第三章 函数的应用 章末检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 函数的应用 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-12 17:06:02 | ||
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文档简介
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2020-2021学年度高中数学必修一
第三章函数的应用章末检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
2．已知函数（为自然对数的底数），则的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数在上是减函数，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是函数的一个零点，若，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的零点个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若函数y=f（x）–m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（
）
A．[1，2]
B．[1，2）
C．（1，2]
D．（1，2）
10．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数
1~50
51~100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（
）
A．20
B．30
C．35
D．40
11．若函数
(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
12．如果已知0A．2
B．3
C．4
D．与a的值有关
第II卷（非选择题）
二、解答题
13．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)写出函数的解析式；
(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.
14．已知二次函数满足，且，.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使得在上的图象恒在曲线的上方？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
15．某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
16．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
17．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
18．已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（2）求在区间上的最小值；
（3）讨论在区间上的零点个数.
三、填空题
19．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N
，则n=
.
20．若函数对于时，恒有，则实数的取值范围是_____．
21．已知函数.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
22．若只有一个实数解，则实数的取值范围_____.
参考答案
1．C
【解析】
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
2．A
【解析】
因为，
所以的图像与x轴有两个交点,
且当时,,当时,,
故选A.
3．B
【解析】
解：依题意，，解得，
故选B．
4．C
【解析】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
5．B
【解析】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
6．C
【解析】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
7．B
8．C
【解析】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）?f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．
故选C．
9．D
【解析】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）–m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（1，2）.
故选:D．
10．B
【解析】
由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，
（1）若，则，可得，……(1)
由共需支付门票为1290元，可知,………(2)
联立方程组，可得（舍去）；
（2）若，则，可得，……(3)
由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)
联立方程组可得，
所以两个部门的人数之差为.
故选：B.
11．A
【解析】
函数的图象在上是连续不断的，逐个选项代入验证，当时，，.故在区间上有零点，同理，其他选项不符合，
故选A.
12．A
【解析】
设分别作出它们的图象如图所示：
由图可知有两个交点，故选A.
13．(1)
(2)
【解析】
解：(1)当时，，
是奇函数，
.
(2)当时，，最小值为；
当，，最大值为.
据此可作出函数的图象，如图所示，
根据图象得，若方程恰有个不同的解，
则的取值范围是.
14．(1)
(2)
【解析】
（1）设，
因为二次函数满足，所以的图象关于直线对称，
即①
因为，，所以
②
，③
联立①②③，解得，，.
故.
（2）设，
的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
则.
故的取值范围为.
15．（1）y＝－3x＋150(0≤x≤50且x∈N
)．
（2）销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
【解析】
试题分析：（1）由题意画出所给的点，结合题意求解一次函数的解析式即可；
（2）结合（1）的结论和二次函数的性质整理计算即可求得最终结果．
试题解析：
(1)由表作出点(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0).如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150，(x∈N).
经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上.
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N).
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润.
16．（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【解析】
（1）令y＝0，得kx－
（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
?存在k＞0，使3.2＝ka－
（1＋k2）a2成立
?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
?判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
?a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
17．（1）
（2）甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【解析】
（1）当，即时，，所以.-------1分
当,,
即,.------3分
当,即时,
,------4分
综上:-------5分
(2)由(1)知:当时,;当时,;当时,.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时,------7分
所以,解得:；-------9分
所以甲户用水量为7.5吨,应缴水费元;乙户用水量为4.5吨，应缴水费元．-------10分
18．（1）；（2）；（3）当时，函数有2个零点，当或时，函数有1个零点.
【解析】
（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，
若使得函数在上单调递增，则满足，解得，
即实数m的取值范围.
（2）①当即时，函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
②当，即时，
函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为；
③当即时，函数在区间单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，函数的最小值为.
（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，
①当，即时，函数在区间上有2个零点；
②当，此时m不存在；
③当，此时m不存在；
④当，即，解得或时，函数在区间上有1个零点.
综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，
当或时，函数在区间上有1个零点.
19．2
【解析】
设函数y=logax，m=﹣x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=logax
在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2
之间，b-3<1
在同一坐标系中画出两个函数的图象，
判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2.
20．
【解析】
函数对于时，恒有，
等价于恒成立，当x=1时，不等式恒成立，a的取值是全体实数；
当时，不等式等价于，根据反比例函数的性质得到，故得到.两种情况对a的范围取交集即可.
故答案为.
21．
【解析】
函数有两个零点即与有两个交点，
的图像如图所示：当的斜率时由图像可得有两个交点，故实数的取值范围是
故答案为
22．或
【解析】
作出函数的图象，如图所示，
结合图象可得，方程只有一个实数解，
即函数与的图象只有一个交点，
则满足或．
故答案为：或．
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精品试卷·第
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2020-2021学年度高中数学必修一
第三章函数的应用章末检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
2．已知函数（为自然对数的底数），则的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数在上是减函数，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是函数的一个零点，若，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数的零点个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若函数y=f（x）–m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（
）
A．[1，2]
B．[1，2）
C．（1，2]
D．（1，2）
10．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数
1~50
51~100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（
）
A．20
B．30
C．35
D．40
11．若函数
(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
12．如果已知0
B．3
C．4
D．与a的值有关
第II卷（非选择题）
二、解答题
13．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)写出函数的解析式；
(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.
14．已知二次函数满足，且，.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使得在上的图象恒在曲线的上方？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
15．某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
16．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
17．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
18．已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（2）求在区间上的最小值；
（3）讨论在区间上的零点个数.
三、填空题
19．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N
，则n=
.
20．若函数对于时，恒有，则实数的取值范围是_____．
21．已知函数.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
22．若只有一个实数解，则实数的取值范围_____.
参考答案
1．C
【解析】
画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
2．A
【解析】
因为，
所以的图像与x轴有两个交点,
且当时,,当时,,
故选A.
3．B
【解析】
解：依题意，，解得，
故选B．
4．C
【解析】
根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.
5．B
【解析】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
6．C
【解析】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
7．B
8．C
【解析】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）?f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．
故选C．
9．D
【解析】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）–m有三个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为（1，2）.
故选:D．
10．B
【解析】
由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，
（1）若，则，可得，……(1)
由共需支付门票为1290元，可知,………(2)
联立方程组，可得（舍去）；
（2）若，则，可得，……(3)
由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)
联立方程组可得，
所以两个部门的人数之差为.
故选：B.
11．A
【解析】
函数的图象在上是连续不断的，逐个选项代入验证，当时，，.故在区间上有零点，同理，其他选项不符合，
故选A.
12．A
【解析】
设分别作出它们的图象如图所示：
由图可知有两个交点，故选A.
13．(1)
(2)
【解析】
解：(1)当时，，
是奇函数，
.
(2)当时，，最小值为；
当，，最大值为.
据此可作出函数的图象，如图所示，
根据图象得，若方程恰有个不同的解，
则的取值范围是.
14．(1)
(2)
【解析】
（1）设，
因为二次函数满足，所以的图象关于直线对称，
即①
因为，，所以
②
，③
联立①②③，解得，，.
故.
（2）设，
的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
则.
故的取值范围为.
15．（1）y＝－3x＋150(0≤x≤50且x∈N
)．
（2）销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
【解析】
试题分析：（1）由题意画出所给的点，结合题意求解一次函数的解析式即可；
（2）结合（1）的结论和二次函数的性质整理计算即可求得最终结果．
试题解析：
(1)由表作出点(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0).如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150，(x∈N).
经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上.
∴所求函数解析式为y＝－3x＋150，(x∈N).
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，
当x＝40时，P有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润.
16．（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【解析】
（1）令y＝0，得kx－
（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
?存在k＞0，使3.2＝ka－
（1＋k2）a2成立
?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
?判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
?a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
17．（1）
（2）甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【解析】
（1）当，即时，，所以.-------1分
当,,
即,.------3分
当,即时,
,------4分
综上:-------5分
(2)由(1)知:当时,;当时,;当时,.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时,------7分
所以,解得:；-------9分
所以甲户用水量为7.5吨,应缴水费元;乙户用水量为4.5吨，应缴水费元．-------10分
18．（1）；（2）；（3）当时，函数有2个零点，当或时，函数有1个零点.
【解析】
（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，
若使得函数在上单调递增，则满足，解得，
即实数m的取值范围.
（2）①当即时，函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
②当，即时，
函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为；
③当即时，函数在区间单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，函数的最小值为.
（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，
①当，即时，函数在区间上有2个零点；
②当，此时m不存在；
③当，此时m不存在；
④当，即，解得或时，函数在区间上有1个零点.
综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，
当或时，函数在区间上有1个零点.
19．2
【解析】
设函数y=logax，m=﹣x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=logax
在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2
之间，b-3<1
在同一坐标系中画出两个函数的图象，
判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，
∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2.
20．
【解析】
函数对于时，恒有，
等价于恒成立，当x=1时，不等式恒成立，a的取值是全体实数；
当时，不等式等价于，根据反比例函数的性质得到，故得到.两种情况对a的范围取交集即可.
故答案为.
21．
【解析】
函数有两个零点即与有两个交点，
的图像如图所示：当的斜率时由图像可得有两个交点，故实数的取值范围是
故答案为
22．或
【解析】
作出函数的图象，如图所示，
结合图象可得，方程只有一个实数解，
即函数与的图象只有一个交点，
则满足或．
故答案为：或．
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精品试卷·第
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