实数章末重难点题型汇编【举一反三】
【苏科版】
【考点1
无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【答案】解：3.14、、、0.2020020002是有理数，
、、2π是无理数，无理数的个数是3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中
①无限小数都是无理数
②无理数都是无限小数
③﹣2是4的平方根
④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【答案】解：①无限不循环小数都是无理数，故①错误；
②无理数都是无限不循环小数，故②正确；
③﹣2是4的平方根，故③正确；
④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【答案】解：2，，3，
则无理数有：、、、、0.3232232223…，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：﹣π、、是无理数，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考点2
无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春?巫山县期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间
B．2到3之间
C．3到4之间
D．4到5之间
【分析】直接利用的取值范围进而计算得出答案．
【答案】解：∵34，
∴41＜5，
∴的值在2到3之间．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范是解题关键．
【变式2-1】（2019春?北流市期中）设n为正整数，且nn+1，则n的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】首先得出，得出的取值范围，即可得出n的值．
【答案】解：∵，
∴，
又∵n为正整数，
∴n＝9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
【变式2-2】（2019春?嘉陵区期中）已知a，b分别是6的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．9
【分析】先估算34，然后分别求出a＝2，b＝62＝4，再求解即可；
【答案】解：∵34，
∴6的整数部分是2，即a＝2，
6的小数部分是62＝4，即b＝4，
∴2a﹣b＝4﹣4；
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算；熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式2-3】（2019春?郯城县期中）若a是1的整数部分，b是5的小数部分，则a（b）的值为（ ）
A．6
B．4
C．9
D．3
【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．
【答案】解：∵21＜3，
∴a＝2，
又∵7＜58，
∴5的整数部分为7
∴b＝572；
∴a（b）＝2×（2）＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是求出无理数整数部分的值，属于基础题．
【考点3
实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．a＞b＞c
D．c＞a＞b
【分析】首先求出a，b，c的倒数，进而比较它们的大小，进而得出a、b、c三个数的大小关系．
【答案】解：∵a，b，c＝3，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵3，
∴，
∴，
∴b＞a＞c．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确求出a，b，c的倒数大小是解题关键．
【变式3-1】（2019春?洪山区期中）比较实数：2、、的大小，正确的是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．2
【分析】应用放缩法，判断出2、、的大小关系即可．
【答案】解：∵2，
∴2，
∵2，
∴2，
∴2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．
【变式3-2】（2019春?淮北期中）比较1与的大小，结果是（ ）
A．前者大
B．后者大
C．一样大
D．无法确定
【分析】首先用1减去，判断出1与的差的正负，然后根据1与的差的正负情况，判断出1与的大小关系即可．
【答案】解：∵111＝1﹣1＝0，
∴10，
∴1，
∴比较1与的大小，结果是后者大．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出1与的差的正负．
【变式3-3】（2019秋?乐山校级期中）已知a，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．.b＜a＜c
D．.c＜a＜b
【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．
【答案】解：∵a﹣c1﹣（2）
（1）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b1﹣（2）1
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．
【考点4
数轴及勾股定理】
【例4】（2018秋?仪征市期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣1
【分析】直接利用勾股定理得出PC的长，进而得出答案．
【答案】解：由题意可得：PC＝2，BC＝1，则在Rt△PCB中，
PC2+BC2＝PB2，
故PB＝，
则PD＝，
故点D表示的数为：﹣1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确得出PC的长是解题关键．
【变式4-1】（2018春?芜湖期中）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
【分析】利用勾股定理列式求出OC，再根据无理数的大小判断即可．
【答案】解：由勾股定理得，OC＝＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴该点位置大致在数轴上3和4之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OC的长是解题的关键．
【变式4-2】（2019秋?雁塔区校级月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+
B．﹣1
C．﹣1﹣
D．2﹣
【分析】利用勾股定理求出线段的长度，再用该值加﹣2即可得出a的值．
【答案】解：∵＝，
∴a＝﹣2+．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，利用勾股定理求出线段的长度是解题的关键．
【变式4-3】如图，直角三角形OBC中，BC＝1，OC在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，﹣1，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则x2﹣10的立方根为（ ）
A．﹣10
B．﹣﹣10
C．2
D．﹣2
【分析】根据勾股定理得出BO的长，进而得出A点对应的数，进而利用立方根的定义得出即可．
【答案】解：由题意可得：BC＝CO＝1，
则BO＝，
故A点对应的实数为：﹣，
则x2﹣10＝（﹣）2﹣10＝﹣8，
故x2﹣10的立方根为：﹣2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，根据题意得出x的值是解题关键．
【考点5
实数的运算】
【例5】（2019秋?岳麓区校级月考）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【答案】解：原式＝﹣1+4×﹣3+π﹣3
＝﹣1+2﹣3+π﹣3
＝π﹣5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式5-1】（2019秋?开福区校级月考）计算：．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【答案】解：原式＝2+2﹣﹣1﹣4
＝﹣3．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【变式5-2】（2019秋?南岸区校级月考）计算：
【分析】原式利用平方根、立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【答案】解：原式＝4﹣2﹣3+﹣3＝﹣4．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2019春?兴宁区校级月考）计算
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【答案】解：原式＝2÷1﹣2﹣2+＝﹣2+．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点6
与平方根、立方根有关的解方程】
【例6】（2019秋?皇姑区校级月考）求下列各式中的x
（1）8x3+27＝0；
（2）（x﹣3）2＝75．
【分析】（1）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用平方根定义开平方即可求出x的值．
【答案】解：（1）方程整理得：x3＝﹣，
开立方得：x＝﹣；
（2）方程整理得：（x﹣3）2＝225，
开方得：x﹣3＝±15，
解得：x＝18或x＝﹣12．
【点睛】此题考查了平方根，立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【变式6-1】（2019秋?北碚区校级月考）解方程：
（1）＝﹣4
（2）12（2﹣x）2＝243
【分析】立方根和平方根的定义解方程即可．
【答案】解：（1）（x﹣1）3＝﹣4，
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2，
x＝﹣1；
（2）12（2﹣x）2＝243，
（2﹣x）2＝，
2﹣x＝±，
x＝或x＝﹣．
【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．
【变式6-2】（2019春?德城区校级期中）求下列x的值：
（1）4（3x+1）2﹣1＝0；
（2）（x+3）3＝4
【分析】（1）根据平方根，即可解答；
（2）根据立方根，即可解答．
【答案】解：（1）4（3x+1）2﹣1＝0；
3x+1＝，
x＝﹣或﹣，
（2）（x+3）3＝4
x+3＝2，
x＝﹣1
【点睛】本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根．
【变式6-3】（2019春?惠城区校级期中）解方程：
（1）16（x+1）2＝49
（2）27x3+125＝0
【分析】（1）根据平方根，即可解答；
（2）根据立方根，即可解答．
【答案】解：（1）16（x+1）2＝49
x+1＝，
x＝或﹣；
（2）27x3+125＝0
x＝﹣．
【点睛】本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根．
【考点7
平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例7】（2019春?中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣1和2﹣a，可得：（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，据此求出a和m的值；然后根据a+b+2的立方根是2，可得：a+b+2＝23＝8，据此求出b的值；最后求出m+b的平方根即可．
【答案】解：∵2a﹣1与2﹣a是正数m的平方根
∴（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，
∴a＝﹣1；
∴m＝（﹣1）2＝1；
∵a+b+2立方根是2，
∴a+b+2＝8，
∴b＝7；
∴m+b＝1+7＝8．
所以m+b的平方根是±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式7-1】（2019春?乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，据此求出a的值是多少；然后根据：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，据此求出2a﹣b的平方根是多少即可．
【答案】解：∵一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2；
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴2a﹣b
＝2×（﹣2）﹣（﹣8）
＝﹣4+8
＝4
2a﹣b的平方根是：±±2．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【变式7-2】（2018春?孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝
，y＝
，a＝
；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，再根据平方根的意义，可得x，根据立方根的意义，可得y，
（2）根据平方根的意义，可得答案．
【答案】解：（1）由正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，得
2a﹣1+a﹣5＝0，
解得a＝2，
由平方根的意义，得
x＝（2a﹣1）2＝9；
x﹣y﹣3的立方根为3，
得x﹣y﹣3＝33，
解得y＝﹣21，
故答案为：9，﹣21，2；
（2）x﹣y+3a＝9﹣（﹣21）+3×2＝36，
x﹣y+3a的平方根是±±6．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，利用立方根的意义、平方根的意义是解题关键．
【变式7-3】（2018春?鄂城区期中）已知是m+3的算术平方根是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵A是m+3的算术平方根，B是n﹣2的立方根，
∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝6，n＝3，
（2）∵m＝6，n＝3，
∴A3，B1，
∴A﹣B＝3﹣1＝2．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．
【考点8
利用实数性质求代数式的值】
【例8】（2019春?中山市期中）a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式﹣x2+cdx﹣的值．
【分析】直接利用相反数以及互为倒数、绝对值的性质分别化简得出答案．
【答案】解：∵a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±，
∴﹣x2+cdx﹣
＝0﹣5±﹣1
＝﹣6±．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式8-1】（2019春?阳东区期末）已知2的平方等于a，（2b﹣1）是27的立方根，±表示3的平方根，求a+b2﹣c的值．
【分析】由平方根和立方根的概念求解可得．
【答案】解：由题意知a＝22＝4，
2b﹣1＝3，c﹣2＝3，
∴a＝4，b＝2，c＝5；
∴a+b2﹣c＝4+4﹣5＝3．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的概念．
【变式8-2】（2019春?番禺区期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，求﹣+x的值．
【分析】直接利用相反数的定义以及倒数的定义、平方根的定义分别分析得出答案．
【答案】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±，
∴﹣+x
＝0﹣±
＝﹣2或0．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确把握相关定义是解题关键．
【变式8-3】（2019春?黄石港区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身，p是平方根等于本身的实数，求p2019+m2的值．
【分析】直接利用相反数以及倒数、算术平方根、平方根的定义分别代入化简得出答案．
【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身，p是平方根等于本身的实数，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝0或1，p＝0，
当m＝1时，
∴p2019+m2
＝0+1+0+1
＝2；
当m＝0时，
∴p2019+m2
＝0+1+0+0
＝1．
故答案为：1或2．
【点睛】此题主要考查了实数运算以及平方根，正确化简各数是解题关键．
【考点9
算术平方根的非负性】
【例9】（2019春?高安市期中）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．
【答案】解：根据题意得，2a+10＝0，b﹣＝0，
解得a＝﹣5，b＝，
所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，
即﹣x+5＝﹣6，
解得x＝11．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
【变式9-1】（2018春?涪城区校级月考）已知实数x，y，z，满足关系式|x﹣1|+（y+3）2+＝0，求x﹣y﹣z的平方根．
【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值，即可求得x﹣y﹣z的值，进一步得出答案．
【答案】解：∵|x﹣1|+（y+3）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，x+y+z＝0，
∴x＝1，y＝﹣3，z＝2，
∴x﹣y﹣z＝1﹣（﹣3）﹣2＝2，
∴x﹣y﹣z的平方根是±．
【点睛】考查了非负数的性质、三元一次方程组的解法．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式9-2】（2019秋?利州区校级月考）设a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2++|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0
（1）求a，b，c的值；
（2）求式子x2+2x的算术平方根．
【分析】（1）直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质和算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）首先把a，b，c的值代入进而得出x2+2x的值，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵（2﹣a）2++|c+8|＝0，
∴a＝2，c＝﹣8，故22+b﹣8＝0，
解得：b＝4；
（2）∵ax2+bx+c＝0，
∴2x2+4x﹣8＝0，
故x2+2x﹣4＝0，
则x2+2x＝4，
故式子x2+2x的算术平方根是：2．
【点睛】此题主要考查了偶次方的性质以及绝对值的性质和算术平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【变式9-3】（2019秋?山亭区期中）已知实数a、b、c满足|a﹣b|++c2﹣c+＝0，求a（b+c）的值．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【答案】解：|a﹣b|++（c﹣）2＝0，
所以，a﹣b＝0，2b﹣c＝0，c﹣＝0，
解得a＝b＝，c＝，
所以，a（b+c）＝×（+）＝×＝．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【考点10
利用实数性质化简求值】
【例10】（2019秋?德城区校级月考）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．
【分析】根据数轴去绝对值，然后合并同类项即可．
【答案】解：由图示知，b＜a＜0．则a﹣b＞0，a+b＜0．
所以原式＝a﹣b﹣（a+b）＝﹣2b．
【点睛】本题考查了实数与数轴．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．
【变式10-1】（2019秋?东坡区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后利用算术平方根和绝对值的性质解答即可．
【答案】解：由图可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，
所以，a+b＜0，
所以，|a+b|﹣﹣
＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b
＝﹣3a．
【点睛】本题考查了实数与数轴，准确识图判断出a、b的正负情况是解题的关键．
【变式10-2】（2019春?苍溪县期中）已知a、b、c在数轴上如图，化简﹣|a+b|++|b+c|．
【分析】直接利用数轴得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，进而化简得出答案．
【答案】解：如图所示：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
故﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．
【变式10-3】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【分析】直接利用数轴得出a，b的符号进而化简得出答案．
【答案】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，b＞0，
则a﹣＜0，
故原式＝﹣a+b﹣a+a﹣
＝﹣a+b﹣．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各式是解题关键．
【考点11
实数与数轴】
【例11】（2018秋?西湖区校级月考）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ﹣1 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）根据勾股定理计算，并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【答案】解：（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a＝，
即拼成的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）由勾股定理得：＝，
∴点A表示的数为﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×+2×2×＝4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为．
【点睛】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【变式11-1】（2018秋?邢台期末）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为 4 cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 1﹣2 ．
【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；
（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；
（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．
【答案】解：（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得
a3＝64
∴a＝4
故答案为4．
（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得
8b3＝64
∴b＝2
∴所以根据勾股定理得
CD2＝22+22
∴CD＝2
答：这个正方形的边长是2cm．
（3）由（2）知，AD＝2
∴点D对应的数的绝对值是2﹣1
∵点D对应的数是负数
∴点D对应的数是1﹣2
故答案为1﹣2．
【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．
【变式11-2】（2018秋?嵊州市期末）如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【分析】（1）根据勾股定理求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数的位置．
【答案】解：（1）正方形的边长是：＝，
面积为：×＝5．
（2）见图：在数轴上表示实数，
【点睛】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式11-3】（2018秋?西湖区校级月考）在数学活动中，我们发现了一些有趣的现象，可以用图形来解决一些数的问题现象一：如图（1）所示，5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请求出图中阴影部分正方形的面积和边长，并用直尺和圆规把边长表示的数在数轴上表示出来．
现象二：为求…的值，设计了如图（2）所示的几何图形．
（2）请你利用这个几何图形求…的值为 1﹣ ．（结果保留n）
请你利用图（2）再设计一个能求…的值的几何图形．
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长；利用勾股定理作出边长表示的无理数即可．
（2）设正方形的面积为1，每次划分都是将原图形化成两个面积相等的图象，当化到第n个时，所剩的最小图形的面积是，所以…表示的面积等于1﹣．在划分图形时每次划分都是上一级图形面积的一半．
【答案】解：（1）阴影部分面积＝5×5﹣4××1×4，
＝25﹣8
＝17，
阴影部分正方形的边长＝；
如图所示．
（2）…＝1﹣，
如图所示．：
故答案为：1﹣．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解答关键是利用图形的面积表示所求表达式的值，在图形划分时每一次划分都是上一级图形面积的一半．实数章末重难点题型汇编【举一反三】
【苏科版】
【考点1
无理数的概念】
【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博兴县期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式1-1】（2018春?新罗区校级期中）下列说法中
①无限小数都是无理数
②无理数都是无限小数
③﹣2是4的平方根
④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）下列实数中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【变式1-3】（2019秋?安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点2
无理数的估算】
【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算.
【例2】（2018春?巫山县期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间
B．2到3之间
C．3到4之间
D．4到5之间
【变式2-1】（2019春?北流市期中）设n为正整数，且nn+1，则n的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式2-2】（2019春?嘉陵区期中）已知a，b分别是6的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值是（ ）
A．
B．2
C．
D．9
【变式2-3】（2019春?郯城县期中）若a是1的整数部分，b是5的小数部分，则a（b）的值为（ ）
A．6
B．4
C．9
D．3
【考点3
实数的大小比较】
【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，则a、b、c三个数的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．a＞b＞c
D．c＞a＞b
【变式3-1】（2019春?洪山区期中）比较实数：2、、的大小，正确的是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．2
【变式3-2】（2019春?淮北期中）比较1与的大小，结果是（ ）
A．前者大
B．后者大
C．一样大
D．无法确定
【变式3-3】（2019秋?乐山校级期中）已知a，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．.b＜a＜c
D．.c＜a＜b
【考点4
数轴及勾股定理】
【例4】（2018秋?仪征市期中）如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣1
【变式4-1】（2018春?芜湖期中）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
【变式4-2】（2019秋?雁塔区校级月考）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．﹣2+
B．﹣1
C．﹣1﹣
D．2﹣
【变式4-3】如图，直角三角形OBC中，BC＝1，OC在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，﹣1，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则x2﹣10的立方根为（ ）
A．﹣10
B．﹣﹣10
C．2
D．﹣2
【考点5
实数的运算】
【例5】（2019秋?岳麓区校级月考）计算：．
【变式5-1】（2019秋?开福区校级月考）计算：．
【变式5-2】（2019秋?南岸区校级月考）计算：
【变式5-3】（2019春?兴宁区校级月考）计算
【考点6
与平方根、立方根有关的解方程】
【例6】（2019秋?皇姑区校级月考）求下列各式中的x
（1）8x3+27＝0；
（2）（x﹣3）2＝75．
【变式6-1】（2019秋?北碚区校级月考）解方程：
（1）＝﹣4
（2）12（2﹣x）2＝243
【变式6-2】（2019春?德城区校级期中）求下列x的值：
（1）4（3x+1）2﹣1＝0；
（2）（x+3）3＝4
【变式6-3】（2019春?惠城区校级期中）解方程：
（1）16（x+1）2＝49
（2）27x3+125＝0
【考点7
平方根与立方根的性质应用】
【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：
（1）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
【例7】（2019春?中山市期中）已知一个正数m的平方根是2a﹣1与2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【变式7-1】（2019春?乐陵市期中）已知一个正数的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【变式7-2】（2018春?孝南区期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根为3．
（1）填空：x＝
，y＝
，a＝
；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【变式7-3】（2018春?鄂城区期中）已知是m+3的算术平方根是n﹣2的立方根，试求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【考点8
利用实数性质求代数式的值】
【例8】（2019春?中山市期中）a，b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式﹣x2+cdx﹣的值．
【变式8-1】（2019春?阳东区期末）已知2的平方等于a，（2b﹣1）是27的立方根，±表示3的平方根，求a+b2﹣c的值．
【变式8-2】（2019春?番禺区期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是3的平方根，求﹣+x的值．
【变式8-3】（2019春?黄石港区校级期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身，p是平方根等于本身的实数，求p2019+m2的值．
【考点9
算术平方根的非负性】
【例9】（2019春?高安市期中）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．
【变式9-1】（2018春?涪城区校级月考）已知实数x，y，z，满足关系式|x﹣1|+（y+3）2+＝0，求x﹣y﹣z的平方根．
【变式9-2】（2019秋?利州区校级月考）设a，b，c都是实数，且满足（2﹣a）2++|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0
（1）求a，b，c的值；
（2）求式子x2+2x的算术平方根．
【变式9-3】（2019秋?山亭区期中）已知实数a、b、c满足|a﹣b|++c2﹣c+＝0，求a（b+c）的值．
【考点10
利用实数性质化简求值】
【例10】（2019秋?德城区校级月考）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简．
【变式10-1】（2019秋?东坡区校级月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|﹣﹣．
【变式10-2】（2019春?苍溪县期中）已知a、b、c在数轴上如图，化简﹣|a+b|++|b+c|．
【变式10-3】实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【考点11
实数与数轴】
【例11】（2018秋?西湖区校级月考）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【变式11-1】（2018秋?邢台期末）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．
（1）这个魔方的棱长为 cm；
（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；
（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ．
【变式11-2】（2018秋?嵊州市期末）如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【变式11-3】（2018秋?西湖区校级月考）在数学活动中，我们发现了一些有趣的现象，可以用图形来解决一些数的问题现象一：如图（1）所示，5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请求出图中阴影部分正方形的面积和边长，并用直尺和圆规把边长表示的数在数轴上表示出来．
现象二：为求…的值，设计了如图（2）所示的几何图形．
（2）请你利用这个几何图形求…的值为 ．（结果保留n）
请你利用图（2）再设计一个能求…的值的几何图形．
