第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列事件中,是随机事件的有( )
A.在学校运动会上,学生张涛获得100
m短跑冠军
B.在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯
C.从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签
D.在标准大气压下,水在4
℃时结冰
解析在A中,在学校运动会上,学生张涛获得100
m短跑冠军,是随机事件;
在B中,在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯,是随机事件;
在C中,从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机事件;
在D中,在标准大气压下,水在4
℃时结冰是不可能事件.也属于随机事件的特殊情况.
答案ABCD
2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是
( )
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.B与D
解析在A中,A与B是对立事件,故A错误;在B中,B与C能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;在C中,A与D不能同时发生,且不是对立事件,故A与D是互斥事件但不是对立事件,故C正确;在D中,B与D能同时发生,故B与D不是互斥事件,故D错误。故选C.
答案C
3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:
事件A:恰有1件次品;
事件B:至少有2件次品;
事件C:至少有1件次品;
事件D:至多有1件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②③
解析事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B=?,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.
答案A
4.甲、乙两人坐电梯到10楼至12楼,在这三层中可以随意走出电梯,则试验的基本事件有 种.?
解析∵甲有三种选择方法;乙有三种选择方法,∴试验有3×3=9种方法,∴试验的基本事件有9种.
答案9
5.连续抛掷3枚硬币,研究正面向上的情况,则其样本空间Ω= .?
答案{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}
6.(2020全国高一课时练习)某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.
(1)“射中10环或9环”可表示为 .?
(2)“不够8环”可表示为 .?
答案(1)A∪B (2)
7.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D.
解(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色,则试验的样本空间
Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黃,蓝)}.
(2)A={(红,黄,蓝)},
B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},
C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},
D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.
能力提升练
1.下列现象是必然事件的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.正n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)
C.某同学竞选学生会主席成功
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
解析A,C,D选项为随机事件,B选项为必然事件.
答案B
2.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;B=“恰好两枚正面朝上”;C=“恰好两枚正面朝下”;D=“至少一枚正面朝上”;E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是( )
A.A与B
B.C与D
C.B与C
D.C与E
解析在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;在B中,C与D不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在C中,B与C不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在D中,C与E能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
答案B
3.(多选题)设集合A={x|x2≤4,x∈Z},a,b∈A,设直线3x+4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则满足条件的样本点可能是( )
A.(-1,2)
B.(1,-2)
C.(-1,-2)
D.(1,2)
解析A={-2,-1,0,1,2},由直线与圆相切知,=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知只有满足等式.所以Ω={(-1,2),(1,-2)}.
答案AB
4.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为 ,拨号不超过3次而接通电话可表示为 .?
答案
A3 A1∪A2∪A3
5.如图所示,事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”,C=“丙元件正常”.则A∪B∪C表示的含义为 ,表示的含义为 .?
答案电路工作正常 电路工作不正常
6.
甲、乙、丙三人参加某电视台的一档节目,他们都得到了一件精美的礼物.其过程是这样的:墙上挂着两串礼物(如图),每次只能从其中一串的最下端取一件,直到礼物取完为止.甲第一个取得礼物,然后,乙、丙依次取得第2件、第3件礼物.事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美,那么取得礼物B可能性最大的是 .?
解析取得礼物,共有三种情况,
(1)甲C,乙A,丙B;(2)甲A,乙B,丙C;(3)甲A,乙C,丙B.
可见,取得礼物B可能性最大的是丙.
答案丙
7.
某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”.
(1)求事件A包含的基本事件;
(2)写出事件A的对立事件,以及一个与事件A互斥的事件.
解(1)事件A包含的基本事件为{获得10元菜品或饮品},{获得20元菜品或饮品},{获得30元菜品或饮品}.
(2)事件A的对立事件是=“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”,与事件A互斥的一个事件为“获得40元菜品或饮品”.
素养培优练
甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,写出事件A的样本点;
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问:B与C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)样本空间与点集S={(x,y)|x∈N
,y∈N
,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.
事件A包含的样本点共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).
(2)B与C不是互斥事件,因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知,和为偶数的样本点有13个,乙的样本点有25-13=12(个),因为13>12,所以这种游戏规则不公平.
110.1.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020全国高一课时练习)下列试验是古典概型的是
( )
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
解析只有C具有古典概型两个特征.
答案C
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=.故选A.
答案A
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.
答案B
4.(2020湖南高三月考)今年春节期间,一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自武汉开始迅速向全国蔓延,随之而来的是医疗物资的紧缺,由于武汉医务人员和医院床位严重不够,国家领导人当机立断,仅仅用了十多天时间建成两座医院,名为“火神山”“雷神山”,全国人民如同一家人,纷纷捐款捐物,全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路,纷纷驰援武汉.假设火神山医院有2名志愿者医生来自湖南湘雅医院,有2名志愿者医生来自广州中山医科大学附属医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析记2名来自湖南湘雅医院的医生分别为a,b,记2名来自广州中山医科大学附属医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P=.
答案B
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.设x1,x2为抽取的2件产品,则(x1,x2)可表示样本点.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},设A=“恰有一件次品”,则A={(1,a),(2,a),(3,a)},因此其概率P=,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
答案ACD
6.(2020山西大同一中高三一模)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有如图所示图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是 .?
解析从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,记为x1,x2,则(x1,x2)可表示样本点,样本点总数n=4×5=20,设A=“其和等于11”,则A={(9,2),(3,8),(7,4),(5,6)},∴其和等于11的概率P=.
答案
7.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .?
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为.
答案
8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.
能力提升练
1.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=.
答案C
2.(多选题)(2019全国高一课时练习)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.
答案ABC
3.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .?
解析该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),(乙、丙),(乙、丁),(丙、丁)},其中“没有女生当选”只包含(甲、乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P=1-P(没有女生当选)=1-.
答案
4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=.
答案
5.(2020全国高一课时练习)现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为 .?
解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.
“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和A2不全被选中的概率为.
答案
6.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了
3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽率;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有样本点,并求满足“”的概率.
解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%=24%.
(3)用(x,y)表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.
记“”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=,即事件“”的概率为.
素养培优练
1.(2020全国高一课时练习)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是 .?
解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个.
同理,由1,2,4组成的三位自然数共6个;
由1,3,4组成的三位自然数也是6个;
由2,3,4组成的三位自然数也是6个.
所以共有6+6+6+6=24(个).
由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”.
由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.
所以三位数为“有缘数”的概率P=.
答案
2.(多选题)(2019山东沂水第二中学高二月考)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N
),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.
答案BC
110.1.4 概率的基本性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,两个事件互为对立的是
( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
解析从1~9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数;(2)两个均为偶数;(3)一个奇数和一个偶数.故选C.
答案C
2.(2020山东济南高一检测)从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8
g的概率为0.3,质量不超过4.85
g
的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是
( )
A.0.62
B.0.38
C.0.02
D.0.68
解析设质量小于4.8
g为事件A,不超过4.85
g为事件B,在[4.8,4.85]范围内为事件C,则A∪C=B,又A与C互斥,所以P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0.32,所以P(C)=0.02.
答案C
3.(2019河北武邑宏达学校高二开学考试)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.8
B.0.65
C.0.35
D.0.2
解析依题意,事件“抽到的不是一等品”的对立事件为事件A,所以事件“抽到的不是一等品”的概率为P()=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案C
4.盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒子中取出2个球都是红球的概率为,从盒子中取出2个球都是黄球的概率是,则从盒子中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析设A=“从中取出2个球都是红球”,B=“从中取出2个球都是黄球”,C=“任意取出2个球恰好是同一颜色”,则C=A∪B,且事件A与B互斥,
所以P(C)=P(A)+P(B)=,
即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为.故选A.
答案A
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)下列各对事件中,是互斥事件的是( )
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲,乙都没有射中目标”
D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
解析A选项,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件;B选项,甲、乙各射击一次,甲射中10环,且乙射中9环时,“甲射中10环”与“乙射中9环”同时发生,二者不是互斥事件;C选项,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件;D选项,甲、乙各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”可能会同时发生,二者不是互斥事件.
答案AC
6.若事件A,B互斥,P(A)=3P(B),P(A∪B)=0.8,则P(A)= .?
解析∵A,B互斥,∴P(A∪B)=P(A)+P(B).
又∵P(A)=3P(B),∴4P(B)=0.8,P(B)=0.2.
∴P(A)=0.6.
答案0.6
7.同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点的概率为,则至少有一个5点或6点的概率是 .?
解析记事件A=“同时抛掷两枚骰子,没有5点和6点”,则有P(A)=,则为“同时抛掷两枚骰子,至少有一个5点或6点”,与A为对立事件.所以P()=1-P(A)=1-.
答案
8.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 .不命中靶的概率是 .?
解析射手命中Ⅱ或Ⅲ的概率为P=0.30+0.25=0.55.射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
答案0.55 0.10
9.某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N),
那么事件Ak彼此互斥,
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,
根据互斥事件概率加法公式,得
P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件,
“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为A,根据对立事件的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.
能力提升练
1.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,
当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1.故选D.
答案D
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(A∪B)=( )
A.
B.
C.
D.
解析∵抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是,∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=.故选C.
答案C
3.(2020全国高一课时练习)在抛掷一枚骰子的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+发生的概率为 (表示B的对立事件).?
解析由题意,可知抛掷一枚骰子样本点的个数为6,则事件A表示“不大于4的偶数点出现”的概率为P(A)=,事件B表示“小于5的点数出现”的概率为P(B)=,则P()=.∵A与互斥,∴P(A+)=P(A)+P()=.
答案
4.某公务员去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4,求:
(1)他乘火车或乘飞机去的概率;
(2)他不乘轮船去的概率.
解设他乘火车去开会为事件A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D,它们彼此互斥,则P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4.
(1)P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.
(2)(方法一)设他不乘轮船去开会为事件E,
则P(E)=P(A∪C∪D)=P(A)+P(C)+P(D)=0.3+0.1+0.4=0.8.
(方法二)E与B是对立事件,
则P(E)=1-P(B)=1-0.2=0.8.
5.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率,得
P(A1)=,P(A2)=.
P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1-.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
素养培优练
(2020江西高三月考)在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法,例如:47可以表示为“”,已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果,则这个数至少要用8根小木棍的概率为( )
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
解析至少要用8根小木棍的对立事件为用5根,6根,7根这三种情况.用5根小木棍为1、2、6这一种情况,组成三位数包括6个样本点,用6根有1、2、3,1、2、7,1、6、3,1、6、7这四种情况,同理,每种情况包括6个样本点,共24个样本点.用7根有1、2、4,1、2、8,1、6、4,1、6、8,1、3、7,2、6、7,2、6、3这七种情况,同理,共42个样本点.
故至少要用8根小木棍的概率为1-.故选D.
答案D
110.2 事件的相互独立性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.
答案A
2.(2019广东执信中学高三月考)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.
答案C
3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.
答案C
4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
答案A
5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是 .?
解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.
答案0.902
6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为 ,问题得到解决的概率为 .?
解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=.
问题得到解决就是至少有1人能解决问题,
∴P=1-.
答案
7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.
(1)求三人都被选中的概率;
(2)求只有两人被选中的概率.
解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)∵A,B,C是相互独立事件,
∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
(2)三种情形:
①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.
②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.
以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.
能力提升练
1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A.
B.
C.
D.
解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.
答案D
2.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,则P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=.
答案B
3.(多选题)(2019全国高一专题练习)下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是
解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A∩)=P(B∩),即P(A)P()=P(B)P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B).
又P()=,
所以P()=P()=,
所以P(A)=,故D错误.
答案AC
4.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为 .?
解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为.
答案
5.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则的值是 .?
解析从这20名学生中随机抽取一人,样本点总数为20个.事件A包含的样本点有10个,故P(A)=;事件B包含的样本点有9个,P(B)=,事件AB包含的基本事件有5个,故P(AB)=,故.
答案
6.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)求P2的值;
(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.
解(1)P2=.
(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×
=-Pn-1+(n∈N,n≥2).
7.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.
解记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,
Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.
(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.
A=A3A4∪B3B4.
由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)·P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)·P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.
素养培优练
在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片跳到另一片),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A片上,则跳三次之后停在A片上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知逆时针方向跳的概率为,顺时针方向跳的概率为,青蛙跳三次要回到A只有两条途径,
第一条:按A→B→C→A,P1=;
第二条:按A→C→B→A,P2=.
所以跳三次之后停在A上的概率为P1+P2=.
答案A
110.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020山东济南高一检测)掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组( )
A.1
B.2
C.3
D.10
解析因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.
答案B
2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,那么P(A)与的大小关系是( )
A.P(A)≈
B.P(A)<
C.P(A)>
D.P(A)=
解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A).故选A.
答案A
3.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是( )
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
解析根据概率的含义判定.
答案C
4.(2020山西高一期末)袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好第三次就停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得18组随机数中,巧好第三次就停止的数为023,123,132,故恰好第三次就停止的概率为,故选B.
答案B
5.(多选题)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷的结果的预测,下列说法中不正确的是
( )
A.一定出现“6点朝上”
B.出现“6点朝上”的概率大于
C.出现“6点朝上”的概率等于
D.无法预测“6点朝上”的概率
解析随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.由于正方体骰子的质地是均匀的,所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的,概率都为.
答案ABD
6.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5)2;[15.5,19.5)4;[19.5,23.5)9;[23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11;[31.5,35.5)12;[35.5,39.5)7;[39.5,43.5]3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析数据在范围[31.5,43.5]内的有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据频率估计概率得到P=.故选B.
答案B
7.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有 只.每次摸球,摸到白球的概率为 .?
解析设x为袋中黄球的只数,则由,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为.
答案2
8.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20
000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .?
解析P==0.03.
答案0.03
9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60分~69分;(3)60分以上.
解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
能力提升练
1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
解析易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以P==0.25.
答案B
2.为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税的情况,调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查:向被调查者提出三个问题:(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗?(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗?(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗?调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子,让被调查者背对调查人员掷一次骰子.如果出现一点或二点则回答第一个问题;如果出现三点或四点则回答第二个问题;如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,所有人都如实做了回答).结果被调查的3
000人中1
200人回答了“否”,由此估计这3
000人中没有缴纳车船使用税的人数为( )
A.600
B.200
C.400
D.300
解析因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等,都等于,所以应有1
000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的,所以在这1
000人中应有500人的车牌号码是偶数,这500人都回答了“否”;同理也有1
000人回答了第三个问题,在这1
000人中有500人回答了“否”.因此在回答“否”的1
200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”,根据用样本特征估计总体特征知识可知,在这3
000人中约有600人没有缴纳车船使用税.
答案A
3.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果:
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 .?
解析设可获收益为x,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率为,失败的概率为,所以一年后公司收益的平均数是×10
000=4
760.
答案4
760
4.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是 的.(填“公平”或“不公平”)?
解析设该市的出租车有1
000辆,那么依题意可得如下信息:
真实颜色
证人眼中的颜色(正确率80%)
蓝色
红色
蓝色(85%)
850
680
170
红色(15%)
150
30
120
合计
1
000
710
290
从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.
答案不公平
5.某超市随机选取1
000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解(1)从统计表可以看出,在这1
000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1
000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.
(3)与(1)同理,可得,顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1,所以,若顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
素养培优练
如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由频数分布表知,40分钟赶往火车站,选择不同路径L1,L2的频率分别为(6+12+18)÷60=0.6,(4+16)÷40=0.5,
所以估计P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,
则P(A1)>
P(A2),
因此,甲应该选择路径L1,
同理,50分钟赶到火车站,乙选择路径L1,L2的频率分别为48÷60=0.8,36÷40=0.9,
所以估计P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)
因此乙应该选择路径L2.
1第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为5”这一事件是( )
A.随机事件
B.不可能事件
C.必然事件
D.以上都不对
解析由于某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和大于等于4,故这一事件是随机事件.
答案A
2.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站,假定这个停靠站在同一时刻只能停靠一辆汽车,有一位乘客需乘3路或6路车到厂里.已知3路车、6路车在5分钟内到此停靠站的概率分别为0.2和0.6,则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为( )
A.0.2
B.0.6
C.0.8
D.0.12
解析由已知乘3路车、6路车彼此互斥,故乘客在5分钟内乘到车的概率为0.2+0.6=0.8.
答案C
3.(2020全国高一课时练习)在平面直角坐标系中,从下列5个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取3个,这三点能构成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
解析从5个点中任取3个点,该试验的样本空间Ω={(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)},共10个样本点,其中(A,C,E),(B,C,D)这两个样本点中的三点不能构成三角形,故三点能构成三角形的概率P=.
答案C
4.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42
B.0.28
C.0.18
D.0.12
解析∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.
答案D
5.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947
1417
4698
0371
6233
2616
8045
6011
3661
9597
7424
7610
4281
A.0.4
B.0.45
C.0.5
D.0.55
解析在20组数据中,至少击中3次的为7527,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共8次,故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为=0.4.
答案A
6.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数T
不大
于30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50( )
A.
B.
C.
D.
解析空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为.
答案C
7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共有15个样本点,b>a包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是.
答案D
8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A.P(A)B.P(A)=P(B)
C.P(A)>P(B)
D.视m,n的大小而定
解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,
P(A)=P(A1)+P(A2)=.设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=.由于m≠n,故2mn答案A
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.(2020全国高一课时练习)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A.至少有1个红球与都是红球
B.至少有1个红球与至少有1个白球
C.恰有1个红球与恰有2个红球
D.至多有1个红球与恰有2个红球
解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C中两事件是互斥而不对立事件;D中至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立.
答案CD
10.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是
B.甲不输的概率是
C.乙输了的概率是
D.乙不输的概率是
解析∵甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,
∴甲获胜的概率是1-,故A正确;
甲不输的概率是1-,故B不正确;
乙输了的概率是1-,故C不正确;
乙不输的概率是.故D不正确.
故选BCD.
答案BCD
11.(2019广东化州期末)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件;对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件;对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件;对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.
答案BCD
12.(2019全国高一课时练习)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
解析对于A,画树形图如下:
从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,故玩一局甲不输的概率是,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,设x1,x2分别为取得的2个素数,则(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)},共15种结果,其中和等于14的只有(3,11),所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;
对于C,总共有6×6=36(种)情况,设A=“点数之和是6”,则A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5种情况,则所求概率是,故C正确;
对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,设x1,x2分别表示取出的两件产品,则(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B),(A2,A3),(A2,B),(A3,B)},共6个样本点,设A=“两件都是正品”,则A={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3个样本点,则所求概率为P=,故D正确.
答案BCD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020全国高一课时练习)下列试验是古典概型的为 .?
①从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
解析在①中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;
在②中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;
在③中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故③不是古典概型;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.
答案①②④
14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼.?
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得×50=2,∴n=750.
答案750
15.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响,若甲乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为 ,二人命中不同色区域的概率为 .?
解析设甲射中红、黄、蓝三色的事件分别为A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝三色的事件分别为B1,B2,B3;
∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.
∵二人射击情况互不影响相互独立,
∴二人命中同色区域的概率P(A1B1∪A2B2∪A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=.
二人命中不同色区域的概率P(A1B2∪A1B3∪A2B1∪A2B3∪A3B1∪A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)·P(B1)+P(A3)P(B2)=.
答案
16.(2020全国高三月考)为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念,我市在经济快速发展的同时,更注重城市环境卫生的治理,经过几年的治理,市容市貌焕然一新,为了调查市民对城区环境卫生的满意程度,研究人员随机抽取了1
000名市民进行调查,并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=2b.若按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60),[60,70)内的市民中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,则至少有1人的分数在[50,60)内的概率为 .?
解析由频率分布直方图得,(0.01+a+b+0.035+0.01)×10=1,∴a+b=0.045,又a=2b,
解得a=0.030,b=0.015.∵[50,60),[60,70)两段频率比为0.1∶0.15=2∶3,
∴按照分层随机抽样的方式从分数在[50,60)内的市民中抽取2人,记为a1,a2,
从分数在[60,70)内的市民中抽取3人,记为b1,b2,b3,设x1,x2分别表示从这5人中抽取的2人,则数组(x1,x2)表示该试验的样本点.
∴该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,其中,至少有1人的分数在[50,60)内包含的样本点有7个,
∴至少有1人的分数在[50,60)内的概率P=.
答案
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020全国高三二模)新型冠状病毒肺炎爆发以来,相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),选定2
000个样本分成三组,测试结果如下表:
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x,y+z的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,求C组应抽取多少个?
(3)已知y≥465,z≥30,求疫苗能通过测试的概率.
解(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
∴=0.33,∴x=660,y+z=2
000-(673+77+660+90)=500.
(2)应在C组抽取的个数为360×=90.
(3)由题意疫苗有效需满足77+90+z≤2
000×10%,即z≤33,
C组疫苗有效与无效的可能情况有6种,即样本空间Ω={(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),},有效的可能情况有4种,即样本空间Ω1={(467,33),(468,32),(469,31),(470,30)},
∴疫苗能通过测试的概率P=.
18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.
(1)求满足条件“为整数”的事件的概率;
(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.
解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16种情况.
(1)记“为整数”为事件A,则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8种情况,则P(A)=.
(2)记“x-y<2”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},共13种情况,则P(B)=.
19.(12分)(2020江西师大附中高三一模)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25
℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20
℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,
得到最高气温位于区间[20,25)内和最高气温低于20
℃的天数为2+16+36=54.
根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.
如果最高气温不低于25
℃,需求量为500瓶,
如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶,如果最高气温低于20
℃,需求量为200瓶,
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=.
(2)当最高气温大于等于25
℃时,需求量为500,Y=450×2=900(元);
当最高气温位于区间[20,25)内时,需求量为300,Y=300×2-(450-300)×2=300(元);
当最高气温低于20
℃时,需求量为200,
Y=400-(450-200)×2=-100(元).
当最高气温大于等于20
℃时,Y>0,
由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20
℃的天数为90-(2+16)=72,
∴估计Y大于零的概率P=.
20.(12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
解(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,
都付2元的概率P1=,
都付4元的概率P2=,
都付6元的概率P3=,
∴所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=.
(2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A,B,C,
P(A)=
P(B)=,
P(C)=,
设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A∪B∪C,
∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=.
21.(12分)(2020全国高一课时练习)(1)掷两枚质地均匀的骰子,计算点数和为7的概率;
(2)利用随机模拟的方法,试验120次,计算出现点数和为7的频率;
(3)所得频率与概率相差大吗?为什么会有这种差异?
解(1)设第一枚骰子向上的点数记为x1,第二枚骰子向上的点数记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点.该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6);(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6);(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,
∴概率P=.
(2)试验120次后得到结果如下表格:
63
51
35
66
42
54
66
42
64
22
46
36
42
26
55
53
51
12
32
24
62
52
32
12
63
61
31
12
22
64
64
12
51
23
52
46
25
32
65
41
31
31
15
43
13
52
42
15
52
26
22
61
65
42
25
14
42
11
25
42
26
62
36
41
62
34
31
31
16
24
64
34
22
45
62
54
16
34
22
64
续 表
12
23
54
41
54
52
21
45
35
66
13
65
11
14
41
51
54
32
36
44
52
42
15
52
26
22
61
65
42
25
53
52
16
32
24
62
52
32
12
63
规定每个表格中的第一个数字代表第一枚骰子出现的数字,
第二个数字代表第二枚骰子出现的数字,从表格中可以查出点数和为7的有23个数据,∴点数和为7的频率为≈0.19.
(3)由(1)中点数和为7的概率为≈0.17,由(2)点数和为7的频率为≈0.19,
一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.
22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解(1)设x1,x2分别表示从身高低于1.80的同学中任选的2人,则数组(x1,x2)表示样本点,该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.设A=“选到的2人身高都在1.78以下”,则A={(A,B),(A,C),(B,C)},共3个样本点.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=.
(2)从该小组同学中任选2人,则该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.
设B=“选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)内”,则B={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=.
1第十章单元质量评估
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列试验中是古典概型的是( C )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．在数轴上－1～2之间任取一点x，观察x是否小于0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况
D．某人射击中靶或不中靶
解析：A中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，…，12，但它们不是等可能的；B中试验的样本点有无数个；D中“中靶”“不中靶”不一定是等可能发生的．因此，A，B，D都不是古典概型．故选C.
2．从装有两个红球和两个白球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( D )
A．“至少有一个白球”与“都是白球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个白球”与“都是红球”
D．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”
解析：A选项错，事件“至少有一个白球”包含事件“都是白球”，则两事件不互斥，也不对立；B选项错，事件“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件为“一个白球和一个红球”，从而两事件不互斥，也不对立；C选项错，事件“至少有一个白球”与“都是红球”互斥且对立．易知D选项正确．
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为( A )
A．0.92
B．0.95
C．0.97
D．0.08
解析：记事件A＝“生产的产品为甲级品”，B＝“生产的产品为乙级品”，C＝“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92，选A.
4．某单位志愿服务团有20人，他们年龄分布如下表所示：
年龄
28
29
30
32
36
40
45
人数
1
3
3
5
4
3
1
则这20人年龄的极差，25%分位数分别是( C )
A．12,30
B．12,36
C．17,30
D．17,36
解析：极差是45－28＝17,25%分位数是30，故选C.
5．含甲、乙在内的4个人站成一排照相，甲在乙右边的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：方法1：设这4人分别为甲、乙、丙、丁，则他们站成一排的所有样本点为(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，…，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，丙，乙，甲)，共24个．其中事件甲在乙右边的样本点数为12，故所求概率为.
方法2：整体法考虑，4个人站成一排照相，分甲在乙右边、甲在乙左边两个样本点，从而甲在乙右边的概率为，故选C.
6．袋中有6个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取2球，则2球的颜色为一白一黑的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：从袋中任取2球共15种取法，2球的颜色为一白一黑的情况共6种，故所求概率为＝.
7．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知，在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有978,479,588,779，共4组，故所求概率近似为＝.
8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：从中随机取出2个小球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，样本点共有10个，取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的样本点有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4个，所以取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是＝.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是( ABC )
A．合格产品少于8件
B．合格产品多于8件
C．合格产品正好是8件
D．合格产品可能是8件
解析：某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，合格产品可能是8件．故选ABC.
10．掷一枚均匀的硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则有( AD )
A．A与B相互独立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥
D．P(AB)＝
解析：对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确；对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确；对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以D正确．故选AD.
11．下列说法不正确的是( ABC )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
解析：概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．
12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( ACD )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析：对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7与点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．设抛掷两次向上的点数分别为a和b，则等式2a－b＝1成立的概率为 .
解析：∵2a－b＝1，∴a－b＝0.又先后抛掷骰子两次，该试验样本空间的样本点一共有36个，当a－b＝0时，包含的样本点有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个．
∴所求概率为＝.
14．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是 (用a和b表示)．
解析：[a，b]中共有(b－a＋1)个整数，每个整数出现的可能性相等，故每个整数出现的可能性是.
15．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为 .
解析：由题意知，相当于做了30次试验．表示乙获胜的有738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以估计乙获胜的概率为.
16．在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数，则其样本点总数为__9__，“个位数与十位数不相同”的概率是 .
解析：根据题意，在集合{1,2,3}中有放回地先后随机取两个数，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其中个位数与十位数相同的样本点有3个，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，则“个位数与十位数不相同”的样本点有9－3＝6(个)，则其概率为＝.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，
∴z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，
∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
18．(本小题12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5)．
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．
解：样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点．
其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的样本点有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共7个．甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的样本点有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,5)，共6个．
(1)事件A＝记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”，则P(A)＝.
(2)事件B＝记“甲、乙两人的演出序号不相邻”，
则P(B)＝＝.
19．(本小题12分)某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的售后调查数据，经分类整理得到下表：
产品类型
甲
乙
丙
丁
产品件数
100
50
200
150
使用满意率
0.9
0.7
0.8
0.5
使用满意率是指一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值．
(1)从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；
(2)假设该公司的甲类产品共销售10
000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．
解：(1)由题意知，样本中公司的产品总件数为100＋50＋200＋150＝500，
丙类样本产品中获得用户满意评价的产品件数为200×0.8＝160，∴所求概率为P＝＝0.32.
(2)在样本100件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是100×(1－0.9)＝10，
∴不能获得用户满意评价的件数占比为＝.
∵该公司的甲类产品共销售了10
000件，
∴这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是10
000×＝1
000.
20．(本小题12分)某小组共有A，B，C，D，E五名同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的样本点有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的样本点有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝.
21．(本小题12分)为预防某病毒爆发，某生物技术公司研制出一种抗病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2
000个样本分成三组，测试结果如下表：
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
(3)已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
解：(1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率为0.33，即＝0.33，∴x＝660.
(2)C组样本个数为y＋z＝2
000－(673＋77＋660＋90)＝500，用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取360×＝90(个)．
(3)设事件M＝“测试不能通过”，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y，z)，已知y≥465，Z≥30，由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N，所以样本空间Ω＝{(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)}，共6个样本点．
若测试不能通过，则77＋90＋z>2
000×(1－90%)，即z>33.
M＝{(465,35)，(466,34)}，共2个样本点，则P(M)＝＝.故不能通过测试的概率为.
22．(本小题12分)为了研究某种理财工具的使用情况，对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到频率分布直方图如图：
(1)求直方图中a的值；
(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？
解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040＋2a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020.
(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1∶2∶1，
∴三个组依次抽取的人数为2,4,2.
(3)记第二组两人分别为A1，A2，第三组四人分别为B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为C1，C2.
样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)}，共28个样本点，而都来自第三组的为(C1，C2)，故其概率为P＝.
