人教A版（2019）必修第一册 第4章 对数函数 同步练习卷2 （含解析）

对数函数 同步练习卷
一、选择题（共12小题）.
1．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，0]
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）
2．函数f（x）＝ln|x|（　　）
A．是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增
B．是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减
C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
3．已知p：log2（x﹣1）＜1，q：（x﹣2）2＜1，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f（x）＝log5（5+3﹣x），则函数f（x）的值域是（　　）
A．[1，2） B．（0，+∞） C．（0，2） D．（1，+∞）
5．若2x＞2x＞log2x，则x的取值范围为（　　）
A．（3，4） B．（4，+∞） C．（0，2） D．（1，2）
6．已知函数f（x）＝，若f（t）≥8，则t的取值范围是（　　）
A．[2，] B．[，+∞）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
7．函数f（x）＝的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，（）b＝logb，（）c＝log3c，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
9．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[） C．（0，] D．（，1）
10．若不等式loga（ax2﹣2x+1）＞0（a＞0，且a≠1）在x∈[1，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（2，+∞）
C．（0，1）∪（2，+∞） D．（0，）
11．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（9，2），则下列说法正确的是（　　）
A．a＝2
B．函数f（x）为增函数
C．若x＞3，则f（x）＞1
D．若0＜x1＜x2，则＞f（）
12．设函数f（x）的定义域为D，若?x∈D，?y∈D使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列函数中是“美丽函数”的有（　　）
A．y＝x3 B．y＝2x+1 C．y＝ln（2x+3） D．y＝2x﹣5
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝7x+m（m为常数），则f（﹣log78）＝　 　．
14．函数f（x）＝（3m﹣1）log2x﹣3m（m∈R）的图象恒过定点A，则点A的坐标为　 　，若点A在函数g（x）＝x﹣﹣5的图象上，则g（x）在（0，+∞）上的最小值为　 　．
15．已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是　 　．
16．已知函数f（x）＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则＝　 　．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．函数f1（x）＝lg（﹣x﹣1）的定义域与函数f2（x）＝lg（x﹣3）的定义域的并集为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2，a∈R）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）若集合A，B满足A∩B＝B，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝log（x2﹣2mx+5）．
（1）若f（x）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）在（﹣∞，2]内单调递增，求实数m的取值范围．
19．已知函数．
（Ⅰ）令t＝log2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值．
20．已知函数f（x）为增函数，当x，y∈R时，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）是否存在m，使f（2（log2x）2﹣4）+f（4m﹣2log2x）＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最大值．
22．已知函数f（x）＝log2x﹣1的定义域为[1，16]，函数g（x）＝[f（x）]2+af（x2）+2，a∈R．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最小值M（a）的表达式．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，0]
C．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）
【分析】函数f（x）＝的定义域满足，由此能求出结果．
解：函数f（x）＝的定义域满足：
，解得﹣3＜x＜0．
故选：A．
2．函数f（x）＝ln|x|（　　）
A．是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增
B．是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减
C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增
D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减
【分析】由函数的奇偶性及单调性即可判断．
解：因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且f（﹣x）＝f（x），
又x＞0时，f（x）＝lnx，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
故选：A．
3．已知p：log2（x﹣1）＜1，q：（x﹣2）2＜1，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】】log2（x﹣1）＜1，（x﹣2）2＜1，求解两个不等式，即可判断．
解：∵p：log2（x﹣1）＜1，
∴1＜x＜7，
∴1＜x＜3，
p是q成立的充分必要条件，
故选：C．
4．已知函数f（x）＝log5（5+3﹣x），则函数f（x）的值域是（　　）
A．[1，2） B．（0，+∞） C．（0，2） D．（1，+∞）
【分析】根据5+3﹣x＞5，求出函数的值域即可．
解：∵5+3﹣x＞5，
∴f（x）＞log56＝1，
故选：D．
5．若2x＞2x＞log2x，则x的取值范围为（　　）
A．（3，4） B．（4，+∞） C．（0，2） D．（1，2）
【分析】由题意利用查指数函数、对数函数、一次函数的性质，数形结合，得出结论．
解：当x＝1或x＝2时，2x＝2x，
且当x＞2时，函数y＝5x的增长速度快于函数y＝2x的增长速度，
再根据y＝log2x增的图象经过定点（1，0），
如图所示：
故选：D．
6．已知函数f（x）＝，若f（t）≥8，则t的取值范围是（　　）
A．[2，] B．[，+∞）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【分析】由分段函数解析式把f（t）≥8转化为关于t的不等式组，求解得答案．
解：∵f（x）＝，且f（t）≥8，
∴①，或②，
∴t的取值范围为[，+∞）．
故选：B．
7．函数f（x）＝的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，通过函数的特殊值判断即可．
解：函数f（x）＝，满足f（﹣x）＝f（x），
所以函数是偶函数，排除选项B，D；
故选：C．
8．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，（）b＝logb，（）c＝log3c，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】根据a＞0即可得出，进而得出；根据b＞0可得出，进而得出；根据c＞0可得出log3c＞0，进而得出c＞1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
解：∵a＞0，∴，，
∵b＞0，∴，，
∴a＜b＜c．
故选：D．
9．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[） C．（0，] D．（，1）
【分析】若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则，解得a的取范围
解：∵函数f（x）＝（a＞0且a≠5）是R上的减函数，
∴，
故选：A．
10．若不等式loga（ax2﹣2x+1）＞0（a＞0，且a≠1）在x∈[1，2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（2，+∞）
C．（0，1）∪（2，+∞） D．（0，）
【分析】通过讨论a的范围，结合函数的单调性分离参数a，根据反比例函数的性质求出a的范围即可．
解：当0＜a＜1时，loga（ax2﹣7x+1）＞0，
则0＜ax3﹣2x+1＜1，此时不等式无解；
则ax2﹣2x+5＞1，结合图象知a＞（）max＝2，
故选：B．
11．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（9，2），则下列说法正确的是（　　）
A．a＝2
B．函数f（x）为增函数
C．若x＞3，则f（x）＞1
D．若0＜x1＜x2，则＞f（）
【分析】把点（9，2）代入函数解析式f（x）＝logax，即可解得a的值，从而确定A错误．B正确．当x＞3时，f（x）＝log3x＞log33＝1，故C正确．由对数的运算性质得﹣f（）＝log3，在结合基本不等式得2＜x1+x2，log3＜0，推出＜f（），故D错误．
解：由题意知，loga9＝2，解得a＝3，所以f（x）＝log3x，所以函数f（x）为增函数，故A错误．B正确．
当x＞3时，f（x）＝log5x＞log33＝1，
因为＝＝log3，
所以﹣f（）＝log3﹣log3＝log3，
所以8＜＜3，
即＜f（），
故选：BC．
12．设函数f（x）的定义域为D，若?x∈D，?y∈D使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列函数中是“美丽函数”的有（　　）
A．y＝x3 B．y＝2x+1 C．y＝ln（2x+3） D．y＝2x﹣5
【分析】由题意知“美丽函数”的值域关于原点对称，分别求出各函数的值域即可．
解：∵若?x∈D，?y∈D，使得f（y）＝﹣f（x）成立，
∴f（x）的值域关于原点对称．
对于B，函数y＝2x+1的值域为（1，+∞），不关于原点对称；
对于D，函数y＝2x﹣5的值域为R，关于原点对称．
故选：ACD．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝7x+m（m为常数），则f（﹣log78）＝　﹣7　．
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝1+m＝0，解可得m的值，即可得函数的解析式，求出f（log78）的值，利用奇函数的性质可得f（﹣log78）＝﹣f（log78），即可得答案．
解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝7x+m，
则有f（0）＝1+m＝7，解可得m＝﹣1，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣log78）＝﹣f（log88）＝﹣7，
故答案为：﹣7
14．函数f（x）＝（3m﹣1）log2x﹣3m（m∈R）的图象恒过定点A，则点A的坐标为　（2，﹣1）　，若点A在函数g（x）＝x﹣﹣5的图象上，则g（x）在（0，+∞）上的最小值为　﹣1　．
【分析】提取m，令3log2x﹣3＝0，求出定点A的坐标即可；再将A的坐标代入g（x），求出a的值，求出g（x）的最小值即可．
解：f（x）＝（3m﹣1）log2x﹣3m＝（3log2x﹣3）m﹣log2x），
令3log2x﹣7＝0，解得：x＝2，代入f（x）的表达式可得f（2）＝﹣1，
由点A在函数g（x）＝x﹣﹣2的图象上，得：a＝﹣4，
当且仅当x＝2时“＝”成立，
故答案为：（2，﹣1），﹣1．
15．已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是　　．
【分析】根据奇偶性以及单调性画出草图，根据图象得出结论．
解：该函数的草图如图
由图可知若f（lgx）＞f（1），
∴＜x＜10．
16．已知函数f（x）＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则＝　　．
【分析】利用函数的单调性可得|log2m2|＝2，或 log2n＝2，当|log2m2|＝2时，n＝，n＝2，m＝，经检验满足条件，当 log2n＝2时，n＝4，m＝，经检验不满足条件．
解：由题意得﹣log2m＝log2n，＝n，
函数f（x）＝|log2x|在（7，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴当|log2m2|＝4时，n＝，n＝2，m＝．
当 log2n＝2时，n＝2，m＝，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为|log2|＝4，不满足条件．
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．函数f1（x）＝lg（﹣x﹣1）的定义域与函数f2（x）＝lg（x﹣3）的定义域的并集为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2，a∈R）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）若集合A，B满足A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求对数函数的定义域可得M、N，从而求得 A＝N∪M．
（2）由题意可得B?A，再分B＝?、B≠?两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．
解：（1）由题意可得M＝{x|﹣x﹣1＞0}＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x﹣3＞8}＝{x|x＞3}，
∴A＝N∪M＝{x|x＜﹣1，或x＞3}．
（2）若函数A∩B＝B，则B?A，∴B＝?，或 B≠?．
当B≠?，则有 7﹣a＜﹣1，或﹣a≥3，求得a＞5，或 a≤﹣3，
综合可得，a＞6或 a≤﹣3．
18．已知函数f（x）＝log（x2﹣2mx+5）．
（1）若f（x）的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）在（﹣∞，2]内单调递增，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，可得y＝x2﹣2mx+5能取遍所有的正实数，
根据判别式△≥0，求得m的范围．
（2）由题意，y＝x2﹣2mx+5在（﹣∞，2]内单调递减且y＞0，从而求得m的范围．
解：（1）∵函数f（x）＝log（x2﹣2mx+5）的值域为R，
∴y＝x2﹣2mx+5能取遍所有的正实数，
故实数m的取值范围为[，+∞）∪（﹣∞，﹣]．
∴≥2 且4﹣4m+5＞0，解得2≤m＜．
19．已知函数．
（Ⅰ）令t＝log2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值．
【分析】（Ⅰ）利用对数的运算性质可得，令t＝log2x，可得，根据2≤x≤8，求得t的范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，1≤t≤3，利用二次函数的性质求得函数的值域，以及函数取得最小值时的x的值．
解：（Ⅰ）∵，
∴．
则 ，即，
∴1≤log2x≤3，即 1≤t≤3．
当时，，
当时，，
∴．
20．已知函数f（x）为增函数，当x，y∈R时，恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）是否存在m，使f（2（log2x）2﹣4）+f（4m﹣2log2x）＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）令x＝0，y＝0，则f（0）＝f（0）＝0．令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）为奇函数；
（2）不等式f（2（log2x）2﹣4）+f（4m﹣2（log2x））＞0，可化为2（log2x）2﹣4）＞﹣4m+2（log2x），
令t＝log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，只需4m＞ymax，
【解答】（1）证明：令x＝0，y＝0，则f（0）＝2f（7），
∴f（0）＝0．令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），
（4）解：∵函数f（x）为奇函数，
又∵函数f（x）为增函数，
令t＝log2x，当x∈[1，2]，则5≤t≤1，
即4m＞﹣2t2+6t+4对任意t∈[0，1]恒成立，
而y＝﹣2t2+2t+4（0≤t≤2），
∴m的取值范围是（，+∞）．
附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最大值．
【分析】（1）利用A，C两点的纵坐标相等，即可找到关于m的方程logm4＝log32．解出m．
（2）AC平行于x轴，所以logmb＝logca，推出m＝c2，再利用配方法求﹣的最大值．
解：（1）由题意，得A（2，log33），B（4，log34），C（4，logm4），
因为AC垂直于y轴，所以AC与x轴平行，所以logm4＝log32．所以m＝9．
因为AC平行于x轴，所以logmb＝logca，
所以＝1时，﹣的最大值为1．
22．已知函数f（x）＝log2x﹣1的定义域为[1，16]，函数g（x）＝[f（x）]2+af（x2）+2，a∈R．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最小值M（a）的表达式．
【分析】（1）由抽象函数的表达式可得：x∈[1，16]，x2∈[1，16]，函数y＝g（x）的定义域为[1，4]；
（2）令t＝log2x，t∈[0，4]，可构造函数y＝g（t）＝t2+（2a﹣2）t﹣a+3＝（t+a﹣1）2﹣a2+a+2，分别讨论对称轴﹣a+1，得出函数最小值表达式．
解：（1）由抽象函数的表达式可得：
x∈[1，16]，x2∈[1，16]，
（2）y＝g（x）＝[f（x）]2+af（x4）+2，
g（x）＝G（t）＝t2+（2a﹣2）t﹣a+3＝（t+a﹣4）2﹣a2+a+2，
当﹣a+1＞2即a＜﹣1时，g（x）min＝g（8）＝3a+3；
综上：M（a）＝g（x）min＝．