一次函数章末重难点题型汇编【举一反三】
【苏科版】
【考点1
函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。.
【例1】（2019春?鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【答案】解：第一个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；
第二个图中，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，不符合题意；
第三个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；
第四个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；
故选：C．
【点睛】主要考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-1】（2019春?新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．一天的气温和时间
B．y2＝x中的y与x的关系
C．在银行中利息与时间
D．正方形的周长与面积
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【答案】解：A、一天的气温和时间的关系是函数关系，故本选项不合题意；
B、y2＝x中的y与x的关系不是函数关系，故本选项符合题意；
C、在银行中利息与时间是函数关系，故本选项不合题意；
D、长方形的周长与面积是函数关系，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】主要考查了函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-2】（2019春?苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝2x2
C．y＝（x≥0）
D．|y|＝x（x≥0）
【分析】A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
【答案】解：A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、B、C中，y都是x的函数，
D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的概念，故D中，y不是x的函数．
故选：D．
【点睛】此题考查了函数的概念，理解函数的概念为解题关键．
【变式1-3】（2019春?如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【答案】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图象只会有一个交点．
【考点2
函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2019春?资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2
B．x≥0
C．x＞0且x≠2
D．x≥0且x≠2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【答案】解：由题意知，
解得x≥0且x≠2，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【变式2-1】（2019秋?乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2
B．x≥2且x≠2
C．x＞﹣2
D．x＞﹣2且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【答案】解：由题意得，x+2≥0且x2﹣4≠0，
解得x≥﹣2且x≠±2，
所以，x＞﹣2且x≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式2-2】（2019?巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2
B．x≥﹣2且x≠0
C．x≥﹣2且x≠1
D．x≥1
【分析】根据二次根式被开方数是非负数，0的0次幂没有意义即可求解．
【答案】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围，一般考虑三个方面：（1）二次根式，被开方数是非负数；（2）分母不等于0；（3）0的0次幂或负指数次幂没有意义．
【变式2-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2
B．x≠3且x≠﹣3
C．x≥2且x≠3
D．x≥2且x≠﹣3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【答案】解：根据题意得，，
∴x≥2且x≠3，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数是解题关键．
【考点3
一次函数的概念】
【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，
是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
【例3】（2018秋?锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．±2
【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．
【答案】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2019春?沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据一次函数的定义条件解答即可．
【答案】解：①y＝kx当k＝0时原式不是函数；
②y＝x是一次函数；
③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则y＝x2﹣（x﹣1）x是一次函数；
④y＝x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝22﹣x是一次函数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式3-2】（2019?芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0
B．1
C．±1
D．﹣1
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．
【答案】解：∵函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴，
解得k＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，即形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数．
【变式3-3】（2018春?定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（ ）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．无法确定
【分析】根据一次函数的定义可得k﹣3≠0，|k|﹣2＝1，解答即可．
【答案】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
所以|k|﹣2＝1，
解得：k＝±3，
因为k﹣3≠0，所以k≠3，
即k＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
【考点4
一次函数图象的判定】
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例4】（2019春?孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【答案】解：若m＞0，n＞0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是增函数，且都交y轴的正半轴；
若m＜0，n＞0，则一次函数y＝mx+n是减函数，交y轴的正半轴，y＝nx+m（mn为常数）是增函数，交y轴的负半轴；
若m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n是增函数，且交y轴负半轴，y＝nx+m（mn为常数）是减函数，且交y轴的正半轴；
若m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是减函数，且都交
于y的负半轴；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
【变式4-1】（2018秋?西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【答案】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∵a＜0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象与y轴正半轴相交，
∵c＞0，
∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
【变式4-2】（2018秋?温江区期末）如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，ab＞0，bc＜0，则＞0，＜0，进而在一次函数y＝﹣x+中，有﹣＜0，＜0，结合一次函数图象的性质，分析可得答案．
【答案】解：根据题意，ab＞0，bc＜0，
则＞0，＜0，
∴在一次函数y＝﹣x+中，
有﹣＜0，＜0，
故其图象过二三四象限，
分析可得D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象的性质，应该识记一次函数y＝kx+b在k、b符号不同情况下所在的象限．
【变式4-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用一次函数的图象性质依次判断可求解．
【答案】解：A：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故A选项错误；
B：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，故B选项正确；
C：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故C选项错误；
D：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，前后矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键．
【考点5
一次函数动点问题】
【例5】（2019春?昌平区期中）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5
B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10
D．当y＝8时，x＝10
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误，故答案为D
【答案】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN＝5，NP＝4，点R的速度为1单位/秒
选项A，x＝2时，△MNR的面积＝＝5，正确
选项B，矩形周长为2×（4+5）＝18，正确
选项C，x＝6时，点R在QP上，△MNR的面积＝＝10，正确
选项D，y＝8时，高＝8，则高＝，点R在PN或QM上，距离QP有个单位，对应的x值都不为10，错误
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题．
【变式5-1】（2019春?建宁县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，它沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映变量y与变量x的关系图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据动点P在正方形各边上的运动状态分类讨论△APD的面积即可．
【答案】解：有点P运动状态可知，当0≤x≤4时，点P在AD上运动，△APD的面积为0
当4≤x≤8时，点P在DC上运动，△APD的面积y＝×4×（x﹣4）＝2x﹣8
当8≤x≤12时，点P在CB上运动，△APD的面积y＝8
当12≤x≤16时，点P在BA上运动，△APD的面积y＝×4×（16﹣x）＝﹣2x+32
故选：B．
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了当动点到达临界点前后的图象变化，解答时根据临界点画出一般图形分段讨论即可．
【变式5-2】（2019春?锦江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A为直角，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D，在这个过程中，△APD的面积S随时间的变化址程可以用图象近似地表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据点P的运动过程可知：△APD的底边为AD，而且AD始终不变，点P到直线AD的距离为△APD的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象．
【答案】解：设点P到直线AD的距离为h，
∴△APD的面积为：S＝AD?h，
当P在线段AB运动时，
此时h不断增大，S也不端增大
当P在线段BC上运动时，
此时h不变，S也不变，
当P在线段CD上运动时，
此时h不断减小，S不断减少，
又因为匀速行驶且CD＞AB，所以在线段CD上运动的时间大于在线段AB上运动的时间．
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，解题的关键是根据点P到直线AD的距离来判断s与t的关系，本题属于基础题型．
【变式5-3】（2019春?镇平县期末）如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ）
A．6
B．9
C．10
D．11
【分析】根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线AE⊥AD，从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决．
【答案】解：作CE⊥AD于点E，如下图所示，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△ADP的面积是，由B到C运动的路程为3，
∴＝＝，
解得，AD＝7，
又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，
∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣3＝4，
∴CD＝＝＝5，
∴点P从开始到停止运动的总路程为：AB+BC+CD＝3+3+5＝11．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到我们需要的信息，利用数形结合的思想解答问题．
【考点6
求一次函数解析式】
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例6】（2019春?上蔡县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是
．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【答案】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题需要注意有两种情况，不要漏解．
【变式6-1】（2018春?上饶县期末）一次函数y＝kx+b（k、b是常数）当自变量x的取值为1≤x≤5时，对应的函数值的范围为﹣2≤y≤2，则此一次函数的解析式为
．
【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑：当k＞0时，y值随x的增大而增大，由x、y的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；当k＜0时，y值随x的增大而减小，由x、y的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式．综上即可得出结论．
【答案】解：当k＞0时，y值随x的增大而增大，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
当k＜0时，y值随x的增大而减小，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3．
综上所述：一次函数的解析式为y＝x﹣3或y＝﹣x+3．
故答案为：y＝x﹣3或y＝﹣x+3．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分k＞0及k＜0两种情况利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【变式6-2】（2019秋?崂山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为
．
【分析】根据两直线平行可知k＝2，可得直线解析式为y＝2x+b，将点A（1，3）代入可求得b的值，可得直线解析式．
【答案】解：由一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x﹣3，可知k＝2
则一次函数为y＝2x+b，
将A的坐标（1，3）代入，得：2+b＝3，
解得：b＝1
这个一次函数的解析式是y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式的能力，根据两直线平行得到两直线的斜率相等是关键，点的坐标代入求待定系数是基础．
【变式6-3】（2018春?保定期末）已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是
．
【分析】根据题意，把y+2看成一个整体，设y+2＝kx，再根据x＝2时，y＝4，代入即可求出k值，求出k代入整理即可得到函数解析式．
【答案】解：设函数解析式为y+2＝kx，
∴2k＝4+2，
解得：k＝3，
∴y+2＝3x，
即y＝3x﹣2．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，是近年中考的热点之一，需要熟练掌握．
【考点7
一次函数与二元一次方程】
【方法点拨】方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【例7】（2018?会宁县模拟）如图，一次函数y＝ax+b和y＝kx+c交于点P（2，4），则关于x的一元一次方程ax+b＝kx+c的解是
．
【分析】根据两一次函数图象的交点横坐标即可得出方程的解，此题得解．
【答案】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝kx+c的图象交于点P（2，4），
∴关于方程ax+b＝kx+c的解为x＝2．
故答案为：x＝2
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握两函数图象交点横坐标与方程解之间的关系是解题的关键．
【变式7-1】（2018春?胶州市期中）如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣）x+3＞0的解集为
．
【分析】把点A（a，1）代入正比例函数，进而利用一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【答案】解：把点A（a，1）代入正比例函数y＝x，可得：a＝3，
即点A的坐标为（3，1），
所以关于x的不等式（k﹣）x+3＞0的解集为x＜3；
故答案为：x＜3
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式7-2】（2019春?顺义区校级期中）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为
．
【分析】求出直线y＝nx+4n与x轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【答案】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∴y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4，
∴不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为4＜x＜﹣2．
故答案为：﹣4＜x＜﹣2．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题，属于中考常考题型．
【变式7-3】（2018春?江汉区期末）如图，已知直线y＝mx+n交x轴于（3，0），直线y＝ax+b交x轴于点（﹣2，0），且两直线交于点A（﹣1，2），则不等式0＜mx+n＜ax+b的解集为
【分析】在x轴的上方，直线y＝ax+b的图象在直线y＝mx+n的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式0＜mx+n＜ax+b的解集；
【答案】解：在x轴的上方，直线y＝ax+b的图象在直线y＝mx+n的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式0＜mx+n＜ax+b的解集，
观察图象可知：不等式的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为﹣1＜x＜3
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型．
【考点8
一次函数的性质】
【例8】（2018春?青龙县期末）已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【分析】（1）根据函数y随x的增大而增大解答即可；
（2）根据函数图象经过第二、三、四象限解答即可；
（3）根据函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可．
【答案】解：（1）∵y随x的增大而增大
∴2a+4＞0
∴a＞﹣2
（2）∵图象经过第二、三、四象限
∴2a+4＜0，3﹣b＜0
∴a＜﹣2，b＞3
（3）∵图象与y
轴的交点在x轴上方
∴3﹣b＞0
∴b＜3
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【变式8-1】（2018春?镇原县期末）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；
（2）根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；
（3）根据两函数图象平行，k值相等可得2m+1＝3；
（4）根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．
【答案】解：（1）∵函数图象经过原点，
∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，
解得：m＝3；
（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，
∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，
解得：m＝1；
（3）∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
解得：m＝1；
（4）∵y随着x的增大而减小，
∴2m+1＜0，
解得：m＜﹣．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y轴的交点就是y＝kx+b中，b的值，k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【变式8-2】（2019秋?天心区校级期末）已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求：
（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？
（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），当m+2＜0时y随x的增大而减小，即可解答．
（2）根据一次函数是正比例函数的定义即可解答．
（3）根据一次函数的性质列出不等式组：，即可求得答案．
【答案】解：（1）由题意得：m+2＜0，∴m＜﹣2
∴当m＜﹣2且n为任意实数时，y随x的增大而减小．
（2）由题意得：m+2≠0且3﹣n＝0，∴m≠﹣2且n＝3∴当m≠﹣2且n＝3时函数的图象过原点．
（3）由题意可得：，解之得：，
∴当m＜﹣2且n＞3时，函数的图象过二、三、四象限．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，难度不大，关键是掌握在一次函数y＝kx+b中，k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【变式8-3】（2019秋?当涂县校级期中）已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【分析】（1）直接把（0，0）代入一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1求出m的值即可；
（2）把（0，﹣3）代入一次函数的解析式求出m的值即可；
（3）根据两直线平行的性质求出m的值；
（4）根据一次函数的性质列出关于m的不等式求出m的取值范围即可；
（5）根据一次函数的性质列出关于m的不等式组求出m的取值范围即可．
【答案】解：（1）∵函数图象经过原点，
∴m﹣1＝0，解得m＝1；
（2）∵函数图象在y轴上的截距为﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2；
（3）∵函数图象平行于直线y＝x+1，
∴2m+3＝1，解得m＝﹣1；
（4）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，
∴2m+3＜0，解得m＜﹣；
（5）∵该函数图象不经过第二象限，
∴，解得﹣＜m≤1．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【考点9
一次函数的应用—方案最优化问题】
【例9】（2019春?道里区校级期中）为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．
【分析】（1）根据一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得篮球和足球的单价；
（2）根据题意可以得到y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的关系式和题意，可以得到购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．
【答案】解：（1）设篮球和足球的单价分别为x元、y元，
，得，
答：篮球和足球的单价分别为120元、90元；
（2）∵购买篮球x个，购买篮球和足球共100个，
∴购买足球（100﹣x）个，
∴y＝120x+90（100﹣x）＝30x+9000，
即y与x的函数关系式为y＝30x+9000；
（3）∵集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，
∴30x+9000≤10500，
解得，x≤50，
又∵x≥40，
∴40≤x≤50，
∵y＝30x+9000，
∴当x＝40时，y取得最小值，此时y＝10200，100﹣x＝60，
答：购买篮球和足球分别为40个、60个时，能使总费用y最小，y的最小值是10200．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式9-1】（2019春?普宁市期中）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？
（3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为W（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用W最小，并求出W的最小值．
【分析】（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答；
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（3）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．
【答案】解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，由题意得：
2x+3（x﹣30）＝510，
解得：x＝120，
答：一个篮球120元，一个足球90元；
（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，
由题意可得：，
解答40＜x＜50，
∵x为正整数，
∴x＝40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11种购买方案．；
（3）由题意可得y＝120x+90（100﹣x）＝30x+9000（40≤x≤50），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y有最小值，y最小＝30×40+9000＝10200（元），
所以当x＝40时，y最小值为10200元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式组，应用一次函数的性质解决问题．
【变式9-2】（2018春?孟津县期中）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调，彩电共30台，根据市场需要，这些空调，彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价如下表所示：
项目
空调
彩电
进价（月/台）
5400
3500
售价（月/台）
6100
3900
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
（1）试出y与x之间的函数关系式；
（2）商场有哪几种进货方案可以选择？
（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题；
（3）根据（1）和（2）中的结果，利用一次函数的性质可以解答本题．
【答案】解：（1）由题意可得，
y＝（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）＝300x+12000，
即y与x之间的函数关系式是y＝300x+12000；
（2）由题意得，
，
解得，10≤x≤，
∵x为整数，
∴x＝10，11，12，
∴有三种购买方案，
方案1：购买空调10台，彩电20台，
方案2：购买空调11台，彩电19台，
方案3：购买空调12台，彩电18台；
（3）∵y＝300x+12000，
∴该函数y随x的增大而增大，
∴当x＝12时，y取得最大值，此时y＝300×12+12000＝15600，
答：x＝12时，利润最大，最大利润为15600元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式9-3】（2018春?天心区校级期中）湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．
（1）求稻谷和棉花各是多少吨；
（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？
（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？
【分析】（1）根据题意列方程组可解
（2）根据题意列不等式组可解
（3）列出一次函数，根据一次函数的性质可解
【答案】解：（1）设稻谷为x吨，棉花为y吨
解得
答稻谷1750吨，棉花1250吨
（2）设甲种集装箱a个，乙种集装箱（58﹣a）个
解得：30≤a≤39且a为正整数
∴共有10个方案．
（3）设总运费为w元
w＝1000a+1200（58﹣a）﹣（58﹣a）m＝（﹣200+m）a+69600﹣58m
当0＜m＜200时
∵﹣200+m＜0
∴w随a的增大而减小
∴a＝39时，w最小值为（61800﹣19m）元
∴甲种集装箱39个，乙种集装箱19个
当m＝200时
w＝69600﹣58m＝58000元
∴任意安排都可以．
当200＜m＜250时，
∵﹣200+m＞0
∴w随a的增大而增大
∴当a＝30时，w最小值为（63600﹣28m）元
∴甲种集装箱30个，乙种集装箱28个
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组，一元一次不等式组，关键是列不等式组求a的取值范围．
【考点10
一次函数的应用—行程问题】
【例10】（2019春?长春期中）甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数
．
（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．
（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车行驶速度和图中括号内应填入的数据；
（2）根据函数图象中的数据可以得到甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【答案】解：（1）乙车从B地到A地用的时间为：400÷80＝5（小时），
甲车的速度为：400÷[（3+5+1﹣1）÷2]＝100（千米/小时），
图中括号内正确的数是3+5+1＝9，
故答案为：9；
（2）设甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点D（4，400），点E（8，0）在线段DE上，
∴，得，
即甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式是y＝﹣100x+800；
（3）当乙出发1小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：100×（3+1）﹣80＝320（千米），
当乙出发2小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：﹣100×（3+2）+800﹣80＝220（千米），
设乙车出发t小时，两车恰好相距80千米，
（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400﹣80或（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400+80，
解得，t＝或t＝，
即乙车出发小时或t＝小时时，两车恰好相距80千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式10-1】（2019春?成都期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）根据图象，分别写出y1、y2关于x的关系式（需要写出自变量取值范围）；
（2）当两车相遇时，求x的值；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；
（2）分别根据当0≤x＜时，当≤x＜6时，当6≤x≤10时，求出即可；
（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．
【答案】解：（1）设y1＝k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），
∴10k1＝600，
解得：k1＝60，
∴y1＝60x（0≤x≤10），
设y2＝k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则
，
解得：，
∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
（2）由题意，得
60x＝﹣100x+600
x＝，
当0≤x＜时，S＝y2﹣y1＝﹣160x+600；
当≤x＜6时，S＝y1﹣y2＝160x﹣600；
当6≤x≤10时，S＝60x；
即S＝；
（3）由题意，得
①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x＝200，
解得x＝，
此时，A加油站距离甲地：60×＝150km，
②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）＝200，
解得x＝5，此时，A加油站距离甲地：60×5＝300km，
综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求法；主要根据待定系数法求一次函数解析式，根据图象准确获取信息是解题的关键．
【变式10-2】（2019春?南关区期中）快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，快车到达乙地后，慢车继续前行，设出发x小时后，两车相距y千米，图中折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y与x之间的函数关系式，根据图中信息，解答下列问题．
（1）甲、乙两地相距
千米，快车从甲地到乙地所用的时间是
小时；
（2）求线段PQ的函数解析式（写出自变量取值范围），并说明点Q的实际意义．
（3）求快车和慢车的速度．
【分析】（1）根据图象解答即可；
（2）设线段PQ的解析式为y＝kx+640，将（，440）代入，可求线段AB的解析式，根据线段PQ的解析式求Q点横坐标，得出Q的实际意义；
（3）根据快车从甲地到乙地所用的时间可以求出快车的速度；根据相遇时间为4小时可以得出两车的速度和，进而求出慢车的速度．
【答案】解：（1）根据题意得，甲、乙两地相距640千米，快车从甲地到乙地所用的时间是6.4小时；
故答案为：640；6.4；
（2）设线段PQ的解析式为y＝kx+640，将（，440）代入，得，解得k＝﹣160，
∴线段PQ的解析式为y＝﹣160x+640，
当y＝0时，﹣160x+640＝0，解得x＝4，
故点Q的坐标为（4，0），故Q的实际意义为出发4小时后两车相遇；
（3）快车的速度：640÷6.4＝100（千米/时）；
两车的速度和：640÷4＝160（千米/时），
故慢车的速度为：160﹣100＝60（千米/时）．
答：快车的速度为100千米/时，慢车的速度为千米/时．
【点睛】本题考查了一次函数的运用．关键是通过图象，求出直线解析式，利用直线解析式求A点坐标，得出甲乙两地距离，再根据路程、速度、时间的关系解题．
【变式10-3】（2018秋?宝安区期中）甲、乙两车同时从A地出发驶向B地．甲车到达B地后立即返回，设甲车离A地的距离为y1（千米），乙车离A地的距离为y2（千米），行驶时间为x（小时），y1，y2与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、B两地相距
千米，甲车从B地返回A地的行驶速度是
千米/时；
（2）当两车行驶7小时后在途中相遇，求点E的坐标；（3）甲车从B地返回A地途中，与乙车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
【分析】（1）根据函数图象解答；
（2）利用待定系数法求出直线CD的解析式，代入计算；
（3）求出直线OF的解析式，根据题意列方程计算．
【答案】解：（1）由图象可知，A、B两地相距为800千米，
甲车从B地返回A地的行驶速度是800÷（14﹣6）＝100千米/时，
故答案为：800；100；
（2）设直线CD的解析式为y1＝kx+b，
把（6，800）和（14，0）代入得，，
解得，，
则直线CD的解析式为y1＝﹣100x+1400，
当x＝7时，y＝700，
则点E的坐标为（7，700）；
（3）设直线OF的解析式为y2＝bx，
把点E的坐标（7，700）代入得，b＝100，
则直线OF的解析式为y2＝100x，
当y1﹣y2＝100时，﹣100x+1400﹣100x＝100，
解得，x＝6.5，
当y2﹣y1＝100时，100x﹣（﹣100x+1400）＝100，
解得，x＝7.5，
答：甲车行驶的时间为6.5小时或7.5小时．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，读懂函数图象，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．一次函数章末重难点题型汇编【举一反三】
【苏科版】
【考点1
函数的概念】
【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。.
【例1】（2019春?鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-1】（2019春?新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．一天的气温和时间
B．y2＝x中的y与x的关系
C．在银行中利息与时间
D．正方形的周长与面积
【变式1-2】（2019春?苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y＝
B．y＝2x2
C．y＝（x≥0）
D．|y|＝x（x≥0）
【变式1-3】（2019春?如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点2
函数自变量的取值范围】
【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【例2】（2019春?资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2
B．x≥0
C．x＞0且x≠2
D．x≥0且x≠2
【变式2-1】（2019秋?乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2
B．x≥2且x≠2
C．x＞﹣2
D．x＞﹣2且x≠2
【变式2-2】（2019?巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2
B．x≥﹣2且x≠0
C．x≥﹣2且x≠1
D．x≥1
【变式2-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2
B．x≠3且x≠﹣3
C．x≥2且x≠3
D．x≥2且x≠﹣3
【考点3
一次函数的概念】
【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，
是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
【例3】（2018秋?锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．±2
【变式3-1】（2019春?沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【变式3-2】（2019?芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0
B．1
C．±1
D．﹣1
【变式3-3】（2018春?定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（ ）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．无法确定
【考点4
一次函数图象的判定】
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例4】（2019春?孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2018秋?西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2018秋?温江区期末）如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点5
一次函数动点问题】
【例5】（2019春?昌平区期中）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5
B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10
D．当y＝8时，x＝10
【变式5-1】（2019春?建宁县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，它沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映变量y与变量x的关系图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2019春?锦江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A为直角，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D，在这个过程中，△APD的面积S随时间的变化址程可以用图象近似地表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2019春?镇平县期末）如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（ ）
A．6
B．9
C．10
D．11
【考点6
求一次函数解析式】
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例6】（2019春?上蔡县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是
．
【变式6-1】（2018春?上饶县期末）一次函数y＝kx+b（k、b是常数）当自变量x的取值为1≤x≤5时，对应的函数值的范围为﹣2≤y≤2，则此一次函数的解析式为
．
【变式6-2】（2019秋?崂山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为
．
【变式6-3】（2018春?保定期末）已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是
．
【考点7
一次函数与二元一次方程】
【方法点拨】方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【例7】（2018?会宁县模拟）如图，一次函数y＝ax+b和y＝kx+c交于点P（2，4），则关于x的一元一次方程ax+b＝kx+c的解是
．
【变式7-1】（2018春?胶州市期中）如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣）x+3＞0的解集为
．
【变式7-2】（2019春?顺义区校级期中）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为
．
【变式7-3】（2018春?江汉区期末）如图，已知直线y＝mx+n交x轴于（3，0），直线y＝ax+b交x轴于点（﹣2，0），且两直线交于点A（﹣1，2），则不等式0＜mx+n＜ax+b的解集为
【考点8
一次函数的性质】
【例8】（2018春?青龙县期末）已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【变式8-1】（2018春?镇原县期末）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【变式8-2】（2019秋?天心区校级期末）已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求：
（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？
（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．
【变式8-3】（2019秋?当涂县校级期中）已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；
（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；
（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；
（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【考点9
一次函数的应用—方案最优化问题】
【例9】（2019春?道里区校级期中）为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．
【变式9-1】（2019春?普宁市期中）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．
（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？
（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？
（3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为W（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用W最小，并求出W的最小值．
【变式9-2】（2018春?孟津县期中）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调，彩电共30台，根据市场需要，这些空调，彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价如下表所示：
项目
空调
彩电
进价（月/台）
5400
3500
售价（月/台）
6100
3900
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
（1）试出y与x之间的函数关系式；
（2）商场有哪几种进货方案可以选择？
（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？
【变式9-3】（2018春?天心区校级期中）湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．
（1）求稻谷和棉花各是多少吨；
（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？
（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？
【考点10
一次函数的应用—行程问题】
【例10】（2019春?长春期中）甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数
．
（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．
（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．
【变式10-1】（2019春?成都期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）根据图象，分别写出y1、y2关于x的关系式（需要写出自变量取值范围）；
（2）当两车相遇时，求x的值；
（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．
【变式10-2】（2019春?南关区期中）快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，快车到达乙地后，慢车继续前行，设出发x小时后，两车相距y千米，图中折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y与x之间的函数关系式，根据图中信息，解答下列问题．
（1）甲、乙两地相距
千米，快车从甲地到乙地所用的时间是
小时；
（2）求线段PQ的函数解析式（写出自变量取值范围），并说明点Q的实际意义．
（3）求快车和慢车的速度．
【变式10-3】（2018秋?宝安区期中）甲、乙两车同时从A地出发驶向B地．甲车到达B地后立即返回，设甲车离A地的距离为y1（千米），乙车离A地的距离为y2（千米），行驶时间为x（小时），y1，y2与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、B两地相距
千米，甲车从B地返回A地的行驶速度是
千米/时；
（2）当两车行驶7小时后在途中相遇，求点E的坐标；（3）甲车从B地返回A地途中，与乙车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
