北师大版九年级数学上册 3.4探索三角形相似的条件（一）讲义（无答案）

相似三角形及其判定（一）
一、知识精讲：
1.
相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
①如图和中，如果有，，，，那么和相似.
相似用符号________表示，读作“_____”，相似三角形对应边的比值叫做_____。上图两个三角形相似记为_____________
②如果，那么的相似比为_____，、的相似比为_____
2.相似三角形的判断：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简单地说：________________________________________。
（3）直角三角形____________________分成的两个直角三角形和原三角形相似。
（4）如果一个三角形的两边_____________________________________且________________相等，那么这两个三角形相似。
（5）如果一个三角形的三条边与_____________________________________那么这两个三角形相似。
即：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、学习新知：
例1
已知：和中，，，，.求证.
练习：
1.
∽，其中，写出对应边的比例式.
2.
已知：的三边长分别是，与其相似的的最长边是.求面积.
例2
已知：如图，中，是斜边上的高，求证：
练习：
1.已知：如图，，求证：
2.依据下列各组条件，判定和是不是相似，并说明为什么：
（1），，厘米，
（2）厘米，厘米，厘米，
厘米，厘米；
厘米，厘米，厘米
例3.如图，已知，，当与之间满足怎样的关系式时，？
练习：
1.已知，是边上的一点，连接.
（1）满足什么条件时，？
（2）满足什么条件时，？
2.已知：如图，.求证：∽.
例4.已知：是正方形的边上的点，且，是的中点.求证：∽.
练习：
1.
如图，是平行四边形的边的延长线的一点，连结交于，则图中共有相似三角形（
）
A.对
B.对
C.对
D.对
2.
已知：如图，在四边形中，.求证：.
例5.
如图，中，分别是的中点，连结，在上取一点，的延长线交的延长线于，交于，连结。求证：
练习：
1.
已知：在梯形中，,点在上，点在上，且。
（1）如图，如果点分别为的中点，求证：,且；
（2）如图，如果，判断与是否平行，并用的代数式表示，请证明你的结论.
2.
已知：如图，的高相交于点，求证：
【分层训练】
1.一个三角形的各边之比为，和它相似的另一个三角形的最大边长为，则它的最小边长为______.
2.
满足下列条件的与是否相似，并说明理由？
3.如图，在中，在中，试判断这两个三角形是否相似.
4.设与的三个内角与两条边分别相等，则下列说法正确的是（
）
A.与一定全等
B.与一定不全等
C.与不一定全等，但相似
D.与一定相似且面积相等
5.如图，在正方形网格上有两个三角形和。求证：。
6.
如图，已知在中，,垂足为，且，垂足为，交于，求证：.
7.
如图，已知为内一点，为外一点，且，求证：.
8.如图，.求证：.
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