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第13章轴对称13.2画轴对称图形（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知：如图，在平面直角坐标系中，
(1)
作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：
A1
，B1
，C1
.
(2)
直接写出△ABC的面积为
.
(3)
在x轴上画点P，使△PAC的周长最小.
（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）(－1，2)；(－3，1)；(－4，3)；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1
,并写出各点坐标即可;
(2)利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可;
(3)作点A关于x轴的对称点A',连接A'C,则A'C与x轴的交点即为P点.
【详解】
(1)
A1(－1，2)、B1(－3，1)、C1(－4，3)
(2)
(3)
如图
【点评】
本题主要考查轴对称图形及作图和平面直角坐标系中的图形面积.
2．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）由于△PCD的周长＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；
（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短．
【详解】
（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由如下：
在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．
∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由如下：
在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′．连接CE′、E′P、PF′、DF′．
∵C和P关于直线OA对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′．
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由如下：
在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′．
∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．
【点评】
本题考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题的关键．
3．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？请用尺规在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹，不写作法），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
【答案】（1）答案见解析；（2）5km．
【解析】
【分析】
（1）作A关于l的对称点A′，连接A′B与CD交于点E即可．
（2）最短路程即是A′B的距离，过A′作A′F⊥BD的延长线于F，根据勾股定理求得即可．
【详解】
（1）如图：
（2）由作图可得最短路程为A′B的距离，过A′作A′F⊥BD的延长线于F，则DF＝A′C＝AC＝1，A′F＝CD＝3，BF＝1+3＝4，根据勾股定理可得：A′B==5（km）．
【点评】
本题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键综合运用勾股定理的知识．
4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解.
【解析】
【分析】
(1)首先将A、B、C分别向右平移4个单位,得到点A1、B1、C1,顺次连接A1B1,
A1C1、B1C1即可得所求作的三角形.
(2)作点A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2,顺次连接A2B2,
A2C2、B2C2即可得所求作的三角形.
(3)连接OA,
OB、OC,分别将OA、OB、OC旋转180,得到点A3、B3、C3,顺次连接A3B3
、
A3C3,
B3C3即可得所求作的三角形.
【详解】
解:（1）如图所示；
(2)
如图所示；
(3)如图所示；
【点评】
此题主要考查了几何变换的作图方法,找准对称轴、对称中心和旋转中心是解题的关键.
5．如图，△ABC
中，A(－2，3)、B(－3，1)、C(－1，2)
（1）作△ABC
关于直线
x＝1
对称的图形△A1B1C1，写出三顶点
A1、B1、C1的坐标
（2）在
x
轴上求作一点
D，使四边形
ABDC
的周长最小（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
【答案】(1)图像见详解，A1（4，3）；B1（5，1）；C1（3，2）；（2）见详解.
【解析】
【分析】
(1)由轴对称的定义，可得△A1B1C1
的图像，可得A1、B1、C1的坐标；
(2)做B点关于x轴的对称点B2，连接
B2C，与x轴的交点即为D点.
【详解】
解：（1）如图,
△ABC
关于直线
x＝1
对称的图形△A1B1C1如图所示，其中A1点坐标为（4，3），
B1点（5，1），C1点（3，2）；
（2）如图，做B点关于x轴的对称点B2，连接
B2C，与x轴的交点即为D点
【点评】
本题主要考查轴对称的定义及作图，注意灵活运用轴对称的性质.
6．在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据轴对称性，先找出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可．
【详解】
如图所示．
【点评】
本题考查了利用轴对称变化作图，利用轴对称性找出各点的对称点是解题关键．
7．如图所示，是由经过某种变换后得到的图形，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）若点的坐标为，则经过这种变换后的对应点的坐标为________；
（2）经过这种变换后，点的对应点为，若，，试求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由图可知，△COB和△AOB关于y轴对称，继而根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得；
（2）由关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变得出a、b的值，再代入待求代数式求值即可．
【详解】
（1）由题图可知与关于轴对称，则点与点也关于轴对称，故点的坐标为．故答案为．
（2）由（1）得，．
原式
．
【点评】
本题考查了坐标的图形变化及分式的化简求值，掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数和关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．
8．如图，已知的顶点分别为，，和直线（直线上各点的横坐标都为1）．
（1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
（2）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
（3）若点是内部一点，则点关于直线对称的点的坐标是________．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3）
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（3）利用对称轴为直线x=1，进而得出P点的对应点坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求作的三角形，点的坐标为．
（2）解：如图所示，即为所求作的三角形，点的坐标为．
（3）解：∵点是内部一点，
∴设点关于直线对称的点的横坐标为，
则，
故．
∴点关于直线对称的点的坐标是：．
【点评】
本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并根据轴对称变换的定义和性质得出变换后的对应点位置．
9．如图，点P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA、OB的对称点为P1、P2，连接P1、P2，交OA于点M，交OB于点N．
（1）根据题意，把图形补充完整．
（2）若P1P2=5cm，求△PMN的周长．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）△PMN的周长为5cm．
【解析】
【分析】
（1）过点P分别作OA，OB的垂线，分别交AO，AB于点G，H，截取GP1=GP，HP2=HP；
（2）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PMN的周长．
【详解】
（1）如图所示：
（2）∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线，
∴MP=MP1，
同理可得：NP=NP2，
∵P1P2=5cm，
∴△PMN的周长=MP+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=5cm．
【点评】
本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，
.
（1）画出关于轴对称的，点的对称点分别是点，则的坐标：
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）；
（2）画出点关于轴的对称点，连接，，，则的面积是___________.
【答案】（1）画图见解析；-4，-1；-3，-3；-1，-2；（2）画图见解析，4.
【解析】
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）作出点C关于y轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得．
【详解】
（1）如图所示，
即为所求，；
（2）如图所示，的面积是
【点评】
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
11．如图，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1），?
C（—1，6），D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系,分别找出点A、B、C、D关于x轴的对称点A′、B′、C′、D′的位置,然后顺次连接即可,根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数写出各点的坐标即可,根据平面直角坐标系,分别找出点A、B、C、D关于y轴的对称点A″、B″、C″、D″的位置,然后顺次连接即可,根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相同写出各点的坐标即可．
【详解】
解：如图所示,四边形A′B′C′D′即为所求作的关于x轴的对称图形,
A′（-5,-1）,B′（-1,-1）,C′（-1,-6）,D′（-5,-4）,
四边形A″B″C″D″即为所求作的关于y轴的对称图形,
A″（5,1）,B″（1,1）,C″（1,6）,D″（5,4）．
【点评】
本题主要考查了利用轴对称变换作图和关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同,解决本题的关键是准确找出各对称点的位置.
12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，线段两端点的坐标分别为，，，直线轴交轴于，且线段与关于轴对称，线段与关于直线对称．
（1）求点，的坐标（用含，的代数式表示）．
（2）与通过平移能重合吗？请说明理由．若能，请你说出一个平移方案（平移的单位长度数用，表示）．
【答案】（1），；（2）能重合，见解析，平移方案：先将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度
【解析】
【分析】
（1）先根据EF与CD关于y轴对称，得到EF两端点坐标，再设CD与直线l之间的距离为x，根据CD与MN关于直线l对称，l与y轴之间的距离为a，求得M的横坐标即可；
（2）先判定△ABO≌△MFE，得出△ABO与△MFE通过平移能重合，再根据对应点的位置，写出平移方案即可．
【详解】
（1）∵与关于轴对称，两端点的坐标分别为，，
∴，．
设与直线之间的距离为．
∵与关于直线对称，与轴之间的距离为，
∴与轴之间的距离为．
∵，
∴点的横坐标为，
∴，．
（2）能重合．理由如下：
∵，，
又∵轴，轴，
∴，
∴，
∴与通过平移能重合．
平移方案：先将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度（或先将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度）．
【点评】
本题主要考查了坐标与图形变化，解题时注意：关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；向上平移时，纵坐标增加，向左平移时，横坐标减小．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于x轴成轴对称，画出△A1B1C1
（2）点C1的坐标为
，△ABC的面积为
．
【答案】（1）见解析；（2）点C1的坐标为（﹣1，﹣3），△ABC的面积＝3．
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据画出的△A1B1C1写出C1的坐标即可，再根据坐标系中三角形的面积转化为矩形的面积减去三个小三角形的面积计算即可.
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点C1的坐标为（﹣1，﹣3），
△ABC的面积＝2×4﹣×2×2﹣×2×1﹣×4×1＝3．
【点评】
本题考查了轴对称变换和坐标系中求三角形的面积，正确的求出对应点的坐标是解题的关键.
14．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】
解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点评】
本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
15．下列三个图，均由4个完全相同的小正方形组合而成，分别添加一个相同的正方形，使它们成为不同的轴对称图形．
?
【答案】图形见解析.
【解析】
【分析】
先根据图形的性质确定对称轴，再添加正方形．
【详解】
解：如图所示．
?
【点评】
本题考查的是轴对称变换有关知识，根据轴对称图形的性质，主要先找到对称轴，然后再利用轴对称的性质画轴对称图形即可解答．
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第13章轴对称13.2画轴对称图形（简答题专练）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知：如图，在平面直角坐标系中，
(1)
作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：
A1
，B1
，C1
.
(2)
直接写出△ABC的面积为
.
(3)
在x轴上画点P，使△PAC的周长最小.
（不写作法，保留作图痕迹）
2．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
3．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．
（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？请用尺规在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹，不写作法），并说明理由．
（2）求出（1）中的最短路程．
4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
5．如图，△ABC
中，A(－2，3)、B(－3，1)、C(－1，2)
（1）作△ABC
关于直线
x＝1
对称的图形△A1B1C1，写出三顶点
A1、B1、C1的坐标
（2）在
x
轴上求作一点
D，使四边形
ABDC
的周长最小（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
6．在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称．
7．如图所示，是由经过某种变换后得到的图形，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）若点的坐标为，则经过这种变换后的对应点的坐标为________；
（2）经过这种变换后，点的对应点为，若，，试求代数式的值．
8．如图，已知的顶点分别为，，和直线（直线上各点的横坐标都为1）．
（1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
（2）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
（3）若点是内部一点，则点关于直线对称的点的坐标是________．
9．如图，点P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA、OB的对称点为P1、P2，连接P1、P2，交OA于点M，交OB于点N．
（1）根据题意，把图形补充完整．
（2）若P1P2=5cm，求△PMN的周长．
10．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，
.
（1）画出关于轴对称的，点的对称点分别是点，则的坐标：
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）；
（2）画出点关于轴的对称点，连接，，，则的面积是___________.
11．如图，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1），?
C（—1，6），D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，线段两端点的坐标分别为，，，直线轴交轴于，且线段与关于轴对称，线段与关于直线对称．
（1）求点，的坐标（用含，的代数式表示）．
（2）与通过平移能重合吗？请说明理由．若能，请你说出一个平移方案（平移的单位长度数用，表示）．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于x轴成轴对称，画出△A1B1C1
（2）点C1的坐标为
，△ABC的面积为
．
14．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
15．下列三个图，均由4个完全相同的小正方形组合而成，分别添加一个相同的正方形，使它们成为不同的轴对称图形．
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