(共49张PPT)
济宁十二中
陈伟利
初中数学
二次函数与一元二次方程（3）
y=x2-2x-3
(1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？
一元二次方程
x2-2x
-
3=0的根为x1=-1,x2=3.
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
（3）探究：你能说出一元二次方程
x
2
-2x
-3=0的根吗？
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
探索研究
当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0.
(2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？
探索研究
二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有一个交点：（3，0），
一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根:x1=x2=3。
二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点，
一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根.
类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？
y=x2-6x+9
y=x2-2x+3
一般地二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c
=0的根有什么关系呢？
二次函数y=ax2＋bx＋c
的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个不相等的实数根.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个相等的实数根.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0没有实数根.
探索研究
一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个不相等的实数根,你又能得到什么呢？
一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根,那么二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点.
一元二次方程ax2＋bx＋c没有实数根,那么二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点.
探索研究
可以知道：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点.
例
不画图象，判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由.
∴此方程有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴有两个交点.
∴此方程没有实数根．
∴该抛物线与x轴没有公共点.
例
题
x1=-2,
x2=0。
2、二次函数
y
=x2-5x+6的图象
与x轴有━━━个交点，交点坐标是
━━━━━━━━━━━━━━。
两
（2，0）,（3，0）
1、根据图象提供的信息写出一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根：━━━━━━━━━━━━。
3、课本P22
练习1，2.
练一练
y
=ax2+bx+c
h=-5t
2+40t
在本节一开始的小球上抛问题中,
请问:
（1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？
解:（1）利用图象或将t
=7代入h=-5t
2+40t
中都可以得到：当t
=7秒时，小球距地面的高度时35m。
（2）方程-5t2+40t=75的根的实际意义是小球的高度为75m时所运动的时间。
----------------------------
-----------------------------------
（2）
方程
-5t
2+40
t
=75的根的实际意义是什么？
拓展提高
（3）何时小球离地面的高度是60m?
-----------------------
-----------------------------
-----------------------------
方法一：从图象上看，就是图象上纵坐标为60的点的横坐标。
因此当t=2秒或t=6秒时，小球离地面的高度是60m。
h=－5t２+40t
与同学进行交流。
拓展提高
h=－5t２+40t
（3）何时小球离地面的高度是60m?
方法二：解方程－5t２+40t=60.
所以，当小球被抛出2秒和6秒
时离地面的高度是60m.
得t1=2，t2=6.
y=x2-2x-3
(1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？
一元二次方程
x2-2x
-
3=0的根为x1=-1,x2=3.
交点的坐标是(-1,0),（3,0）。
（3）探究：你能说出一元二次方程
x
2
-2x
-3=0的根吗？
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
探索研究
当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0.
(2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？
探索研究
二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有一个交点：（3，0），
一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根:x1=x2=3。
二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点，
一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根.
类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？
y=x2-6x+9
y=x2-2x+3
一般地二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c
=0的根有什么关系呢？
二次函数y=ax2＋bx＋c
的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个不相等的实数根.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个相等的实数根.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2＋bx＋c
=0没有实数根.
探索研究
一元二次方程ax2＋bx＋c
=0有两个不相等的实数根,你又能得到什么呢？
一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根,那么二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点.
一元二次方程ax2＋bx＋c没有实数根,那么二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点.
探索研究
可以知道：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点.
例
不画图象，判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由.
∴此方程有两个不相等的实数根．
∴该抛物线与x轴有两个交点.
∴此方程没有实数根．
∴该抛物线与x轴没有公共点.
例
题
x1=-2,
x2=0。
2、二次函数
y
=x2-5x+6的图象
与x轴有━━━个交点，交点坐标是
━━━━━━━━━━━━━━。
两
（2，0）,（3，0）
1、根据图象提供的信息写出一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根：━━━━━━━━━━━━。
3、课本P22
练习1，2.
练一练
y
=ax2+bx+c
h=-5t
2+40t
在本节一开始的小球上抛问题中,
请问:
（1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？
解:（1）利用图象或将t
=7代入h=-5t
2+40t
中都可以得到：当t
=7秒时，小球距地面的高度时35m。
（2）方程-5t2+40t=75的根的实际意义是小球的高度为75m时所运动的时间。
----------------------------
-----------------------------------
（2）
方程
-5t
2+40
t
=75的根的实际意义是什么？
拓展提高
（3）何时小球离地面的高度是60m?
-----------------------
-----------------------------
-----------------------------
方法一：从图象上看，就是图象上纵坐标为60的点的横坐标。
因此当t=2秒或t=6秒时，小球离地面的高度是60m。
h=－5t２+40t
与同学进行交流。
拓展提高
h=－5t２+40t
（3）何时小球离地面的高度是60m?
方法二：解方程－5t２+40t=60.
所以，当小球被抛出2秒和6秒
时离地面的高度是60m.
得t1=2，t2=6.(共17张PPT)
打高尔夫球时
，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）满足二次函数
：
O
y(米）
x(百米）
这个球飞行的水平距离最远是多少米？
y=
-5x2+20x
4
1
2
3
A
o
10
初中数学
二次函数与一元二次方程（1）
济宁十二中
陈伟利
观察二次函数
的图象：
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
N
M
你能确定一元二次方程
的根吗？
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
观察下列图象，分别说出一元二次方程
x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
判断二次函数
图象与x轴交点坐标是什么？
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
N
M
根据一元二次方程
的根的情况，
判断二次函数
图象与x轴的位置关系。
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
根据一元二次方程
的根的情况，
不画图象，你能判断函数
的图象与x轴是否有公共点吗？请说明理由。
例题讲解
根据一元二次方程的根的情况，可以知道
二次函数的图象与x轴的位置关系。
1、方程
的根是
；则函数
的图象与x轴的交点有
个，其坐标是
．
-5，1
2
（-5，0）、（1，0）
随堂练习
2、方程
的根是
；则函数
的图象与x轴的交点有
个，其坐标是
．
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（
）
1
（5，0）
D
?
4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.
打高尔夫时
，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y（单位：米）与飞行距离x（单位：百米）之间具有关系：y=-5x2+20x，
想一想：球的飞行高度能否达到40m？
O
y(米）
x(百米）
4
1
2
3
40
10
学习是一件很愉快的事
月
日
星期
天气
.
学习课题：
.
知识归纳与整理：
.
.
有哪些数学思想或方法：
.
自我评价：
.
我的收获与困惑：
.
.
老师我想对你说：
.
.
数学日记(共18张PPT)
济宁十二中
陈伟利
初中数学
二次函数与一元二次方程（2）
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（
，
）
一元一次方程x＋2＝0的根为________
（2）
一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（
，
）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
－2
0
－2
2
0
2
x
y
y＝x2－2x－3
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0）（3，0）
方程x2－2x－3
＝0的两根是
x1＝
－1
,x2
＝
3
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决
1.
求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标
解：令y＝0
则x2＋4x－5
＝0
解之得，x1＝
－5
,x2
＝
1
∴交点坐标为：（－5，0）（1，0）
结论一：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，
则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是
A（
），
B（
）
思考：函数y＝－x2＋6x－9和y＝2x2＋3x＋5与x轴的交点坐标是什么？试试看！
X1，0
X2，0
x
y
结论二：
函数与x轴有两个交点
方程有两不相等根
函数与x轴有一个交点
方程有两相等根
函数与x轴没有交点
方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
结论三：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？
（1）b2－4ac＞0
函数与x轴有两个交点
（2）b2－4ac＝0
函数与x轴有一个交点
（3）b2－4ac＜0
函数与x轴没有交点
例题精讲
2.
判断下列二次函数图象与x轴的交点情况
（1）y＝x2－1；
（2）y＝－2x2＋3x－9；
（3）y＝x2－4x＋4；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（1）∵
b2－4ac＝02
－4×1×（
－1）
＞0
∴函数与x轴有两个交点
例题精讲
2.
判断下列二次函数与x轴的交点情况
（1）y＝x2－1；
（2）y＝－2x2＋3x－9；
（3）y＝
x2－4x＋4
；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（2）
∵
b2－4ac＝32
－4×
（－
2）×（
－9）
＜
0
∴函数与x轴没有交点
例题精讲
2.
判断下列二次函数与x轴的交点情况
（1）y＝x2－1；
（2）y＝－2x2＋3x－9；
（3）y＝
x2－4x＋4
；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（3）
∵
b2－4ac＝42
－4×
1×4
＝0
∴函数与x轴有一个交点
例题精讲
2.
判断下列二次函数与x轴的交点情况
（1）y＝x2－1；
（2）y＝－2x2＋3x－9；
（3）y＝
x2－4x＋4
；
（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）
解：（4）
∵
b2－4ac＝（a＋b）2
－4×
（
－a
）×（
－b）
＝（
a
－
b）2
≥0
∴函数与x轴有一个或两个交点
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.
例题精讲
3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求出b的值.
解：由题意，得
消元，得
x2－x－3
＝x＋b
整理，得x2－2x
－（3
＋
b）
＝0
∵有唯一交点
∴（－2）2
＋4（
3
＋
b）
＝0
解之得，b
＝－4
y＝x2－x－3
y＝x＋b
