人教A版（2019）必修第一册 第4章 指数、指数函数 同步练习卷 （解析版）

指数、指数函数 同步练习卷
一、选择题（共12小题）.
1．将根式化为分数指数幂是（　　）
A． B． C． D．﹣
2．指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．1
3．函数f（x）＝2ax+2﹣1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，1）
4．函数y＝2﹣|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的不等式（）x﹣4＞3﹣2x，则该不等式的解集为（　　）
A．[4，+∞] B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4 ） D．（﹣4，1]
6．若＜（）a＜（）b＜1（a，b∈R），则（　　）
A．aa＜ab＜ba B．ba＜aa＜ab C．ab＜aa＜ba D．ba＜ab＜aa
7．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1），且当x＞1时，恒有y＞2，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，1）∪（1，2） B．（0，）∪（1，2）
C．（1，2） D．[2，+∞）
8．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
9．若函数f（x）＝且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
10．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝2x，则有（　　）
A．f（2）＜f（3）＜f（0） B．f（0）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（0）＜f（3） D．f（0）＜f（2）＜f（3）
11．如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝at，则下列说法正确的是（　　）
A．蓝藻面积每个月的增长率为200%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2
D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（　　）
A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）在R上是增函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0}，N＝，则M∩N＝　 　．
14．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）＝ax+b的图象不经过第　 　象限．
15．函数的单调递增区间为　 　，值域为　 　．
16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）求值：+；
（2）已知，求的值．
18．已知函数f（x）＝ax﹣bx，且f（1）＝2，f（2）＝12．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[﹣2，1]，求f（x）的值域．
19．已知函数f（x）＝ax+1（a＞1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为3．
（1）求a的值；
（2）证明：函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）是R上的增函数．
20．已知的图象关于坐标原点对称．
（1）求a的值，并求出函数的零点；
（2）若存在x∈[0，1]，使不等式成立，求实数b的取值范围．
附加题（本大题共2小题，每小题0分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．已知函数f（x）＝b?ax（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）．
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
22．设函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若已知f（1）＝，且函数g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．将根式化为分数指数幂是（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】根指数幂和分数指数的转化即可求出
解：根式化为分数指数幂是，
故选：A．
2．指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．1
【分析】设出指数函数y＝f（x）的解析式，把点的坐标代入求出解析式，再计算f（3）的值．
解：设指数函数y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；
由f（x）的图象过点（2，4），
所以f（x）＝2x，
故选：B．
3．函数f（x）＝2ax+2﹣1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，1）
【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点．
解：函数f（x）＝2ax+2﹣1（a＞0且a≠1），
令x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴f（x）的图象过定点（﹣2，3）．
故选：B．
4．函数y＝2﹣|x|的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】对函数进行转化为分段函数，当x≥0时，函数表达式为y＝（）x，而当x＜0时，函数表达式为y＝2x，然后再用基本函数y＝ax的图象进行研究．
解：函数y＝2﹣|x＝
∵2＞1，且图象关于y轴对称
左侧为增函数，y≤1
故选：C．
5．已知关于x的不等式（）x﹣4＞3﹣2x，则该不等式的解集为（　　）
A．[4，+∞] B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4 ） D．（﹣4，1]
【分析】将不等号两边化为以为底的指数式，利用指数函数y＝（）x的单调性，即可解得答案．
解：∵不等式，
∴＞，
∴x﹣8＜2x，
∴不等式的解集为（﹣4，+∞）．
故选：B．
6．若＜（）a＜（）b＜1（a，b∈R），则（　　）
A．aa＜ab＜ba B．ba＜aa＜ab C．ab＜aa＜ba D．ba＜ab＜aa
【分析】由题意利用指数函数的单调性可得0＜b＜a＜1，由此得出结论．
解：若＜（）a＜（）b＜1＝ （a，b∈R），∵y＝是定义域R上的减函数，
∴0＜b＜a＜1，∴ab＞aa＞ba，
故选：B．
7．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1），且当x＞1时，恒有y＞2，则实数a的取值范围是（　　）
A．（，1）∪（1，2） B．（0，）∪（1，2）
C．（1，2） D．[2，+∞）
【分析】根据条件，可讨论a，用上指数函数的单调性：a＞1时，便有ax＞a，从而可以得到a＞2，同样的方法，当0＜a＜1时，再求出一个a的范围，最后对求得的a的范围求并集便可得出a的取值范围．
解：∵x＞1时，恒有y＞2；
∴①当a＞1时，ax＞a，则a≥2；
②当0＜a＜6时，ax＜a，则a＜1，不合题意；
∴a的取值范围为[2，+∞），
故选：D．
8．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】据函数为奇函数知f（0）＝0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．
解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝20+2×0+b＝0，
所以当x≥0时，f（x）＝8x+2x﹣1，
所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（71+2×1﹣7）＝﹣3，
故选：D．
9．若函数f（x）＝且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【分析】若对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则函数f（x）＝在R上单调递增，进而可得答案．
解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，
∴函数f（x）＝在R上单调递增，
解得：a∈[4，2），
故选：D．
10．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝2x，则有（　　）
A．f（2）＜f（3）＜f（0） B．f（0）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（0）＜f（3） D．f（0）＜f（2）＜f（3）
【分析】根据题意，由f（x）﹣g（x）＝2x，结合奇函数的性质可得变形可得f（x）+g（x）＝﹣2﹣x，联立两个式子可得f（x）的解析式，求出f（0）、f（2）、f（3）的值，比较即可得答案．
解：根据题意，函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
若f（x）﹣g（x）＝2x，①
联立①②可得：f（x）＝，
故有f（0）＜f（2）＜f（3），
故选：D．
11．如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系满足y＝at，则下列说法正确的是（　　）
A．蓝藻面积每个月的增长率为200%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第4个月时，蓝藻面积就会超过80m2
D．若蓝藻面积蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有2t2＝t1+t3
【分析】由函数y＝at图象经过（1，3）可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．
解：由图可知，函数 y＝at图象经过（1，3），即a1＝8，则a＝3，∴y＝3t；
∴3t+4﹣3t＝3t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的3倍，则每个月的增长率为200%，A对、B错；
若蓝藻面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t7，t2，t3，则3＝7，3＝4，3＝7，
故选：ACD．
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（　　）
A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）在R上是增函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝﹣＝﹣，则g（6）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣7）]＝[﹣]＝﹣1，
对于B，f（x）＝﹣，f（﹣x）＝﹣＝﹣，
对于C，f（x）＝﹣＝﹣，
则f（x）在R上是增函数，C正确，
即f（x）的值域为（﹣，），
故选：BC．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0}，N＝，则M∩N＝　{﹣2}　．
【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．
解：∵集合M＝{﹣2，﹣1，0}，
N＝＝{x|x＜﹣6}，
故答案为：{﹣2}．
14．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）＝ax+b的图象不经过第　一　象限．
【分析】函数f（x）＝ax（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，结合b＜﹣1，可知函数f（x）＝ax+b的图象由函数f（x）＝ax的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．
解：函数f（x）＝ax（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，
∵b＜﹣1，故函数f（x）＝ax+b的图象由函数f（x）＝ax的图象向下平移|b|个单位得到，
如图，函数f（x）＝ax+b的图象过二、三、四象限．
故答案为一．
15．函数的单调递增区间为　[1，+∞）　，值域为　[﹣，+∞）　．
【分析】利用指数函数的性质，利用换元法结合复合函数单调性的性质，进行判断求解即可．
解：＝2﹣1，
设t＝x5﹣2x﹣3，则y＝2t﹣1为增函数，
∵t＝x4﹣2x﹣2递增区间的递增区间为[1，+∞），
∵t＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，
则y＝2t﹣1≥﹣1＝﹣，
故答案为：[1，+∞），[﹣，+∞）
16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是　（，）　．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．
解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
即﹣＜2|a﹣1|＜，
故答案为：（，）
三、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）求值：+；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得；
（2）根据立方和公式以及完全平方公式可得．
解：（1）原式＝（）﹣5﹣（）+（）2+5
＝（）﹣1﹣（）++5
＝；
＝（a+a）[（a）2﹣a?a+（a）2]
＝3（82﹣3）
＝18．
18．已知函数f（x）＝ax﹣bx，且f（1）＝2，f（2）＝12．
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[﹣2，1]，求f（x）的值域．
【分析】（1）根据f（1）＝2，f（2）＝12，建立方程组进行求解即可
（2）利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数单调性与最值的关系进行求解即可
解：（1）∵f（1）＝2，f（2）＝12
∴f（1）＝a﹣b＝3，f（2）＝a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝12，
则a＝4，b＝2，
设t＝2x，∵x∈[﹣8，1]，
则函数f（x）等价为y＝t2﹣t＝（t﹣）2﹣，
当t＝2时，函数取得最大值2，
即函数的值域为[﹣，2]．
19．已知函数f（x）＝ax+1（a＞1）在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为3．
（1）求a的值；
（2）证明：函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）是R上的增函数．
【分析】（1）根据a＞1得到f（x）是单调增函数，则最大值最小值之差即可表示，解出a即可；
（2）利用定义法证明即可．
解：（1）因为a＞1，所以f（x）＝ax+1在定义域上单调递增，
则f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为f（2）﹣f（8）＝3，即a2﹣1＝3，解得a＝2；
则F（x1）﹣F（x2）＝＝（）（1+）
即有F（x1）＜F（x2），
所以F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在R上是增函数．
20．已知的图象关于坐标原点对称．
（1）求a的值，并求出函数的零点；
（2）若存在x∈[0，1]，使不等式成立，求实数b的取值范围．
【分析】（1）由题意知f（x）是R上的奇函数．所以f（0）＝0，得a的值，求解F（x）解析式，令其为等于0，即可求解零点；
（2）构造新函数，分离参数b，换元法求解最小值即可得实数b的取值范围．
解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数．
所以f（0）＝0，得a＝1．
由（2x）2+2x﹣6＝0，可得4x＝2，所以，x＝1，即F（x）的零点为x＝1．
由题设知h（x）＜0在[0，1]内能成立，即不等式（6x）2+2x+2﹣1﹣b＜0在[0，1]上能成立．
令t＝2x，则b＞t2+2t﹣3在t∈[1，2]上能成立，只需b＞（t2+8t﹣1）min，令g（t）＝t2+2t﹣1，
∴g（t）min＝g（1）＝2，
所以：b＞2．
附加题（本大题共2小题，每小题0分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．已知函数f（x）＝b?ax（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）．
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】第（1）问，将A、B的坐标代入解析式，得关于a、b的方程组，解出a、b即可；
第2问，将（）x+（）x﹣m≥0化为，m≤（）x+（）x，只需m≤[（）x+（）x]min即可，利用函数的y＝（）x+（）x的单调性可求得其最小值．
解：（1）将A（1，6），B（3，24）代入f（x）＝b?ax
得6＝ab，24＝ba4，
（2）∵（）x+（）x﹣m≥2在x∈（﹣∞，1]时恒成立，
∴m≤[（）x+（）x]min x∈（﹣∞，1]，
任取x1＜x2≤1，
∵在R上是减函数，
∴①式＞0，
∴f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，
∴m≤．
22．设函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若已知f（1）＝，且函数g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k的值；
（2）当a＞1时，f（x）在R上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）根据f（1）＝，求出a，然后利用函数的最小值建立方程求解m．
解：（1）∵f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．
∴f（0）＝0，即k﹣1＝6，解得k＝1．
当a＞1时，f（x）在R上递增．
＝（am﹣an）+（a﹣n﹣a﹣m）＝（am﹣an）（1+），
f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），
（7）∵f（1）＝，∴a﹣＝，
解得a＝3或a＝﹣（舍去）．
令t＝6x﹣3﹣x，
∴t≥f（1）＝，
当m时，2﹣m2＝﹣2，解得m＝8，不成立舍去．
解得m＝，满足条件，
∴m＝．