新人教版数学七年级下 第八章二元一次方程组学案（教师版）

第八章　二元一次方程组
一、回顾与思考
1、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？
2、什么是消元的思想？解二元一次方程组消元的途径有哪些？
3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么相同之处？有什么不同之处？
二、习题讲解
三、练习巩固
1.在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________.
2.如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________.
3.由3x+4y-6=0用含x的式子表示y得_____ ___.
4.已知x= -3+t,y=3-t，那么用x的代数式表示y为 .
5.已知6x-5y=16，且2x+3y=6，则4x-8y的值为 .
6.若方程 (a2-4)x2+(2-3a)x+(a+1)y+3a=0为二元一次方程，则a的值为 .
7.若3x＋4y＝2是关于x、y的二元一次方程，则 的值等于 .
8.二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
9.若二元一次方程3x－2y＝1有正整数解，则x的取值为 （ ）
A、0 B、偶数 C、奇数 D、奇数或偶数
10.一个二元一次方程的解集，是指这个方程的（ ）
A 、一个解 B、 两个解 C 、三个解 D、 所有解组成的集合
四、课堂小结
知识结构
解二元一次方程组（代入消元法）
根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，在一次中学生篮球联赛中，某球队赛了12场，共得20分。设该队赢了x场,输了y场，列出方程组
分析：如何解出x,y？设想能否把二元化为一元
解：由〈1〉得：y=12-x 〈3〉
把〈3〉代入〈2〉，得 2x+12-x=20
解这个一元一次方程得 x=8
把x=8代入〈3〉，得 y=4
所以原方程的解是
练习 解方程组：
小结：代入消元法的方法（步骤）：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.
注意：
⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.
⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.
解二元一次方程组（加减消元法）
小明买了两份水果，一份是3kg苹果、2kg香蕉，共用去13.2元；另一份是2kg苹果、5kg香蕉，共用去19.8元。设苹果x元/kg，香蕉y元/kg. 列出方程组
解方程组
分析：关键处：方程〈1〉中的2y与方程〈2〉中的-2y互为相反数。想象出如果相加两个方程，会是什么结果？
解：〈1〉+〈2〉得 4x=6
x=
把x=代入〈1〉得 +2y=1
解出这个方程，得 y=
所以原方程组的解是
解方程组
感觉消去含x或y的项都可以，但哪个更简便？
解：〈1〉3，得 15x-6y=12 〈3〉
〈2〉2，得 4x-6y=-10 〈4〉
〈3〉-〈4〉，得 11x=22
x=2
将x=2代入〈1〉，得 52-2y=4
y=3
所以原方程组的解是
练习 解方程组
小结：加减消元法的方法：把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
注意：
⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.
⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.
用方程组解决问题1
国庆长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200人，收旅行费200万元，其中一日游每人收费200元，三日游每人收费1500元。该旅行社接待的一日游和三日游旅客个多少人？
提出问题（1）有几个未知数？几个已知量？
（2）已知量和未知量之间的数量关系你能找到吗？
（3）相等的关系是否明显？你找找。
探索解决问题的方法
你能告诉我等量关系或方程吗？（1）人数等量关系（2）钱数相等关系
解：设接待一日游旅客x人，三日游旅客y人
那么一日游共收费200x元，三日游共收费1500y元。
由题意得 解这个方程组得
答：该旅行社接待一日游旅客1000人，三日游旅客1200人。
应用举例
为了保护环境，某学校环保小组成员收集废旧电池，第一天收集5节1号电池，6节5号电池，总质量为500g；第二天收集3节一号电池，4节5号电池，总质量为310g。一节一号电池和一节五号电池的质量分别是多少？
解：设一节一号电池的质量为xg,一节五号电池的质量是yg。
由题意得 解这个方程得
答：一节一号电池的质量为70g,一节五号电池的质量是25g。
小结：列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
练习 A组题：
1.七年一班共44人，现分成甲、乙两组参加学校活动。由于需要，现从乙组调了6人到甲组后，甲乙两组人数相等。问原来甲乙各多少人？
2．小亮买了5本练习本和2支圆珠笔共花了5.5元。已知圆珠笔比练习本贵1元，问练习本和圆珠笔各多少元？
3.现有邮票一打，已知面值为一元和两元的，总面值为50元，2元的邮票比1元的邮票多10张，问面值为一元和两元的邮票各多少张？
4.一长方形周长为24，现把长增加3，宽不变，周长变为30。问原来的长、宽为多少？
5.若甲数比乙数的2倍小3，且甲、乙两数的和是9，求甲、乙两数。
用方程组解决问题2
某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需要时间8s、铜8g；生产一种乙种产品的型号需要时间6s、铜16g.如果生产甲、乙两种产品共用1h，用铜6.4kg,甲、乙两种产品个生产多少个？
提出问题：已知数是什么？未知数是什么？能找到几个等量关系？（2）单位是否一致？
探索解决问题的方法：你能告诉我等量关系或方程吗？
分析： 甲种产品x个 乙种产品y个 总计
用时/s
用铜/g
问题：从表格中能找到等量关系吗？
解：设生产甲种产品x个，乙种产品y个
由题意得
解这个方程得
答：生产甲种产品240个，乙种产品280个。
应用举例
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市采用价格调控手段达到节约水的目的。规定：每户居民每月用水不超过6时，按基本价格收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示，试求用水收费的两种价格。
月份 用水量/ 水费/元
4 8 21
5 9 27
分析：由表格看到什么信息？
4月份用水超过6，所以水费有两部分组成21元。
5月份用水超过6，所以水费有两部分组成27元。
解：设基本价格为x元/；超过6部分的按y元/.
由题意知 解这个方程得
答:基本价格为1.5元/；超过6部分的按6元/
小结：解决实际问题，关键是理解题意，找出等量关系，建立方程。
练习
1.小丽买苹果和桔子，买4千克苹果和2千克桔子，花费18元；如果买2千克苹果和4千克桔子花费16.8元，求苹果每千克多少元，桔子每千克多少元？
2.甲、乙两粮仓，甲运进14t粮食,乙运出10t粮食后，两个粮仓数量相等；甲运出8t，乙运进18t后，乙是甲的6倍。问甲、乙粮仓原来各有多少？
3.21枚1角与5角的硬币，共是5元3角，其中1角与5角的硬币各是多少？
4.班级买票看电影，票分为甲乙两种，甲种票买了5张，乙种票买了35张，花费125元。现在班里每个人都去看电影，问甲乙票价各是多少？
【能力训练】
　　一、填空题：
　　1、用加减消元法解方程组，由①×2—②得 。
　　2、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，＝ 。
　　3、在代数式中，当＝－2，＝1时，它的值为1，则＝ ；当＝2，＝－3时代数式的值是 。
　　4、已知方程组与有相同的解，则＝ ，＝ 。
　　5、若，则＝ ，＝ 。
　　6、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。
　　7、如果＝3，＝2是方程的解，则＝ 。
　　8、若是关于、的方程的一个解，且，则＝ 。
　　9、已知，那么的值是 。
　二、选择题：
　　10、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
11、如果是同类项，则、的值是（ ）
A、＝－3，＝2 B、＝2，＝－3
C、＝－2，＝3 D、＝3，＝－2
　　12、已知是方程组的解，则、间的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
　　13、若二元一次方程，，有公共解，则的取值为（ ）
A、3 B、－3 C、－4 D、4
　　14、若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（ ）
　A、正奇数 B、正偶数 C、正奇数或正偶数 D、0
　　15、若方程组的解满足＞0，则的取值范围是（ ）
　A、＜－1 B、＜1 C、＞－1 D、＞1
16、方程是二元一次方程，则的取值为（ ）
　A、≠0 B、≠－1 C、≠1 D、≠2
17、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、、的值是（　　　）
A、不能确定　　　　　　　 B、＝4，＝5，＝－2
C、、不能确定，＝－2 D、＝4，＝7，＝2
18、当时，代数式的值为6，那么当时这个式子的值为（ ）
A、6 B、－4 C、5 D、1
　19、设A、B两镇相距千米，甲从A镇、乙从B镇同时出发，相向而行，甲、乙行驶的速度分别为千米／小时、千米／小时，①出发后30分钟相遇；②甲到B镇后立即返回，追上乙时又经过了30分钟；③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米。求、、。根据题意，由条件③，有四位同学各得到第3个方程如下，其中错误的一个是（ ）
　A、 B、 C、 D、
三、解方程组：
20、 21、
　　
四、列方程（组）解应用题：
22、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？

23、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；
　　请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
实际问题
设未知数，列方程
二元或三元一次方程组
解方程组
代入法、加减法
二元或三元一次方程组的解
实际问题的答案
检验