八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【知识点1】全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
【知识点2】全等三角形的判定
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
【知识点3】轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，
那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，
这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点
【知识点4】轴对称图形的概念
把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，
那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴
【知识点5】垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
【知识点6】轴对称性质：
成轴对称的两个图形全等
如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称
成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上
【知识点7】线段的对称性
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴
线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等
到线段两端距离相等的点在垂直平分线上
【知识点8】角的对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴
角平分线上的点到角的两边距离相等
到角的两边距离相等的点在角平分线上
【知识点9】等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴
等边对等角
三线合一
【知识点10】等腰三角形判定
两边相等的三角形是等边三角形
等边对等角
直角三角形斜边上中线等于斜边一半
【知识点11】等边三角形判定及性质
三条边相等的三角形是等边三角形
等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
等边三角形每个角都等于60°
(补充)
等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形
【知识点12】等腰梯形性质
等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴
等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形对角线相等
【知识点13】等腰梯形判定
1.、两腰相等的梯形是等腰梯形
2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
【知识点14】勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a?＋b?＝c?
【知识点15】勾股定理逆定理
如果一个三角形三边a、b、c满足a?＋b?＝c?,那么这个三角形是直角三角形
【知识点16】勾股数
满足a?＋b?=c?的三个正整数a、b、c称为勾股数
【考点1
全等三角形的判定】
【例1】（2018秋?利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【答案】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB．
在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AD＝BC，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CE+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
即3对全等三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【变式1-1】（2018秋?思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；
②BC＝ED；
③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据已有的条件∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【答案】解：∵∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，
∴①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；
②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；
③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
⑤加上∠1＝∠2不能证明△ABC≌△AED；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°
B．AB＝5，BC＝6，AC＝13
C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8
D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有C能画出唯一三角形．
【答案】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
B、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，
∴不能画出△ABC；
故本选项错误；
C、已知两角和夹边，能画出唯一△ABC，故本选项正确；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式1-3】（2018秋?东台市期中）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；
③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案．
【答案】解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；
③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键．
【考点2
等腰三角形中的分类讨论思想】
【例2】（2018春?鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．3cm或6cm
D．8cm
【分析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．
【答案】解：当3cm是底时，则腰长是（15﹣3）÷2＝6（cm），此时能够组成三角形；
当3cm是腰时，则底是15﹣3×2＝9（cm），此时3+3＜9，不能组成三角形，应舍去．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【变式2-1】（2018春?金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°
B．130°
C．50°或
140°
D．50°或
130°
【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【答案】解：当为锐角时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
【变式2-2】（2018秋?绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．2cm
B．8cm
C．2cm或8cm
D．10cm
【分析】作出图形，根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，然后求出两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，然后分情况讨论求解即可．
【答案】解：如图，∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，
∵BC＝5cm，
∴AB﹣5＝3或5﹣AB＝3，
解得AB＝8或AB＝2，
若AB＝8，则三角形的三边分别为8cm、8cm、5cm，
能组成三角形，
若AB＝2，则三角形的三边分别为2cm、2cm、5cm，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的腰长为8cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
【变式2-3】（2018秋?沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）
A．30°
B．30°或150°
C．120°或150°
D．30°或120°或150°
【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难求解．
【答案】解：①如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AB，
∴∠B＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
②如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AC，
∴∠ACD＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．
③如图，∵∠ADB＝90°，AD＝BC，
∴∠B＝30°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠C＝75°，
∴∠B＝30°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．
【考点3
勾股定理与折叠】
【例3】（2019?云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据对称性可知：BE＝FE，∠AFE＝∠ABE＝90°，又∠C＝∠C，所以△CEF∽△CAB，根据相似的性质可得出：＝，BE＝EF＝×AB，在△ABC中，由勾股定理可求得AC的值，AB＝1，CE＝2﹣BE，将这些值代入该式求出BE的值．
【答案】解：设BE的长为x，则BE＝FE＝x、CE＝2﹣x
在Rt△ABC中，AC＝＝
∵∠C＝∠C，∠AFE＝∠ABE＝90°
∴△CEF∽△CAB（两对对应角相等的两三角形相似）
∴
∴FE＝x＝×AB＝×1，x＝，
∴BE＝x＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
【变式3-1】（2018春?江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝4，MN＝MD＝1，得出∠MAQ＝∠AMQ，证出MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，证出∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ＝7.5，AQ＝8.5，即可求出△ABN的面积．
【答案】解：延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝4，MN＝MD＝1，
∴∠MAQ＝∠AMQ，
∴MQ＝AQ，
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1+x，
∵∠ANM＝90°，
∴∠ANQ＝90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2+NQ2，
∴（x+1）2＝42+x2，
解得：x＝7.5，
∴NQ＝7.5，AQ＝8.5，
∵AB＝5，AQ＝8.5，
∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN?NQ＝××4×7.5＝；
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．
【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
【答案】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【答案】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴AD＝DC＝DB＝，
∵?BC?AH＝?AB?AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵?AD?BO＝?BD?AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
【考点4
轴对称中的最值问题】
【例4】（2018秋?吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．1.5
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在线段CD上时，△PMN的周长最小，再依据勾股定理，即可得到△PMN周长的最小值．
【答案】解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝1，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD＝＝．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝，
故选：A．
【点睛】此题主要考查最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式4-1】（2018秋?如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4
B．4.8
C．4
D．5
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB?CM＝AC?BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【答案】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB?CM＝AC?BC，
∴CM＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
【变式4-2】（2018秋?大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点F、E，连接FE，分别交OA、OB于点C、D，连接OE、OF、PC、PD、CD，依据轴对称的性质，即可得到OE＝OF＝EF，即△OEF是等边三角形，进而得出∠AOB＝30°．
【答案】解：分别作点P关于OA、OB的对称点F、E，连接FE，分别交OA、OB于点C、D，此时PD+PC+CD的值最小，连接OE、OF、PC、PD、CD，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为F，关于OB的对称点为E，
∴PC＝FC，OP＝OF，∠FOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为E，
∴PD＝ED，OP＝OE，∠EOB＝∠POB，
∴OE＝OP＝OF，∠AOB＝∠COD，
∵△PCD周长的最小值是4，
∴PD+PC+CD＝4，
∴DE+CF+CD＝4，
即EF＝4＝OP，
∴OE＝OF＝EF，即△OEF是等边三角形，
∴∠EOF＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
【变式4-3】（2018?营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【答案】解：如图，在BA上截取BE＝BN，
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，
所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把CM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
【考点5
线段垂直平分线的应用】
【例5】（2018?太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为
°．
【分析】连接DA、EA，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据勾股定理的逆定理得到∠DAE＝90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【答案】解：连接DA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
∴2∠B+2∠C+90°＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为：135．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式5-1】（2018春?叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为
．
【分析】根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE周长＝BC．
【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴L△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．
【变式5-2】（2018秋?江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为
．
【分析】据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．
【答案】解：∵∠ACB＝118°，
∴∠A+∠B＝62°．
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝62°．
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．
故答案为：56°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大．
【变式5-3】（2018秋?丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝
．
【分析】根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），然后根据全等三角形的对应边相等推知BE＝CF．再利用勾股定理求解可得．
【答案】解：如图，连接DB．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC；
∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
∵∠DFC＝∠DEB＝90°，（已知），
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF＝BE（全等三角形的对应边相等）．
∵CD＝5，DF＝4，
∴BE＝CF＝＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解答此题时是通过作辅助线BD构建全等三角形△DCF≌△DEB（HL）来证明全等三角形的对应线段CF＝BE．
【考点6
复杂的尺规作图】
【例6】（2018秋?六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】反向延长OA到点D，过点O作直线DA的垂直平分线OC，再作∠AOC的平分线即可得．
【答案】解：如图所示，∠AOB即为所作．
【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握过直线上一点作已知直线的垂线和角平分线的尺规作图．
【变式6-1】（2018秋?泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B
（1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）点C关于直线的对称点落在边AB上，则该直线为∠BAC的角平分线；
（2）依据SAS判定△ACD≌△AED，即可得到DE＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，再根据三角形外角性质，即可得到∠AED＝∠B+∠BDE，进而得出∠B＝∠BDE，即可得到BE＝DE＝CD，依据AB＝AE+BE，即可得到AB＝AC+CD．
【答案】解：（1）如图所示，直线AD即为所求；
（2）线段AB、AC、CD之间的数量关系为：AB＝AC+CD．
理由：由题可得，AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴DE＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠BDE，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE＝CD，
又∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+CD．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式6-2】（2018秋?丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交直线AB于P1，以B点为圆心，BC为半径画弧交直线AB于P2，P3，作BC的垂直平分线交直线AB于P4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，当CP1＝CB时，利用等腰三角形的性质得到AP1＝AB＝3；当BP2＝BP3＝BC＝5时，易得AP2＝AB+BP2＝8；AP3＝BP3﹣AB＝2；当P4C＝P4B时，设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，利用勾股定理得到x2+42＝（x+3）2，解方程即可．
【答案】解：（1）如图，点P1、P2、P3、P4为所作；
（2）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
当CP1＝CB时，
∵CA⊥BP1，
∴AP1＝AB＝3；
当BP2＝BP3＝BC＝5时，
AP2＝AB+BP2＝3+5＝8；
AP3＝BP3﹣AB＝5﹣3＝2；
当P4C＝P4B时，
设AP4＝x，则P4C＝P4B＝x+3，
在Rt△P4AC中，x2+42＝（x+3）2，解得x＝，
即AP4＝．
综上所述，AP的值可能为2、3、8、．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
【变式6-3】（2018?惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）在BC上取点D，过点D作BC的垂线，在垂线上取点E使DE＝DB，连接EC，作EC的垂直平分线交BC于点F；则Rt△DEF即为所求．
【答案】解：（1）如图，作AB的垂直平分线，交BC于点P，则点P即为所求；
（2）如图，①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，②在垂线上取点E使DE＝DB，连接EC，③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【考点7
与直角三角形性质的有关综合】
【例7】（2018秋?泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．
（1）说明DC＝DG；
（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG＝AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD＝∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD＝2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD＝∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD＝DG；
（2）根据勾股定理即可求解．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠DEB＝180°，
∴∠ADE＝90°，
∵G为AF的中点，
∴DG＝AG，
∴∠DAF＝∠ADG，
∴∠DGC＝∠DAF+∠ADG＝2∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACD＝2∠ACB，
∴∠DGC＝∠DCA，
∴DC＝DG；
（2）解：∵在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DG＝DC＝7，CE＝4，
∴由勾股定理得：DE＝＝．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出DG＝DC，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【变式7-1】（2018秋?海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE＝DF；
（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．
【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°，AD＝BD，求出∠BDE＝∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；
（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE＝CF，根据勾股定理求出即可；
（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C＝∠B＝45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF．
（2）证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE＝AF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠EDA+∠ADF＝∠ADF+∠FDC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDC，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF＝AE，
∴EF2＝AE2+AF2＝BE2+CF2，
即BE2+CF2＝EF2．
（3）解：EF2＝BE2+CF2＝100，
∴EF＝10，
根据勾股定理DE＝DF＝5，
△DEF的面积是DE×DF＝×5×5＝25．
答：△DEF的面积是25．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的应用，关键是①小题构造三角形ADF，证△BDE和△ADF全等，②小题求出CF＝AE，目比较典型，但有点难度．
【变式7-2】（2018秋?高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．
（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；
（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论；
（2）由DE＝DC得到∠DEC＝∠DCE，由DE＝BE得到∠B＝∠EDB，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
【答案】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝20，
∵CE是中线，
∴DE是斜边AB上的中线，
∴DE＝AB＝10；
（2）∵DF⊥CF，F是CF的中点，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∴∠AEC＝3∠BCE＝57°，则∠BCE＝19°．
【点睛】本题考查了勾股定理，也考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式7-3】（2018秋?太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；
（2）若EF＝4，求△MEF的面积．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM＝FM，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
（2）作MN⊥EF于N，根据直角三角形的性质得到FM＝BC＝5，根据等腰三角形的性质、三角形面积公式计算．
【答案】解：（1）∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴BM＝FM，
∵∠ABC＝50°，
∴∠MFB＝∠MBF＝50°，
∴∠BMF＝180°﹣2×50°＝80°，
同理，∠CME═180°﹣2×60°＝60°，
∴∠EMF＝180°﹣∠BMF﹣∠CME＝40°；
（2）作MN⊥EF于N，
∵CF⊥AB，M为BC的中点，
∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，
∴FM＝BC＝5，
同理可得，ME＝5，
∴△EFM是等腰三角形，
∵EF＝4，
∴FN＝2，
∴MN＝＝，
∴△EFM的面积＝EF?MN＝×4×＝2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【考点8
等腰三角形与全等三角形的综合】
【例8】（2019?东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝3，求AF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD＝BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解题；
（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF＝DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．
【答案】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF＝AC；
（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD＝3，CF＝CD＝3，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF＝CF，
∴AF＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．
【变式8-1】（2018秋?临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；
（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；
（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．
【答案】（1）证明：
∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，
∴∠CBF＝90°，
又AC＝BC，
∴∠DBA＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，
∴∠BDE＝∠BFE＝45°，
∴BD＝BF，
又D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝BF；
（2）证明：
由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CFB（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠BCF+∠CDA＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴AD⊥CF；
（3）解：
由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD＝AF，
∴AF＝CF，
∴△ACF为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．
【变式8-2】（2019秋?宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
【分析】（1）求出∠ACE＝45°，证明∠EAC＝∠ACE，即可解答；
（2）利用同角的余角相等，证明∠BAD＝∠BCE，利用ASA证明即可解答．
【答案】解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴AE＝CE．
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B+∠BCE＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记全等三角形的判定方法．
【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【答案】解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
【考点9
与三角形有关的动点问题】
【例9】（2018秋?全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．
则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF；
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM＝DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．
【答案】解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC＝∠A＝30°．
∠EFC＝∠B＝30°
∴EC＝CF．
又∵AC＝BC
∴AE＝BF
D是AB中点．
∴DB＝AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE＝DF
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．
∵AC＝BC、AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN．
由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
综上一、二、三所述，得：DE＝DF．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度．
【变式9-1】（2019秋?本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是
三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
【分析】（1）根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△AED和△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA＝60°，
∴△EFB为等边三角形，
（2）①△BEF为等腰三角形，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠C，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC，
∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，
∴△EFB为等腰三角形，
②AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
∵△BEF为等腰三角形，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠ACB＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠EBA＝∠ACD，
∴∠EBF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵在△EFB中，∠EBF＝∠AFE，
∴△EFB为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．
【变式9-2】（2018秋?十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝
．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．
【答案】（1）解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝25°，
故答案为：25°；
（2）解：当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
（3）解：当D在线段BC上时，α+β＝180°，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α＝β．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-3】（2019秋?上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ＝2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN＝CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；
（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．
【答案】解：（1）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，
∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP＝CQ＝5，
∴PN＝＝＝3，
∴PQ＝2PN＝2×3＝6；
（3）PQ的长为定值6．
∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝4是定值，
∴PQ的长是定值．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．
【考点10
与等边三角形的性质与判定有关问题综合】
【例10】（2018春?天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根据旋转的性质得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，证△EAB≌△DAC即可；
（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，
∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．
【变式10-1】（2018秋?广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．
（1）求证：BE＝DC；
（2）求证：△AMN是等边三角形；
（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，则∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE＝DC；
（2）由△ABE≌△ADC得到∠ABE＝∠ADC，根据“AAS”可判断△ABM≌△ADN（ASA），则AM＝AN；∠DAE＝60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AMN是等边三角形．
（3）判定结论1是否正确，也是通过证明△ABE≌△ADC求得．这两个三角形中AB＝AD，AE＝AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，BE＝CD，结论1正确．
将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，则∠DAC＞90°，因此三角形AMN绝对不可能是等边三角形．
【答案】证明：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC；
（2）由（1）证得：△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC．
在△ABM和△ADN中，，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN．
∵∠DAE＝60°，
∴△AMN是等边三角形；
（3）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝DC，∠ABE＝∠ADC，
∵∠BAC＝90°
∴∠MAN＞90°，
∵∠MAN≠60°，
∴△AMN不是等边三角形，
∴（1）的结论成立，（2）的结论不成立．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质．
【变式10-2】（2018秋?麻城市校级期末）（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：EB＝AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【分析】（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB，∠FDC＝∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝∠ACB＝60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°，得出AD＝DF，由已知条件得出∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB＝DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB＝DF，即可得出结论；
【答案】（1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图①所示：
则∠ADF＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB，∠FDC＝∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝120°，∠ADF＝∠AFD＝60°＝∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝120°，
∴AD＝DF，
∵∠DEC＝∠DCE，
∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，
在△DBE和△CFD中，
，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB＝DF，
∴EB＝AD；
（2）解：EB＝AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延长线于F，如图②所示：
同（1）得：AD＝DF，∠FDC＝∠ECD，∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，
又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，
∴在△DBE和△CFD中，
，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB＝DF，
∴EB＝AD；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式10-3】（2017秋?仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD＝AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质，可证明△DCB≌△ECA，可得到BD＝AE；
（2）结合（1）中△DCB≌△ECA，可证明△ACM≌△BCN，进一步可得到∠MCN＝60°且CM＝CN，可判断△CMN为等边三角形．
【答案】证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴BD＝AE；
（2）△CMN为等边三角形，理由如下：
由（1）可知：△ECA≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CBD，即∠CAM＝∠CBN，
∵AC＝BC，AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
∵∠ACB＝60°即∠BCN+∠ACN＝60°，
∴∠ACM+∠ACN＝60°即∠MCN＝60°，
∴△CMN为等边三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即可以利用全等来证明线段相等，也可以找角相等的条件．
【考点11
等腰三角形新定义问题】
【例11】（2018秋?滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值
；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【分析】【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可；
【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【答案】解：【定义】如图①，如图②所示，
【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，
则AC＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；
②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，
则BA＝BD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；
③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，
则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，
④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，
则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，
⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，
则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，
综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，
故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；
（2）设∠B＝x°，
①当AD＝DE时，如图1（a），
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠DAE＝2x°，
∴27×2+2x+x＝180，
∴x＝42，
∴∠B＝42°；
②当AD＝AE时，如图1（b），
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，
∴∠B＝∠EDB＝x°
∴∠AED＝∠ADE＝2x°，
∴2x+x＝27+27，
∴x＝18，
∴∠B＝18°．
③当EA＝DE时，
∵90﹣x+27+27+x＝180，
∴x不存在，应舍去．
综合上述：满足条件的x＝42°或18°．
【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．
【变式11-1】（2019春?顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝
度；
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A，设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
（2）只要证明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（3）如图2中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC，
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
当AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠BDC＝72°，
故答案为：72；
（2）证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条特异线．
（3）解：如图3，
当BD是特异线时
如果AB＝BD＝DC，
则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°＝15°＝135°，
如果AD＝AB，DB＝DC，
则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，
如果AD＝DB，DC＝DB，
则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃），
如图4中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，
则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
当CD为特异线时，不合题意．
综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目．
【变式11-2】（2019秋?余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
【分析】（1）先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形；
（2）先过腰上的高得到顶角为90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图．也考查了等腰直角三角形的性质．
【变式11-3】（2019秋?常州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．
（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；
（2）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，则△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，得出方程组，解方程组即可．
【答案】解：（1）作图如图1、图2所示：
在图1中，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝45°，
∴∠ADC＝90°；
∵AB＝AC，∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠ECD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD＝22.5°，
∴∠DEC＝135°，
∴∠BED＝45°，
即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；
在图2中，∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠A＝45°，
∴∠ADE＝90°，∠DEC＝135°；
∵BC＝DC，
∴∠CDB＝∠B＝67.5°，
∴∠BCD＝45°，
即三个等腰三角形的顶角分别为90°、135°、45°；
（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．
设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，
此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y＝2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x＝（x+y）：2，
解方程组，
解得，或
（负值舍去），
∴AE＝，CD＝，
即三分线长分别是
和．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定与性质、解方程组等知识；本题综合性强，有一定难度．
【考点12
旋转法探索几何证明题】
【例12】（2019?广州模拟）（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF．
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）①如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，根据条件证明△DCG≌△DBE，得DG＝DE，CG＝BE，易证FD垂直平分线段EG，则FG＝FE，把问题转化到△CFG中，运用三边关系比较大小；
②结论：BE2+CF2＝EF2．若∠A＝90°，则∠B+∠C＝90°，可证∠FCG＝∠FCD+∠DCG＝∠FCD+∠B＝90°，在Rt△CFG中，由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC．延长AB到M，使BM＝CF，根据条件证明△BDM≌△CDF，则DM＝DF，再证明△DEM≌△DEF，从而得EF＝EM＝EB+BM＝EB+CF．
【答案】（1）①证明：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，
∵在△DCG与△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
在△CFG中，CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF；
②结论：BE2+CF2＝EF2．
理由：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°，
由①∠FCG＝∠FCD+∠DCG＝∠FCD+∠B＝90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2＝FG2，
即BE2+CF2＝EF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC．
理由：延长AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，而BD＝CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF＝EM＝EB+BM＝EB+CF．
【点睛】本题考查了旋转法探索和证明几何问题的方法．（1）中利用了D为线段BC的中点，通过作辅助线得出D为线段EG的中点，将涉及的三条线段转化到△CFG中解决问题，（2）中利用旋转法把问题转化到△DEG中，证明△DEG≌△DEF，使问题得到解决．
【变式12-1】（2018秋?灌云县期中）解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF．
小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+CF2；
拓展延伸
（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
【分析】（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠1＝∠2．于是得到∠GAE＝∠EAF，根据全等三角形的性质得到EG＝EF．等量代换即可得到结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）根将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结论．
【答案】（1）证明：延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF，
在△AEG与△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（2）如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
则AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△AEF与△AE′F中，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE′＝90°，
∴∠FCE′＝90°，
∴E′F2＝CF2+CE′2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（3）如图3，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA
P′＝60°，
∴△AP
P′为等边三角形，
∴P
P′＝AP＝8，∠A
P′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A
P′P+∠P
P′C＝60°+90°＝150°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键．
【变式12-2】（2018秋?丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE
PF（选填＜，＞，＝）
（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3
①图中全等三角形有
对（不添加辅助线）
②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．
拓展延伸2：
画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理证明；
（2）证明△MPE≌△NPF，根据全等三角形的性质证明结论；
拓展延伸1：①根据等腰直角三角形的性质得到OP＝PG＝PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；
②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
拓展延伸2：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【答案】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
故答案为：＝；
（2）PE＝PF，
理由如下：∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
由（1）得，PM＝PN，
在△MPE和△NPF中，
，
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PE＝PF；
拓展延伸1：①∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH＝∠OHG＝45°，
∴OP＝PG＝PH，
∵∠GPO＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠GPE＝∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
同理，△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，
故答案为：3；
②GE2+FH2＝EF2，
理由如下：∵△GPE≌△OPF，
∴GE＝OF，
∵△EPO≌△FPH，
∴FH＝OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2，
∴GE2+FH2＝EF2；
拓展延伸2：PE＝PF；
理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OA，PH⊥OB，
∴PG＝PH，
∵∠AOB＝70°，∠PGO＝∠PHO＝90°，
∴∠GPH＝110°，
∵∠EPF＝110°，
∴∠GPH＝∠EPF，
∴∠GPE＝∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
，
∴△PGE≌△PHF（ASA），
∴PE＝PF．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式12-3】（2018秋?盐都区校级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为
；②线段AD、BE之间的数量关系是
．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．根据全等三角形的性质得到AD＝BE＝AE﹣DE＝8，∠ADC＝∠BEC，由平角的定义得到∠ADC＝135°．求得∠BEC＝135°．根据勾股定理即可得到结论；
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，由∠CAB＝∠ABC＝60°，可知∠EAB+∠ABE＝120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE＝60°．
【答案】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．
（2）
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE＝AE﹣DE＝8，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∴AB＝＝17；
（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°
∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，
如图4，同理求得∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】
【苏科版】
【知识点1】全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
【知识点2】全等三角形的判定
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
【知识点3】轴对称的概念
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，
那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，
这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点
【知识点4】轴对称图形的概念
把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，
那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴
【知识点5】垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
【知识点6】轴对称性质：
成轴对称的两个图形全等
如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称
成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上
【知识点7】线段的对称性
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴
线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等
到线段两端距离相等的点在垂直平分线上
【知识点8】角的对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴
角平分线上的点到角的两边距离相等
到角的两边距离相等的点在角平分线上
【知识点9】等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴
等边对等角
三线合一
【知识点10】等腰三角形判定
两边相等的三角形是等边三角形
等边对等角
直角三角形斜边上中线等于斜边一半
【知识点11】等边三角形判定及性质
三条边相等的三角形是等边三角形
等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
等边三角形每个角都等于60°
(补充)
等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形
【知识点12】等腰梯形性质
等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴
等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形对角线相等
【知识点13】等腰梯形判定
1.、两腰相等的梯形是等腰梯形
2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
【知识点14】勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a?＋b?＝c?
【知识点15】勾股定理逆定理
如果一个三角形三边a、b、c满足a?＋b?＝c?,那么这个三角形是直角三角形
【知识点16】勾股数
满足a?＋b?=c?的三个正整数a、b、c称为勾股数
【考点1
全等三角形的判定】
【例1】（2018秋?利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式1-1】（2018秋?思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；
②BC＝ED；
③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【变式1-2】（2018秋?东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°
B．AB＝5，BC＝6，AC＝13
C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8
D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【变式1-3】（2018秋?东台市期中）如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；
③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【考点2
等腰三角形中的分类讨论思想】
【例2】（2018春?鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．3cm或6cm
D．8cm
【变式2-1】（2018春?金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°
B．130°
C．50°或
140°
D．50°或
130°
【变式2-2】（2018秋?绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．2cm
B．8cm
C．2cm或8cm
D．10cm
【变式2-3】（2018秋?沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）
A．30°
B．30°或150°
C．120°或150°
D．30°或120°或150°
【考点3
勾股定理与折叠】
【例3】（2019?云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2018春?江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A．2
B．
C．
D．
【考点4
轴对称中的最值问题】
【例4】（2018秋?吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．1.5
【变式4-1】（2018秋?如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4
B．4.8
C．4
D．5
【变式4-2】（2018秋?大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【变式4-3】（2018?营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【考点5
线段垂直平分线的应用】
【例5】（2018?太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为
°．
【变式5-1】（2018春?叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为
．
【变式5-2】（2018秋?江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为
．
【变式5-3】（2018秋?丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝
．
【考点6
复杂的尺规作图】
【例6】（2018秋?六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．
已知：如图，射线OA．
求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-1】（2018秋?泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B
（1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．
【变式6-2】（2018秋?丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；
（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）
【变式6-3】（2018?惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【考点7
与直角三角形性质的有关综合】
【例7】（2018秋?泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．
（1）说明DC＝DG；
（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．
【变式7-1】（2018秋?海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE＝DF；
（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；
（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．
【变式7-2】（2018秋?高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．
（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；
（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．
【变式7-3】（2018秋?太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；
（2）若EF＝4，求△MEF的面积．
【考点8
等腰三角形与全等三角形的综合】
【例8】（2019?东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝3，求AF的长．
【变式8-1】（2018秋?临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：CD＝BF；
（2）求证：AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状．
【变式8-2】（2019秋?宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【考点9
与三角形有关的动点问题】
【例9】（2018秋?全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．
则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
【变式9-1】（2019秋?本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是
三角形；
（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°
①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
【变式9-2】（2018秋?十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝
．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
【变式9-3】（2019秋?上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
【考点10
与等边三角形的性质与判定有关问题综合】
【例10】（2018春?天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【变式10-1】（2018秋?广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．
（1）求证：BE＝DC；
（2）求证：△AMN是等边三角形；
（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．
【变式10-2】（2018秋?麻城市校级期末）（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：EB＝AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【变式10-3】（2017秋?仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．
（1）求证：BD＝AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
【考点11
等腰三角形新定义问题】
【例11】（2018秋?滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值
；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【变式11-1】（2019春?顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝
度；
（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；
（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．
【变式11-2】（2019秋?余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
【变式11-3】（2019秋?常州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．
（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
【考点12
旋转法探索几何证明题】
【例12】（2019?广州模拟）（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF．
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【变式12-1】（2018秋?灌云县期中）解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．
小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．
证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．
∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，
AB＝AD
∴△ABG≌△ADF．
小明没有证明结束，请你补齐证明过程．
基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题
（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：EF2＝BE2+CF2；
拓展延伸
（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．
【变式12-2】（2018秋?丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE
PF（选填＜，＞，＝）
（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3
①图中全等三角形有
对（不添加辅助线）
②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．
拓展延伸2：
画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由．
【变式12-3】（2018秋?盐都区校级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为
；②线段AD、BE之间的数量关系是
．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
