22.3 二次根式的加减
教学内容
二次根式的加减
教学目标
理解和掌握二次根式加减的方法．运用二次根式、化简解应用题．
通过学习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
重难点关键
1．重点：二次根式化简为最简根式．并会进行二次根式的加减运算。
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式，掌握二次根式的加减运算，以及混合运算。
一、知识形成：
1、什么是同类项？怎么样合并同类项？___________________________________________
_____________________________________________________________________。
2、试一试：
① ② ③
与整式的同类项的意义相类似，我们把像…的式子叫做同类二次根式，合并同类二次根式的方法也与其相同，即把_________相加，________不变。
3、思考：
①是同类二次根式吗？______________________________
②可见要进行二次根式的合并时要先_______________然后再进行二次根式的合并。
二、自学检测：
1、计算
2、下面是一些二次根式，请分别找出其中与是同类二次根式的式子。
三、能力提高
1、若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n、的值．
2、计算：
① ②
③
3、若与能合并，写出几个x的值。其中绝对值最小的值的平方等于多少？
4、下列计算正确的是 （ ）
5、计算：
6、已知的值等于多少？
四、迁移拓展
同学们，我们过去曾经学过完全平方公式，你一定熟练掌握了，今天又是学习了二次根式，那么所有的正数（包括0），都可以看作是一个数的平方，如，
你知道是谁的二次根式呢？下面 我们来观察：
反之，
请你阅读上面事例，解答下面的算式
（1） （2） （3）
（2），则、与、的关系是什么？说明理由
问题展示
畅谈收获
附
课外知识
1．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．
练习：+的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
2．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：把下列各式的分母有理化
（1）； （2）； （3）； （4）．22．1 二次根式
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
教学重难点关键
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．
用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．
一、自学检测：
不看课本完成。
⑴（a≥0）表示的意义是：___________________________
⑵（a≥0）是一个_______数，可以表示为： _______0 （a_______0）
⑶（ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ）2=_______（a_______0）
⑷_____________________的式子叫做二次根式
⑸=_______ ，当a≥0时=_______；a<0时=_______。
练习：
⑴下列式子中，是二次根式的是（ ），不是二次根式的是（ ）并标示出不是的理由。
， ， ， ， - ， ， ， x， 、 、 （x>0）、、 、 -、 、 （x≥0，y≥0）
⑵当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
； ；； ．
； ； ． +x2
⑶+有意义，则x=_______；=_______。
⑷若+有意义，则=_______．且++6=_______
计算
①（）2 ②（3）2 ③（）2 ④（） ⑤（）2 ⑥ （）2
⑦（）2 ⑧ ⑨（4）2
4、=____；=____；=____； =_____；=______；
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =________； =________
二、能力提高（合作学习）
5、a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
6、先化简再求值：当a=9时，求a+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
7．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
8. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
三、知识拓展
9、若成立，则a的取值范围是什么？
检点收获：
问题交流：22．2 二次根式的乘除
第二课时
教学内容
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
利用具体数据，通过练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
教学重难点关键
1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
一、知识形成：（小组讨论完成）
小组讨论：两个二次根式相除，怎么进行呢？商的算术平方根又等于什么呢？参考前面知识的形成，和同伴讨论，提出你的见解。
完成下列填空：
2．填空
（1）=________，=_________； （2）=________，=________；
（3）=________，=_________； （4）=________，=________．
规律：______； HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ______；_______； _______．
3．利用计算器计算填空:
（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．
规律：______；_______；_____；_____。
二、探索新知：
根据大家的练习和回答，我们可以得到，一般地，对二次根式的除法规定：
________（a≥0，b＞0）．
这就是说，两个二次根式相除，___________________________．
反之：
______（a≥0，b＞0）．
这就是说，商的算术平方根，等于__________________________．
三、自我检测：
___________，___________， ___________ ， ___________
_________，___________，___________ ， ___________
四、能力提高
1、观察下列解题过程模仿
①
②
③
④
⑤
⑥
观察上面4个式子我们可以发现：在前面的式子里分母中含有二次根式，并且被开方数中有的因式的幂的指数大于2，而后面的结果中，通过化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式
试使用上面的方法化简下面的式子：
2、．在Rt△ABC中，∠C=，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长
3、如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
4．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
5．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=±
C．=a2 D． =x
6．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
7、是最简二次根式吗？如果不是请化为最简二次根式。
五、发散拓展
1．化简=_________．（x≥0）
2．a化简二次根式号后的结果是_________．
3．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
4．若x、y为实数，且y= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，求的值．
问题交流
谈谈收获22．2 二次根式的乘除
第一课时
教学内容
·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标
理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
教学重难点关键
重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
关键：要弄清（a<0,b<0）=·，如=或==×．
知识形成：
1、计算下列各组中的两个式子并比较其结果；
①与
②与
③与（用计算器计算）
2、上题中你可以发现什么？
3、若用含a、b的式子表示上面的发现可以表示为：___________________________其中要注意的是___________________________；为什么要强调它呢？原因是_________________。
4、用文字表述为：______________________________________________________
5、上面的式子左右两边可以调换吗？需要强调的部分还需要吗？为什么？
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6、上题中得到的式子用文字可表述为：_____________________________________________
二、自学检测：
1、计算
（1）× （2） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 × （3）× （4）×
2、3×2 ·
3、化简: ; ; ; ;
4、
三、能力提高
1、观察下列例子并模仿
②
分别模仿①和②的做法做并把你做题的结果和过程和同学分享，并讨论这类题用上面哪种方法做比较好。
2、若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
3．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×==
==
（2）3= 验证：3=×==
= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =
同理可得：4
5，……
通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
问题交流（小组合作）：
我的收获：
