江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二（零班，奥数班）九月月考数学（文）试卷（Word含答案）

江西省赣州市赣县区第三中学2020-2021学年高二
（零班，奥数班）九月月考数学（文）试卷
一、单选题
1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（　　）
A．7
B．8
C．9
D．10
2．已知等比数列满足,,则（
）
A．
B．
C．
D．
3．若点关于平面的对称点为，点关于轴对称点为，点为线段的中点，则（
）
A．
B．
C．5
D．
4．四棱锥的三视图如图所示，则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
B．
C．
D．
5．在正方体中，E，F，G分别为，BC，的中点，现有下面三个结论：①为正三角形；②异面直线与所成角为，③平面EFG；④过A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个.则所有正确编号是（
）
A．②④
B．②③
C．①③
D．①③④
6．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．．
C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为　　
B．
C．
D．
10.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　
A.
B．
C．
D．
12．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最小值为__________．
14．总体由编号为的个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第行和第行）选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列开始由左向右读取，则选出来的第个个体的编号为______.
15．已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是____．
16．如图，中，，，的面积为，
点在内，且，则的面积的最大值为____
.
三、解答题
17．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
18．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，以及表示这组数据长方形在纵轴上对应的坐标；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和中位数（中位数用分数表示即可）；
（3）从成绩是60～70分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x，y
求满足“”的概率．
20．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．
21．已知首项为的等差数列中，是的等比中项.
(1)
求数列的通项公式；
(2)
若数列是单调数列，且数列满足，求数列的前项和.
22．在平面直角坐标系中，已知直线∶和圆∶，是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
（1）若，求点坐标；
（2）若圆上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围；
（3）设线段的中点为，与轴的交点为，求线段长的最大值.
答案
1．D
2．C
3．C
4．A
5．D
6．D
7．B
8．B
9．C
10．C
11．D
12．A
由圆，圆，
可知圆圆心为，半经为1，如图，
圆圆心为，半经为2，
圆关于直线的对称圆为圆，
连结，交于，则为满足使最小的点，
此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，
最小值为，
而，
的最小值为，故选A.
13．-5
14、43
15、．
16．
17．（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴
方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵
弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，∴，解得.
18．(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB
①
在三角形ABC中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2)
S△ABCacsinBac，
由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，
整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，
则△ABC面积的最大值为（2）1．
19．解：（1）由频率分布直方图可知第1，2，3，5，6小组的频率分别为：
0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，
所以第4小组的频率为：．
∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高，
（2）∵考试的及格率即60分及以上的频率
.
∴及格率为
∵
前三组的频率和为：，
∴
中位数为
（3）设“成绩满足”为事件A
由频率分布直方图可求得成绩在60~70分及90～100分的学生人数分别为6人和2人，
所以设60~70的6名学生分别为，90～100分的2名学生为，
则从这8个学生中选两人，所有可能情况为：
，共28种，且每种情况的出现均等可能，
若这2人成绩要满足“”，则要求一人选自60~70分数段，另一个选自90～100分数段，有如下情况：，共12种，
所以由古典概型概率公式有，
即所取2人的成绩满足“”的概率是.
20．如图，，F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
又，平面平面BEF；
平面平面，平面平面，
平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，
则，得，
为AB的中点，为BC的中点．
21．(1)
是的等比中项，是等差数列
或
或
(2)由(1)及是单调数列知
得
22．（1）若，则四边形为正方形，
则到圆心的距离为，
∵在直线上，设
故，解得，故；
（2）设，若圆上存在点，使得，
过作圆的切线，，∴，∴，
在直角三角形中，∵，
∴，即，∴，
∴，解得，
∴点横坐标的取值范围为：；
（3）设，则以为直径的圆的方程为
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，
联立，得，
∴的坐标为，
可得点的轨迹为：，
圆心，半径.其中原点为极限点（也可以去掉）.
由题意可知，∴.
∴.
∴线段的最大值为.