3.5 确定二次函数的表达式（含答案）
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第三章 二次函数
3.5 确定二次函数的表达式
知识梳理
知识点1 根据条件确定二次函数表达式的三种形式
（1）如果给出二次函数图象上的三个点的坐标，或三组x，y的对应值，那么可设要确定的二次函数的表达式为___________________的形式，即一般式。
（2）如果给出的条件涉及二次函数的最大（小）值、图象的对称轴或顶点坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为___________________的形式，即顶点式。其中点（h，k）为抛物线的顶点坐标。
（3）如果给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点，可以将其表达式设为_______________
____________的形式，即交点式.其中点（x1，0），（x2，0）为该图象与x轴的两个交点。
知识点2 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
（1）先建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件设出抛物线的表达式；
（3）写出相关点的坐标；
（4）列方程（组），求出待定系数；
（5）写出二次函数表达式.
考点突破
考点1 已知三点确定抛物线的解析式
典例1 二次函数的图象经过A（0，－），B（1，2），C（－1，0）三点。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标.
思路导析: 已知图象上三个点的坐标，可设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，即一般式。
解:（1）设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c。
∵二次函数的图象过点（0，－1），∴c＝－1.
把点B（1，2），C（－1，0）的坐标分别代入表达式，
得，解得。∴该二次函数的表达式为y＝2x2＋x－1；
（2）∵，。
∴该二次函数的顶点坐标为（－，－）。
变式1 根据下图，解答下列问题:
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）用平滑曲线连接各点，作出该二次函数的图象.
考点2 已知顶点和另一点确定抛物线的解析式
典例2 已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）.
（1）求该函数的表达式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标.
思路导析: 由于知道抛物线的顶点A（－1，4）的坐标，可以设顶点式y＝a（x＋1）2＋4，再将B（2，－5）代入，求出a的值.
解:（1）∵抛物线的顶点为A（－1，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）2＋4.
将点B（2，－5）代入解析式，得－5＝a（2＋1）2＋4，解得a＝－1.
∴该函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋4，即y＝－x2－2x＋3；
（2）令x＝0，则y＝3.即抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）.
令y＝0，则－x2－2x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝－3.
即抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（－3，0）.
变式2 根据下列条件，分别求出对应的抛物线的表达式:
（1）已知抛物线的顶点坐标是（2，－1），且经过点（0，0）；
（2）抛物线的顶点坐标为M（1，16），与x轴交于两点，且两点相距8个单位.
考点3 已知抛物线与x轴两交点确定抛物线的解析式
典例3 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（1，0）两点，且经过点P（2，8）
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积。
思路导析: 已知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（－2，0），（1，0），故可设其表达式为
y＝a（x＋2）（x－1），即交点式。
解:（1）∵抛物线与x轴交于A（－2，0），B（1，0）两点，
∴设二次函数的表达式为y＝a（x＋2）（x－1）（a≠0）.
又∵图象过点P（2，8），∴8＝a（2＋2）（2－1）.∴a＝2
∴二次函数的表达式为y＝2（x＋2）（x－1），即y＝2x2＋2x－4；
（2）∵当x＝0时，yc＝－4，∴抛物线与y轴的交点坐标为C（0，－4）.
∵AB＝｜－2－1｜＝3，∴S△ABC＝｜AB｜｜yc｜＝×3×4＝6.
变式3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标分别是，，与y轴的交点的纵坐标是－，求该二次函数的表达式。
考点4 根据二次函数图象确定其解析式
典例4 在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示.已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐
标为（－3，1）.
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的表达式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积。
思路导析:（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，证明△ACO≌△ODB；
（2）由于抛物线经过坐标原点，故设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx；
（3）找出抛物线的对称轴，求出点B1的坐标。
解:（1）作AC⊥x轴，垂足为点C，作BD⊥x轴，垂足为点D，
则∠ACO＝∠ODB＝90°，∠AOC＋∠OAC＝90°又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°。
∴∠OAC＝∠BOD.又∵AO＝BO，∴△ACO≌△ODB.
∴OD＝AC＝1，DB＝OC＝3
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）由抛物线经过坐标原点，故可设所求抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
将A（－3，1），B（1，3）两点分别代入上式，得
，解得。∴抛物线的表达式为y＝；
（3）在抛物线y＝中，对称轴为直线x＝。
点B1是点B关于抛物线的对称轴的对称点，∴点B1的坐标为（－，3）。
在△AB1B中，底边B1B＝，高为2，故S△AB1B＝。
变式4 如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的负半轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝，CB＝2，∠CAO＝30°，求该抛物线的表达式及其顶点坐标。
巩固提高
1.已知二次函数的图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2
2.一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，－4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A.y＝－2（x＋2）2＋4 B.y＝－2（x－2）2＋4 C.y＝2（x＋2）2－4 D.y＝2（x－2）2－4
3.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A.y＝－3（x－1）2＋3
B.y＝3（x－1）2＋3
C.y＝－3（x＋1）2＋3
D.y＝－3（x＋1）2＋3
4.若二次函数y＝（m＋1）x2＋m2－2m－－3的图象经过原点，则m的值为（ ）
A. －1或3 B. －1 C. 3 D.无法确定
5.下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴且经过点（0，1）的是（ ）
A.y＝（x－2）2＋1 B.y＝（x＋2）2＋1 C.y＝（x－2）2－3 D.y＝（x＋2）2－3
6.已知二次函数，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，它有最大值1，则其函数表达式为（ ）
A.y＝－2x2＋4x＋3 B.y＝－2x2＋4x－3 C.y＝2x2＋4x＋3 D.y＝－2x2－4x－3
7.设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为___________________________。
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为_________________。
9.请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象同时满足下列条件:①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是__________________。
10.已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x轴交于A，B两点.
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由。
11.已知抛物线在x轴上所截线段的长为4，顶点坐标为（2，4），求这个抛物线的表达式.
体验中考
1.（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1所示），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
B. C. D. ＋
2.（2019·临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位:m）与小球运动时间t（单位:s）之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.
其中正确的是（ ）
①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③
3.（2019·湘潭节选）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点.求该抛物线的解析式.
4.（2019·永州）如图所示，已知抛物线经过两点A（－3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝－1.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
5.（2018·宁夏）抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线，顶点为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.
6.（2018·牡丹江）如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点.请回答下列问题:
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD＋PH的值最小，则PD＋PH的最小值为______________。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）y＝ax2＋bx＋c （2）y＝a（x－h）2＋k （3） y＝a（x－x1）（x－x2）
考点突破
1.解:（1）y＝2x2＋x－2；
（2）抛物线的顶点坐标为（－，－）.对称轴为直线x＝－；
（3）图象略.
2. （1）y＝x2－x （2）y＝－（x－1）2＋16
3.y＝－x2＋2x－.
4.y＝ （－2，－1）
巩固提高
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6. B
7.或
8. 8
9.y＝－x2＋4x＋1（答案不唯一）
10，解:（1）y＝－2x2－2x＋3；
（2）∵－（－2）2—2×（－2）＋3＝－4＋4＋3＝3，
∴点P（－2，3）在这个二次函数的图象上.
∵－2x2－2x＋3＝0，∴x1＝－3，x2＝1.
∴与x轴的交点为（－3，0）， （1，0）.S△PAB＝×4×3＝6.
解:∵抛物线的顶点坐标为（2，4） ，∴设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋4，
抛物线的对称轴为直线x＝2.
又∵∵抛物线与x轴的两交点之间的距离为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标分别为（0，0）， （4，0）.
∴把（0，0）代入抛物线表达式，得0＝4a＋4，∴a＝—1.
∴抛物线的表达式为y＝－（x－2）2＋4＝－x2＋4x.
体验中考
1. B 2.D
3，解:∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点
∴，解得，∴抛物线的解析式为.
4，解，（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝－1，且经过点A（－3，0），
由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x＋3）（a≠0）.
把B（0，3）代人得3＝－3a，∴а＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把点A（－3，0） ， B（0，3）代入，
得，解得。直线AB的解析式为y＝x＋3。
如图所示，作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M。
设P（x，－x2－2x＋3），则M（z，x＋3），
∴PM＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x，∴S＝.
当时，,.
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.
5，解:（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（3，0）， B（0，3），
∴，解得.∴抛物线的解析式为。
（2）由（1）得抛物线的对称辅为直线，把代入，得y＝4。
∴点C的坐标为（，4）。
设线段AB的解析式为y＝kx＋b，把点A（3，0），B（0，3）代入，
得，解得。∴线段AB的解析式为。
令抛物线的对称轴交直线AB于点D，设点D的坐标为（，m），
将点D（，m）代入，得m＝2，∴点D的坐标为（，2），∴CD＝2
如图所示，过点B作BF⊥于点F，∴BF＝OE＝。∵BF＋AE＝OE＋AE＝OA＝3，
∴ S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝CD·AE＝CD(BF＋AE)＝×2×3＝3。
6，解， （1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）， B（3，0），
∴，解得.抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵B（3，0），D（1，4），
∴中点H的坐标为（2，2），其关于y轴的对称点H＇坐标为（－2，2），
连接H＇D与y轴交于点P，则PD＋PH最小，
且最小值为，故答案为.
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第三章 二次函数
3.5 确定二次函数的表达式
知识梳理
知识点1 根据条件确定二次函数表达式的三种形式
（1）如果给出二次函数图象上的三个点的坐标，或三组x，y的对应值，那么可设要确定的二次函数的表达式为___________________的形式，即一般式。
（2）如果给出的条件涉及二次函数的最大（小）值、图象的对称轴或顶点坐标，那么可设要确定的二次函数的表达式为___________________的形式，即顶点式。其中点（h，k）为抛物线的顶点坐标。
（3）如果给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点，可以将其表达式设为_______________
____________的形式，即交点式.其中点（x1，0），（x2，0）为该图象与x轴的两个交点。
知识点2 用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
（1）先建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件设出抛物线的表达式；
（3）写出相关点的坐标；
（4）列方程（组），求出待定系数；
（5）写出二次函数表达式.
考点突破
考点1 已知三点确定抛物线的解析式
典例1 二次函数的图象经过A（0，－），B（1，2），C（－1，0）三点。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的顶点坐标.
思路导析: 已知图象上三个点的坐标，可设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，即一般式。
解:（1）设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c。
∵二次函数的图象过点（0，－1），∴c＝－1.
把点B（1，2），C（－1，0）的坐标分别代入表达式，
得，解得。∴该二次函数的表达式为y＝2x2＋x－1；
（2）∵，。
∴该二次函数的顶点坐标为（－，－）。
变式1 根据下图，解答下列问题:
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）用平滑曲线连接各点，作出该二次函数的图象.
考点2 已知顶点和另一点确定抛物线的解析式
典例2 已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）.
（1）求该函数的表达式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标.
思路导析: 由于知道抛物线的顶点A（－1，4）的坐标，可以设顶点式y＝a（x＋1）2＋4，再将B（2，－5）代入，求出a的值.
解:（1）∵抛物线的顶点为A（－1，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）2＋4.
将点B（2，－5）代入解析式，得－5＝a（2＋1）2＋4，解得a＝－1.
∴该函数的表达式为y＝－（x＋1）2＋4，即y＝－x2－2x＋3；
（2）令x＝0，则y＝3.即抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）.
令y＝0，则－x2－2x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝－3.
即抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（－3，0）.
变式2 根据下列条件，分别求出对应的抛物线的表达式:
（1）已知抛物线的顶点坐标是（2，－1），且经过点（0，0）；
（2）抛物线的顶点坐标为M（1，16），与x轴交于两点，且两点相距8个单位.
考点3 已知抛物线与x轴两交点确定抛物线的解析式
典例3 已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（1，0）两点，且经过点P（2，8）
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积。
思路导析: 已知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（－2，0），（1，0），故可设其表达式为
y＝a（x＋2）（x－1），即交点式。
解:（1）∵抛物线与x轴交于A（－2，0），B（1，0）两点，
∴设二次函数的表达式为y＝a（x＋2）（x－1）（a≠0）.
又∵图象过点P（2，8），∴8＝a（2＋2）（2－1）.∴a＝2
∴二次函数的表达式为y＝2（x＋2）（x－1），即y＝2x2＋2x－4；
（2）∵当x＝0时，yc＝－4，∴抛物线与y轴的交点坐标为C（0，－4）.
∵AB＝｜－2－1｜＝3，∴S△ABC＝｜AB｜｜yc｜＝×3×4＝6.
变式3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标分别是，，与y轴的交点的纵坐标是－，求该二次函数的表达式。
考点4 根据二次函数图象确定其解析式
典例4 在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示.已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐
标为（－3，1）.
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的表达式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积。
思路导析:（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，证明△ACO≌△ODB；
（2）由于抛物线经过坐标原点，故设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx；
（3）找出抛物线的对称轴，求出点B1的坐标。
解:（1）作AC⊥x轴，垂足为点C，作BD⊥x轴，垂足为点D，
则∠ACO＝∠ODB＝90°，∠AOC＋∠OAC＝90°又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°。
∴∠OAC＝∠BOD.又∵AO＝BO，∴△ACO≌△ODB.
∴OD＝AC＝1，DB＝OC＝3
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）由抛物线经过坐标原点，故可设所求抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
将A（－3，1），B（1，3）两点分别代入上式，得
，解得。∴抛物线的表达式为y＝；
（3）在抛物线y＝中，对称轴为直线x＝。
点B1是点B关于抛物线的对称轴的对称点，∴点B1的坐标为（－，3）。
在△AB1B中，底边B1B＝，高为2，故S△AB1B＝。
变式4 如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的负半轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝，CB＝2，∠CAO＝30°，求该抛物线的表达式及其顶点坐标。
巩固提高
1.已知二次函数的图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）
A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2
2.一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，－4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A.y＝－2（x＋2）2＋4 B.y＝－2（x－2）2＋4 C.y＝2（x＋2）2－4 D.y＝2（x－2）2－4
3.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A.y＝－3（x－1）2＋3
B.y＝3（x－1）2＋3
C.y＝－3（x＋1）2＋3
D.y＝－3（x＋1）2＋3
4.若二次函数y＝（m＋1）x2＋m2－2m－－3的图象经过原点，则m的值为（ ）
A. －1或3 B. －1 C. 3 D.无法确定
5.下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴且经过点（0，1）的是（ ）
A.y＝（x－2）2＋1 B.y＝（x＋2）2＋1 C.y＝（x－2）2－3 D.y＝（x＋2）2－3
6.已知二次函数，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，它有最大值1，则其函数表达式为（ ）
A.y＝－2x2＋4x＋3 B.y＝－2x2＋4x－3 C.y＝2x2＋4x＋3 D.y＝－2x2－4x－3
7.设抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为___________________________。
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为（－2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为_________________。
9.请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象同时满足下列条件:①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是__________________。
10.已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x轴交于A，B两点.
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由。
11.已知抛物线在x轴上所截线段的长为4，顶点坐标为（2，4），求这个抛物线的表达式.
体验中考
1.（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1所示），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象——抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
B. C. D. ＋
2.（2019·临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位:m）与小球运动时间t（单位:s）之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.
其中正确的是（ ）
①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③
3.（2019·湘潭节选）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点.求该抛物线的解析式.
4.（2019·永州）如图所示，已知抛物线经过两点A（－3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝－1.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
5.（2018·宁夏）抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线，顶点为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，AC，BC，求△ABC的面积.
6.（2018·牡丹江）如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点.请回答下列问题:
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD＋PH的值最小，则PD＋PH的最小值为______________。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）y＝ax2＋bx＋c （2）y＝a（x－h）2＋k （3） y＝a（x－x1）（x－x2）
考点突破
1.解:（1）y＝2x2＋x－2；
（2）抛物线的顶点坐标为（－，－）.对称轴为直线x＝－；
（3）图象略.
2. （1）y＝x2－x （2）y＝－（x－1）2＋16
3.y＝－x2＋2x－.
4.y＝ （－2，－1）
巩固提高
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6. B
7.或
8. 8
9.y＝－x2＋4x＋1（答案不唯一）
10，解:（1）y＝－2x2－2x＋3；
（2）∵－（－2）2—2×（－2）＋3＝－4＋4＋3＝3，
∴点P（－2，3）在这个二次函数的图象上.
∵－2x2－2x＋3＝0，∴x1＝－3，x2＝1.
∴与x轴的交点为（－3，0）， （1，0）.S△PAB＝×4×3＝6.
解:∵抛物线的顶点坐标为（2，4） ，∴设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋4，
抛物线的对称轴为直线x＝2.
又∵∵抛物线与x轴的两交点之间的距离为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标分别为（0，0）， （4，0）.
∴把（0，0）代入抛物线表达式，得0＝4a＋4，∴a＝—1.
∴抛物线的表达式为y＝－（x－2）2＋4＝－x2＋4x.
体验中考
1. B 2.D
3，解:∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点
∴，解得，∴抛物线的解析式为.
4，解，（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝－1，且经过点A（－3，0），
由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x＋3）（a≠0）.
把B（0，3）代人得3＝－3a，∴а＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把点A（－3，0） ， B（0，3）代入，
得，解得。直线AB的解析式为y＝x＋3。
如图所示，作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M。
设P（x，－x2－2x＋3），则M（z，x＋3），
∴PM＝－x2－2x＋3－（x＋3）＝－x2－3x，∴S＝.
当时，,.
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.
5，解:（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（3，0）， B（0，3），
∴，解得.∴抛物线的解析式为。
（2）由（1）得抛物线的对称辅为直线，把代入，得y＝4。
∴点C的坐标为（，4）。
设线段AB的解析式为y＝kx＋b，把点A（3，0），B（0，3）代入，
得，解得。∴线段AB的解析式为。
令抛物线的对称轴交直线AB于点D，设点D的坐标为（，m），
将点D（，m）代入，得m＝2，∴点D的坐标为（，2），∴CD＝2
如图所示，过点B作BF⊥于点F，∴BF＝OE＝。∵BF＋AE＝OE＋AE＝OA＝3，
∴ S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝CD·AE＝CD(BF＋AE)＝×2×3＝3。
6，解， （1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）， B（3，0），
∴，解得.抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）∵B（3，0），D（1，4），
∴中点H的坐标为（2，2），其关于y轴的对称点H＇坐标为（－2，2），
连接H＇D与y轴交于点P，则PD＋PH最小，
且最小值为，故答案为.
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