据对数函数的单调性转化为参数恒成立进行求解即可．
解：∵loga（ex+3）≥1＝logaa，
∴若a＞1，则ex+3≥a恒成立，∵ex+8＞3，∴此时1＜a≤3，
综上所述，1＜a≤3，
故选：B．
8．若A（a，b），B（e，c）（其中e为自然对数的底数）是f（x）＝lnx图象上不同的两点，则下列各点一定在f（x）图象上的是（　　）
A．（ae，b+1） B．（a+e，b+1） C．（a+e，b） D．（ae，b）
【分析】由A（a，b），B（e，c）在f（x）＝lnx的图象上，可知b＝lna，c＝lne＝1，结合选项作出判断．
解：∵A（a，b），B（e，c）在f（x）＝lnx的图象上，
∴b＝lna，c＝lne＝1，
∴（ae，b+1）一定在f（x）的图象上，
故选：A．
9．若a＞0且a≠1，则“ax＞ay”是“loga|x|＞loga|y|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合指数函数和对数函数的单调性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若a＞1，由ax＞ay得x＞y，由loga|x|＞loga|y|得|x|＞|y|＞0，则x＞y，无法推出|x|＞|y|＞0，反之也不成立，
若0＜a＜1，由ax＞ay得x＜y，由loga|x|＞loga|y|得|y|＞|x|＞0，则x＜y，无法推出|y|＞|x|＞3，反之也不成立，
故选：D．
10．若函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为4，且函数g（x）＝（1﹣m）ax在R上是减函数，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞0 D．m＜0
【分析】根据f（x）在[2，4]上的最大值为4即可讨论a：a＞1时，可得出loga4＝4，从而求得a＝，满足a＞1，再根据g（x）是R上的减函数即可得出m＞1，同样的方法讨论0＜a＜1即可．
解：∵f（x）在[2，4]上的最大值为4；
∴①a＞1时，loga4＝4；
∴ax在R上是增函数；
∴6﹣m＜0；
②0＜a＜1时，loga4＝2；
∴这种情况不存在；
故选：A．
11．在同一直角坐标系中，函数y＝a﹣x，y＝loga（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；
解：由函数y＝a﹣x，y＝1oga（x+），
当a＞1时，可得y＝a﹣x是递减函数，图象恒过（0，1）点，
当1＞a＞5时，可得y＝a﹣x是递增函数，图象恒过（0，1）点，
∴满足要求的图象为：A，C
故选：AC．
12．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（　　）
A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．f（x）一定有最小值
C．当a＝0时，f（x）的值域为R
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}
【分析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．
解：对于A选项，∵a＝0，∴f（x）＝lg（x2﹣1），即x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1．∴A正确；
对于B选项，令u（x）＝x2+ax﹣a﹣1，则复合函数y＝f（x）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1 复合而成的
对于选项C，当a＝0时，f（x）＝lg（x2﹣1）中的u＝x2﹣1 中的u能够取到所有的正数，∴f（x）的值域为R，∴C选项是正确的；
∴u＝x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上是单调递增的，则有，即a≥﹣8．﹣﹣﹣﹣﹣（1）
∴a＞﹣3，所以，选项D是错误的．
故选：AC．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为　b＞a＞1＞d＞c＞0　．
【分析】利用对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，能判断a，b，c，d与1的大小关系．
解：对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图：
∴b＞a＞1＞d＞c＞0．
故答案为：b＞a＞1＞d＞c＞0．
14．函数f（x）＝log2?log（2x）+log162的最小值为　0　．
【分析】先化简函数为 ，再换元利用二次函数求最小值．
解：由题得 ，
，
，
则 ，
所以当 时，，
故答案为：0．
15．若函数f（x）＝loga（x+1）+2（a＞0且a≠1），图象恒过定点P（m，n），则m+n＝　2　；函数的单调递增区间为　（﹣1，+∞）　．
【分析】令真数等于1，求出x、f（x）的值，可得它的图象经过定点的坐标；根据函数的单调递增区间，即函数y＝x2+nx＝x2+2x的增区间，从而得出结论．
解：∵对于函数f（x）＝loga（x+1）+2（a＞0且a≠1），令x+1＝6，求得x＝0，f（x）＝2，可得它的图象（0，2），
再根据图象恒过定点P（m，n），则 m＝2，n＝2，m+n＝2．
故答案为：2；（﹣1，+∞）．
16．已知f（x）＝的值域为R，那么a的取值范围是　﹣1　．
【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，即满足：求解即可．
解：∵f（x）＝
∴x≥1，lnx≥8，
∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，
即
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝log3．
（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性并证明；
（2）解方程f（2x﹣1）＝0．
【分析】（1）先根据对数函数有意义的条件求得函数的定义域为（﹣1，1），再结合函数奇偶性的概念和对数的运算法则即可判断f（x）的奇偶性；
（2）由f（2x﹣1）＝0，推出log3＝0，解得x的值后，检验2x﹣1是否属于（﹣1，1）即可．
解：（1）函数y＝f（x）为奇函数，证明如下：
∵f（x）有意义，∴＞0，解得﹣1＜x＜1，
∵f（﹣x）＝log2＝log3＝﹣f（x），
（2）∵f（6x﹣1）＝0，
检验知，﹣1＜20﹣1＜3，
故原方程的解为x＝0．
18．已知函数，若函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的值域．
【分析】（1）把点（0，4）代入函数g（x）即可求得a值；
（2）由（1）中求得的a值可得函数f（x）的解析式，求出函数的定义域，再由换元法结合函数的单调性求值域．
解：（1）函数g（x）＝2x+a的图象过点（0，4），∴20+a＝4，解得a＝4，
（2）由（1）可知a＝3，
∵，∴﹣3＜x＜1，
设t＝﹣（x+1）2+4，则t∈（2，4]，
∴．
∴函数f（x）的值域是[﹣8，+∞）．
19．已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，解得a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域是一切实数，恒成立．即恒成立，进而可得答案；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，则，解得答案．
解：（Ⅰ）函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，求得a＝0．……………………
又此时f（x）＝﹣x是R上的奇函数．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是一切实数，则恒成立．
故只要a≥0即可 ………………………………………………………………
最小值是．…………………………………
故 为所求．…………………………………………
20．已知函数，函数g（x）＝4x﹣2x+1﹣3．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）﹣g（a）≤0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围．
【分析】（1）根据对数的运算性质即可得到f（x）＝（log2x﹣1）2﹣4，即可求出函数的值域，
（2）先求出g（a）的最小值，再得到（log2x﹣1）2≤（﹣1）2，解得即可
解：（1），
＝（log7x﹣log28）（log22+log2x），
＝log22x﹣2log5x﹣3＝（log2x﹣7）2﹣4≥﹣4，
（2）∵不等式f（x）﹣g（a）≤8对任意实数恒成立，
∵g（x）＝4x﹣2x+4﹣3＝（2x）2﹣2?2x﹣3＝（5x﹣1）2﹣4，
∴g（a）＝（2a﹣1）2﹣6，
∴g（a）min＝g（）＝﹣1﹣2，
∴（log2x﹣1）2≤3﹣2＝（﹣1）2，
∴6﹣≤log2x≤，
故x的取值范围为[2，]
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．已知函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意只需要3﹣ax＞0，即可解得x的取值范围．
（2）令u＝3﹣ax，则u＝3﹣ax在[1，2]上的函数值恒为正，因为a＞0，a≠1，则必须3﹣2a＞0，解得a∈（0，1）∪（1，），
又函数f（x）在[1，2]上单调递减，推出a＞1，所以a∈（1，），所以f（x）max＝f（1）＝1．
解：（1）要使得函数f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）有意义，
只需要3﹣ax＞0，
所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，）．
令u＝3﹣ax，则u＝3﹣ax在[1，2]上的函数值恒为正，
所以u＝4﹣ax在[1，2]上单调递减，
所以a∈（0，1）∪（8，），
所以a＞1，
因为函数f（x）在[8，2]上的最大值为1，
即loga（3﹣a）＝1，所以a＝，
所以不存在实数a，使得函数f（x）在[1，2]上单调递减，并且最大值为1．
22．已知实数t满足关系式loga（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1）．
（1）令t＝ax，求y＝f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若x∈（0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．
【分析】（1）直接将t＝ax的代入化简消去t即得到y＝f（x）的表达式；
（2）利用复合函数的单调性，对底数a进行讨论最值情况，从而求出a和x的值．
解：（1）由题意：loga（a＞0且a≠1，t＞3且t≠1）
可得：logat﹣3＝logty﹣3logta
∴logay＝x2﹣3x+3，即 （x≠0）
（2）由（1）可得，
那么：f（x）＝au
①若0＜a＜1，要使y＝au有最小值6，
则u＝（x﹣）2+ 在（0，4]上应有最大值，但u在（0，2]上不存在最大值．
②若a＞1，要使y＝au有最小值8，u＝（x﹣）2+ 在（0，2]上应有最小值．
∴当x＝时，则umin＝，ymin＝，
解得：a＝16．
因此：所求a和x的值分别为16，．