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第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点到点的距离为5cm，要从点到点经棱拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.
【答案】25
【解析】
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：
∴AB=
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=
；
∵25<5
<5
,
∴彩带的最短长度是25.
【点评】
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图.
2．如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】
连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
【详解】
解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC=∠A′=60°，A′B=BC=A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD=2+2=4．
故答案为：4．
【点评】
本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC'对称的点是A'是解题的关键．
3．有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧点，与点正对的容器内侧距下底的点处有一饭粒，蚂蚁想吃处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________________．
【答案】25
【解析】
【分析】
从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长的一半，再由勾股定理进行解答即可．
【详解】
解：
如图：过沿上沿B点的对称点B′，作AC⊥BB′于C，
∵高15cm，底面周长为40cm，有一只蚂蚁在一侧距下底2cm的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底12cm的B点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点B处，
∴依题意得：
cm，
cm，
连接A
B′，则A
B′即为最短距离，
故答案为25．
【点评】
本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
4．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
【点评】
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出P的位置．
5．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是________cm.
【答案】6
【解析】
【分析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【详解】
路径一：AB=
；
路径二：AB=
；
路径三：AB=
；
∵
，
∴
cm为最短路径，
故答案为6
cm.
【点评】
此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
6．如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则_________．
【答案】50°
【解析】
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM，,
OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小．
∵P，关于对称，，
∴，．
同理，，，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
故答案为：
【点评】
本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．解题的关键是利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解，证得△P1OP2是等腰三角形．
7．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
【答案】100°
【解析】
如图,作出P点关于OM,ON的对称点P1,P2交OM,ON于A,B两点,此时△PAB的周长最小,根据题意可知:
∠P1PP2=180°－∠MON=180°－40°=140,
所以∠P1PA+∠P2PB=∠P1+∠P2=180°－∠P1PP2=40°,
所以∠APB=140°－40°=100°,因此,本题正确答案为:100°.
8．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个动点，设AP＝x，DP＝y，，则a的最小值是______．
【答案】10
【解析】
由题意可得,当B,P,C三点在同一直线时,a的值最小,则△ABP∽△DCP,x=,y=,则a的最小值是10,故答案为:10.
9．如图,一圆柱高,底面圆半径为cm,一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是________________________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据两点之间线段最短的知识将圆柱的侧面展开并连接AB即可得解.
【详解】
如下图所示：将圆柱的侧面展开，连接AB即可得到爬行的最短路程.
底面圆周长为，底面半圆弧长为，根据题意，展开得，根据勾股定理得，
故答案为：10．
【点评】
本题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，画曲面问题为平面问题．
10．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
【答案】3．
【解析】
【分析】
连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．
【详解】
如图，连接AQ，
∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，
∴BD垂直平分AC，
∴CQ＝AQ，
∴CQ+PQ＝AQ+PQ，
∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，
此时，P为BC的中点，
又∵等边△ABC的周长为18cm，
∴BP＝BC＝×6＝3cm，
故答案为3．
【点评】
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．
【答案】2
2＋2
【解析】
(1)因为E是AB边的中点,F是AC边的中点,所以EF为△ABC的中位线,因为BC=4,所以EF=BC=4=2,
(2)如图,延长FC到P,使FC=PC,连接EP交BC于D,连接ED,FD,此时ED+FD最小,即△EDF的周长最小,
因为EF为△ABC的中位线,所以EF∥BC,
因为∠C=90°,所以∠EFC=90°,FC=PC=AC=,
因为在Rt△EFP中,EP=,
所以△EDF的周长为:EF+FD+ED=2+ED+PD=2+FP=2+,故答案为:2,
2+.
12．如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，AB=7，BC=5，CG=5，则这只蚂蚁爬行的最短距离为__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求解AG=.
【详解】
AG==13；
或AG=．
故最短距离为．
【点评】
考核知识点：勾股定理.把问题转化为直角三角形问题.
13．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
????
【答案】（0，－）
【解析】
如图，根据题意画出图形,找出点N关于y轴的对称点N’,连接MN’,与y轴交点为所求的点P,
因为N(1,
－1),所以N’(－1,
－1),设直线MN’的解析式为,把M(3,2),N(1,1)代入得:
,解得,所以,令x=0,求得y=,则点P坐标为(0,).
故答案为:
(0,).
14．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
【答案】60°
【解析】
如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，则PA+PB=PF+PB=BF，所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，所以∠GPF=60°.
故选A.
15．如图，在△ABC中，AC=BC=2,
∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.
【答案】．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得
则EC+ED的最小值是
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第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题（填空题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点到点的距离为5cm，要从点到点经棱拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm.
2．如图，等边△ABC的边长为2，过点B的直线且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是____.
3．有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧点，与点正对的容器内侧距下底的点处有一饭粒，蚂蚁想吃处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________________．
4．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
5．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是________cm.
6．如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则_________．
7．已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为_____．
8．如图，已知AB⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，AD＝6，AB＝5，CD＝3，P是线段AD上的一个动点，设AP＝x，DP＝y，，则a的最小值是______．
9．如图,一圆柱高,底面圆半径为cm,一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是________________________．
10．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝____；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是____．
12．如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，AB=7，BC=5，CG=5，则这只蚂蚁爬行的最短距离为__．
13．已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
????
14．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
15．如图，在△ABC中，AC=BC=2,
∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.
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