23.3 实际问题与一元二次方程
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
重难点关键
1．重点：用“倍数关系”建立数学模型
2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型
一、探索
试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．
问题1
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．
图23.3.1
（1） 如果要求长方体的底面面积为81cm，那么剪去的正方形边长为多少？
（2） 如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积cm 81 64 49 36 25 16 9 4 n 变化规律
底面边长
底面周长
减去正方形边长
折合成的长方体侧面积
长方体体积
探索
在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积 （会不会）有最大的情况。先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．
问题2：
方程 a b c , ,与a、b、c的关系
一般地，对于关于x的一元二次方程且≥0，试用求根公式求出它的两个根、，算一算、的值，你能发现：
= ，=
二、自学检测：
1、不解方程，求方程两根的和两根的积：
①
②
2、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。
三、能力提高
1、不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。
2、求一元二次方程，使它的两个根是。
3、下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①；②；③；④；
4、已知方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。
5、设是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值。
①；②
6、求一个一元次方程，使它的两个根分别为：
①；②
7、已知两个数的和等于，积等于，求这两个数
四、问题展示：
五、谈谈收获：课题 ：22.2 .3一元二次方程的解法(3)
教学目标：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点：
1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
2、重点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
一、知识形成：
1、用配方法解方程：（1） (2)
2、观察上面两个方程后，我们可以发现，它们变成一般形式后由于 的不同，导致方程的解不同。由此可知，方程的解是由 决定的。
3、那么一般形式用配方法得到的解是由系数构成的吗？把具体方程的系数代入后得到的值是不是方程的解呢？让我们来试一试：
用配方法解一元二次方程
二次项系数化为1：
配方：
变成可以使用直接开平方法的形式：
解得：
回答上面的问题：
这种解一元二次方程的方法称为公式法，默写公式：
二、自我检测：
用公式法解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
三、能力提高
用公式法解下列方程：
－5x－6＝0
－6x＋1＝0 2－x＝6；
4－3x－1＝x－2 3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）
四、问题展示：
五、谈谈收获：课题：22.2.2一元二次方程的解法（2）
教学目标：
掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
重点难点：
使学生掌握配方法，解一元二次方程。
把一元二次方程转化为
知识形成
请写出完全平方公式
观察下面解方程的方法
小明解一元二次方程，一不小心把方程变形为：
这里他不会做了，然后从头开始做，做用直接开平方法做出来了。后来老师让解方程
，他这样做：
然后他用直接开平方法做了。
模仿后面的方法解方程：－6x－16＝0
－6x=16
－6x+ =16+ 方程的左边是一个完全平方式
（x- ）=
x1＝ ，x2＝
上面，我们把方程－6x-16＝0变形为 ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
试一试：对下列各式进行配方：
(1)；
(2)；
（3）；
（4）
(5)
通过练习，我们可以得到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
二、自我检测用配方法解方程：
（1）＋8x－2＝0 （2）－5 x－6＝0.
（3） （4）
三、能力提高
（1）
（2）
（3）3x2＋2x－3＝0.
（4）4x2－12x－1＝0
四、方法总结：
我们可以把一元二次方程用配方法解出来，具体步骤如下：
（1）把二次项的系数化为1，具体操作方法是：
（2）把常数项移到等号的右边
（3）方程两边同时加上一次项系数的 ，把方程化为
（n≥0）的形式，然后用直接开平方法来解，得到方程的解。
五、问题展示：
六、谈谈收获：课题：22.2.1一元二次方程的解法（1）
教学目标：
会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
会用因式分解法解简单的一元二次方程。
使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
使学生经历探索解一元二次方程的过程。
重点难点：
重点：掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程，渗透转化思想。
难点：是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，怎样的一元二次方程适用于因式分解法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。
一、知识形成（1）：
1、（ ）=4，括号中填的数字应该是4的 ，则一元二次方程
的解为： 。这种方法叫做直接开平方法，
,
2、解法练习：（1）x2－1＝0； 45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）4x2+16＝0
3、x2－1＝0有这样的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
（x－1）（x＋1）＝0，
必有 x－1＝0，或x＋1＝0,
分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1.
这种方法叫做因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的根据是：若A·B＝0，则A＝0或B＝0。
用因式分解法解下列方程：
用两种方法解下列方程：
（1） （2）
二、能力提高：
1、若方程有解，则
2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？
3、（1）x2－2x＝0 （2）（t－2）（t+1）=0；
（3）x（x＋1）－5x＝0. （4）
（5） (6)
三、发散拓展：
1、解了上面的几个方程后，总结一下方程
当时用上面哪种方法？当时呢？
2、你是怎样解方程的？
解：1、直接开平方，得x+1=
所以原方程的解是x1＝ ，x2＝
2、原方程可变形为
方程左边分解因式，得
（x+1+16）(x+1－16)=0
即可（ ）( )=0
所以 =0， =0
原方程的解 x1＝ ，x2＝
说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
解方程：（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0
（3）（x＋2）2－16＝0； （4）(x－1)2－18＝0；
（5）(1－3x)2＝1； （6）(2x＋3)2－25＝0.
四、问题交流：
五、畅谈收获课题 ：22.2 .4一元二次方程的解法(4)
教学目标：
1、学生可以根据不同的方程选择适当的解题方法。
2、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
3、提高学生分析问题、解决问题的能力。培养学生数学应用的意识。
重点难点：
1、不同方程选择最简单的方法。
2、认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。
一、练习：
解了上面几个方程后，填写下面的表格：
适合的解法
二、解22.1中的问题1和问题2
三、能力提高：
1、如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
2、市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
3、某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200 m2吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
5、在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
6、印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
7、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
8、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
9、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
10、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
11、某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
12、某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
四、问题交流：
五、谈谈收获：22.1 一元二次方程
教学目标：
1．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）
2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3． 会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：
1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
一、知识形成：
1、学校的操场是一块长和宽分别是200米和150米，现在要扩大操场，在原来的基础上，长和宽分别增加x米后，面积增大了20000平方米，你知道长和宽增加了多少吗？
解：设 ，依题意得：
（ ）（ ）=200150+20000
把方程化简后得到：
2、上面得到的方程与我们学过的一元一次方程和二元一次方程相比较一样吗？
它是什么样的方程呢？
3、这个方程中含有（）个未知数，并且未知数的最高次数是（），这样的方程叫做一元二次方程。通常可以化为如下的一般形式：
，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
二、自我检测
下列方程中哪些是一元二次方程？
，，，，3x2+7=0 ，ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 ，3x2-=0
2、把下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项。
3、是一元二次方程，则m
三、能力提高
1、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
2、将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
关于x的方程（m2—m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
4、试说明关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
已知x=0是关于的一元二次方程的解，求k的值。
问题展示
畅谈收获
