江苏省扬州市大桥高中2021届高三上学期学情调研（二）数学试题 Word版含答案

大桥高级中学2020—2021学年度第一学期高三学情调研（二）
数学试题
命题： 校审：
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．集合A＝，B＝，
A．(1，3) B．(1，3] C．[﹣1，) D．(1，)
2．复数z满足(1＋i)z＝2＋3i，则z在复平面表示的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，，，(0，)，则＝
A． B． C． D．
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A．30 B．60 C．90 D．120
5．已知随机变量服从正态分布N(1，)，若P(＜4)＝0.9，则P(﹣2＜＜1)为
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a﹣c，则角B的取值范围是
A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，)
7．已知奇函数的定义域为R，且．若当x(0，1]时，＝，则的值是
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
8．对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是
A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5
10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
11．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且，则
A．a，b，c成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A，B，C成等差数列
12．已知函数，若，则下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．当时，
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．的展开式中x的系数为 ．
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
15.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适
量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球
完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(sinx，2cos2x)，xR，设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若a[，]，且，求cos2a的值．
18（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，C＝，c＝2，求△ABC的面积．
19（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，四边形ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明：EF∥平面SAD；（2）若SD＝8，求二面角D—EF—S的正弦值．
20（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．
满意 不满意 总计
男生


女生


合计

120
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：
，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（本小题满分12分）
已知函数，且的解集为[﹣1，2]．
（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式(m≥0)；
（3）设，若对于任意的，[﹣2，1]都有，求M的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知函数，kR．
（1）当k＝2时，求函数的单调区间；
（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
大桥高级中学2020—2021学年度第一学期高三学情调研（二）
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．集合A＝，B＝，AB＝
A．(1，3)B．(1，3]C．[﹣1，)D．(1，)
答案：B
2．复数z满足(1＋i)z＝2＋3i，则z在复平面表示的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
3．若，，，(0，)，则＝
A． B． C． D．
答案：C
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为
A．30 B．60 C．90 D．120
答案：B
5．已知随机变量服从正态分布N(1，)，若P(＜4)＝0.9，则P(﹣2＜＜1)为
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
答案：C
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a﹣c，则角B的取值范围是
A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，)
答案A．
7.已知奇函数的定义域为R，且．若当x(0，1]时，＝，则的值是
A．﹣3 B．﹣2 C．2
答案：B

8．对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是
A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)
答案：B
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5
答案：BD
10．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
答案：ACD
解析：可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选ACD．
11．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且，则
A．a，b，c成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：
C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A，B，C成等差数列
答案：BC
12．已知函数，若，则下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．当时，
答案：CD
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．的展开式中x的系数为 ．答案：-32
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
答案：
解析：，，设切点横坐标为，，所以切点(1，2)，故切线方程为，即．
15.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适
量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球
完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝
．
答案：2
解析：

解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(sinx，2cos2x)，xR，设函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若a[，]，且，求cos2a的值
解：因为 m＝(2cosx，－1)，n＝(sinx，2cos2x)，
所以f(x)＝m·n＋1＝2sinxcosx－2cos2x＋1
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
（1）T＝＝π．
（2）由f(α)＝，得sin(2α－)＝．
由α∈[，]，得≤2α－≤π，
所以cos(2α－)＝－))＝－)2)＝－，
．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，C＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：（1）∵sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，
∴sin（2A）＝1，
∵A∈（0，π），2A∈（，），
∴2A，解得A，
∵C，c＝2，
∴由正弦定理，可得，
∴S△ABCabsinC（1）．
20.（本小题满分12分）
2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．
满意 不满意 总计
男生


女生


合计

120
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：
，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，
于是可完成列联表，如下：
满意 不满意 总计
男生 30 25 55
女生 50 15 65
合计 80 40 120
根据列联表中的数据，得到的观测值
，
所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”
（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即
,
.
可得分布列为
0 1 2 3




可得.
21．（本小题满分12分）
已知函数，且的解集为[﹣1，2]．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式(m≥0)；
（3）设，若对于任意的，[﹣2，1]都有，求M的最小值．
解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，
所以，，即，；所以；
（2），化简有，整理，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，
则有，所以，，
因为对于任意的都有，
即求，转化为，
而，，所以，
此时可得，所以M的最小值为.
22．（本小题满分12分）
已知函数，kR．
（1）当k＝2时，求函数的单调区间；
（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
解：（1）当k＝2时，f (x)＝2x－xlnx，f′(x)＝1－lnx，
由f′(x)＞0，解得0＜x＜e；由f′(x)＜0，解得x＞e，
因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
（2）f (x)＝kx－xlnx，故f′(x)＝k－1－lnx．
当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k－1≥0≥lnx，
因此f′(x)≥0恒成立，即f (x)在(0，1]上单调递增，
所以f (x)≤f (1)＝k恒成立．
当k＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝ek－1∈(0，1)．
当x∈(0，ek－1)，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈(ek－1，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；
于是f (ek－1)＞f (1)＝k，与f (x)≤k恒成立相矛盾．
综上，k的取值范围为[1，＋∞)．
（3）由（2）知，当0＜x≤1时，x－xlnx≤1．
令x＝(n∈N*)，则 ＋lnn≤1，即2lnn≤n2－1，
因此≤．
所以＋＋…＋≤＋＋…＋＝．