《5.1.2 弧度制》教案（Word版）

《5.1.2 弧度制》教学设计
教学目标
1．根据函数概念中强调函数必须是实数集到实数集的对应，体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量．
2．在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解．在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性．
3．体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用180°＝π rad进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间的一一对应关系．
教学重难点
教学重点：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化．
教学难点：弧度制概念的理解．
课前准备
计算器、PPT课件．
教学过程
（一）创设情境
问题1：我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．
预设的师生活动：学生针对老师提出的问题进行思考与回答．
预设答案：因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．
设计意图：通过生活中的发现，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，让学生体会度量一样东西可以有多种度量制．
（二）新知探究
1．弧度制
图1
问题2：度量角除了角度制，还有什么单位制呢？false
追问1：如图1，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧false的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？
图1
预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论．
图2
预设答案：false．
追问2：如图2，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧false的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论．
预设答案：false；圆心角false所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与false的大小有关，也就是说，这个比值随false的确定而唯一确定．因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
设计意图：通过复习初中所学知识可知，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念，使学生明白新概念的由来和定义的合理性．
追问3：结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？
预设的师生活动：学生用自己的语言表述清楚即可，教师在学生表述的基础上进行完善．
预设答案：我们规定：
长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生的背景、原由及过程．
追问4：（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1 rad的角呢？
（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？
（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
图3
预设的师生活动：学生思考后回答．
图3
预设答案：得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图3）；在半径为false的圆中false；类比角度制，false的正负由角false的终边的旋转方向决定．
设计意图：深化理解弧度的定义．在单位圆中，直观感受1 rad的角的大小，体会1 rad角的几何表示；进一步能在一般圆中求得角的弧度数，使学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力．
追问5：请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
预设的师生活动：学生展开讨论之后总结提炼．
预设答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的false；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．
设计意图：概念辨析，深化理解．
2．角度制与弧度制的换算
问题3 既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？
预设的师生活动：学生思考后回答，得出答案．
预设答案：这两种角度度量制之间的关系是：360°＝2π rad．其中，最为基础也是最为关键的是180°＝π rad，即1°＝false rad，1 rad＝false≈57.30°．
设计意图：通过思考，让学生掌握弧度和角度换算的方法．体会同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间的内在联系．认识这种联系性是数学研究的重要内容之一．
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值．
预设的师生活动：学生自行完成并回答问题．
预设答案：（1）因为67°30′=false，所以67°30′=false×false rad=falseπ rad．
（2）利用计算器有
1.178097245．
因此，67°30′≈1.178 rad．
设计意图：在换算中学会根据要求的精度不同，选择不同的计算方式．
例2 将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）．
预设的师生活动：使用计算器完成．
预设答案：利用计算器有
179.9087477．
因此，3.14 rad≈179.909°．
设计意图：学会利用计算器完成这种繁杂的计算问题．
追问：（1）67°30′能直接化成弧度吗？你是怎么做的？应该注意什么问题？
（2）相互交流一下，如何使用计算机完成弧度制与角度制的换算？
预设的师生活动：学生独立完成角度制与弧度制的换算的精确值，之后交流展示用计算机完成弧度制与角度制换算的近似值．
设计意图：通过简单应用，熟悉弧度制、熟悉弧度制与角度制的换算．
学生可能出现的问题：第一，进行角度制与弧度制的换算不够熟练；第二，角度转化弧度时需要把含分或秒的角度统一为度的单位；第三，计算机完成弧度制与角度制换算的近似值时，操作需要一个熟悉的过程．
练习 填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页）．
度
0°
30°
45°
120°
135°
150°
360°
弧度
false
false
π
false
预设的师生活动：快问快答，进行训练．
预设答案：
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
false
false
false
false
false
false
false
π
false
2π
设计意图：这些角是今后常用的特殊角，不仅要求学生会换算，而且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值．另外，熟练角度和弧度的换算，进一步加深对180°=π rad的理解和掌握．同时进一步体会角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系．
例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）l=αR；（2）S=falseαR2；（3）S=falselR．
其中R是圆的半径，α（0＜α＜π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
预设的师生活动：学生学生利用弧度制证明关于扇形的公式，教师进行点评及板书．
预设答案：（1）由公式|α|=false可得l=αR．
下面证明（2）（3）．
由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l=false，S=false，将n°转换为弧度，得α=false，于是S=falseαR2．将l=αR代入上式，即得S=falselR．
设计意图：体会弧度制下的扇形弧长、面积公式的简洁美，这是引入弧度制的一个理由．
（三）归纳小结
问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？
追问：你觉得这样定义弧度制合理吗？在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
预设的师生活动：学生自主总结，并作出回答．
预设答案：圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；在度量角的时候需要注意：联系两种度量制的桥梁是360°=2 rad；要注意防止出现角的两种度量制混用的现象，等等；用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利．实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”false．而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了．
背景
引入弧度制的必要性
定义的合理性
弧度制
定义
表示
关系
应用
设计意图：帮助学生梳理所学知识，并让学生清楚引入弧度制的必要性，以及这样定义的合理性，逐步提升学生逻辑推理的核心素养．
（四）布置作业：
1．第175页练习；
2．第175页习题5.1A组1—9题．
（五）目标检测设计
1．把下列角度化成弧度：
（1）22°30′； （2）－210°； （3）1 200°．
2．把下列弧度化成角度：
（1）false； （2）－false； （3）false．
3．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数．
预设答案：
1．（1）false；（2）―false；（3）false．
2．（1）15°；（2）－240°；（3）54°．
3．弧度数为1.2．
设计意图：巩固所学知识．