13.4
尺规作图（第1课时）
知识点：1.作一条线段等于已知线段，2.作一个角等于已知角.
重
点：了解尺规作图的步骤，写出作法.
难
点：准确的进行作图并写出主要步骤的作法.
基础巩固
1．尺规作图是指(
)
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．直尺和圆规是作图工具
2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )
A．S.A.S.
B．S.S.S.
C．A.S.A.
D．A.A.S.
3.已知三边作三角形，用到的基本作图方法是（ ）
A.作一个角等于已知角
B.
平分一个已知角
C.在射线上截取一线段等于已知线段
D.
作一条直线的垂线
4．下列条件中，不能作出唯一三角形的是(
)
A．已知两角及夹边
B．已知两边及夹角
C．已知两边及其一边的对角
D．已知三边
5．改正下列画图语句中的错误：
(1)过三点A、B、C作直线：____________________；
(2)延长射线OM到点A：___________________；
(3)已知△ABC，作△DEF，使△ABC≌△DEF：_______________；
(4)已知线段AB，延长线段AB到点C，使2AB＝BC：__________________________；
(5)过两点A、B，作线段AB：____________________________．
6．如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.
7．如图，已知α、β，作一个角，使它等于α＋β.
8．用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a、∠α.
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝α.
9.画一个等腰△ABC，使底边长BC＝a，腰为b(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知和求作，不写作法和说明)．
10.
如图，已知∠DAE和∠B，画一个角，使其等于∠DAE－2∠B.
强化提高
11．已知一个三角形的两条边长分别是1
cm和
2
cm，一个内角为40°.
(1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形．
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作图作出一个这样的三角形；若不能，请说明理由．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两边长分别是3
cm和4
cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有____个．
12.已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C.D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
12题图
13.4
尺规作图（第1课时）答案
1.C.
2.
B.
3.
C.
4.
C.
5．(1)过点A、B作直线AB
(2)反向延长射线OM到点A
(3)已知△ABC，作△DEF，使△DEF≌△ABC
(4)已知线段AB，延长线段AB到点C，使BC＝2AB
(5)连结点A、B，得线段AB
6．解：
如图，线段AB就是所求的线段．
6题图
作法：(1)作射线AP；
(2)作线段AC＝2a；
(3)作线段BC＝b，则线段AB就是所求的线段．
7．解：
如图，∠AOB即为所求．
7题图
作法：(1)作∠BOC＝α；
(2)作∠COA＝β，
则∠AOB即为所求的角．
8．解：
如图所示，△ABC即为所求．
8题图
9.
解：
已知：线段a、b.
求作：一个等腰△ABC，使底边BC＝a，腰AB＝AC＝b.
画图：如图所示．
9题图
10.
解：
如图所示，∠DAC就是所求角．
10题图
11．解：
(1)如图1所示．
(2)能，如图2所示．
11题图1
11题图2
(3)4
12.证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD和△O′C′D′中
OC=
O′C′，OD=
O′D′，CD=C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′(S.S.S)，
∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．13.4
尺规作图（第2课时）
知识点：作已知角的平分线.
重
点：掌握角的平分线作图方法.
难
点：正确写出角的平分线作法.
基础巩固
1.
角平分线的作法(尺规作图)．
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
角平分线的作法依据的是( )
A．S.S.S.?
?B．S.A.S.?
?C．A.A.S.?
?D．A.S.A.?
2．（2020广西南宁）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
3.
如图，已知∠AOB，用尺规作图作∠AOM＝∠AOB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)．
4.
如图，已知∠1、∠2(∠2＞∠1)，求作一个角，使它为2∠2－∠1.
5．填空：作一个角等于已知角α的补角，再作它的角平分线．
作法：如图所示．
(1)反向延长____________，则∠_______为∠α的补角；
(2)以点O为圆心，以______________作弧交OC于点E，交OB于点F；
(3)分别以点E、F为圆心，____________长为半径画弧，在∠BOC内部两弧交于点D；
(4)作____________，____________就是所求作的角平分线．
6.
如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)已知AD＝BD，求∠B的度数．
强化提高
7．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心、大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连结AP，交CD于点M.若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数．
7题图
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC.
(1)作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，连结AE，使AE＝AB，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)条件下，连结CF，求证：∠E＝∠ACF.
8题图
13.4
尺规作图（第2课时）答案
1.A.
2.
B.
解析：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．
3.
解：
如图，∠AOM即为所求．
3题图
4.
解：
作法：如图，
(1)用尺规画∠MAN＝∠2；
(2)以射线AN为边在∠MAN外部画∠PAN＝∠2；
(3)在∠1中画∠1；
(4)以AM为角的一边在∠MAN内画∠MAQ＝∠1，则∠PAQ＝2∠2－∠1，
故∠PAQ即为所求作的角．
4题图
5．(1)射线OA，
BOC；
(2)任意长为半径
(3)大于EF
(4)射线OD，
射线OD
6.解：(1)如图，AD即为所求；
6题图
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∠B+∠BAD+∠CAD=3∠B
=90°，
∴∠B＝30°.
7．解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＋∠CAB＝180°.
又∵∠ACD＝110°，
∴∠CAB＝70°.
由题中作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝35°.
又∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠BAM＝35°.
8．(1)解：
如图所示．
8题图
(2)证明：在△ACF和△AEF中，
∵AE＝AB＝AC，∠EAF＝∠CAF，AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF(S.A.S.)，
∴∠E＝∠ACF.13.4
尺规作图（第3课时）
知识点：经过一已知点作已知直线的垂线.
重
点：掌握经过一已知点作已知直线的垂线的作图步骤及方法.
难
点：写出作图的主要步骤.
基础巩固
1．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(
)
A
B
C
D
2．如图，已知△ABC，用尺规画出它的三条高(不写画法)．
3.
过点P作∠A两边的垂线(不写画法)．
4.
如图，请作出A地经过B地去河边l的最短路线
(要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)．
5.如图，点B、C在∠EAF的两边上，且AB＝AC.
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写画法，保留作图痕迹)．
①AN⊥BC，垂足为点N；
②∠EBC的平分线交AN的延长线于点M；
③连结CM.
(2)该图中有____对全等三角形．
6．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由(保留作图痕迹，不写作法)．
强化提高
7．小丽同学要画∠AOB的平分线，如图，却没有量角器和圆规，于是她用三角尺按下面方法画角平分线：
①在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON；
②分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P；
③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
(1)请问：小丽的画法正确吗？试证明你的结论．
(2)如果你现在只有刻度尺，能否画一个角的角平分线？若能，请画图并写出作法；若不能，请说明理由．
7题图
8．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD.
(1)用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足是点M(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：BM＝EM.
8题图
13.4
尺规作图（第3课时）答案
1.
B.
2.解：
如图，AD、BE、CF分别是△ABC的三条高．
2题图
3题图
4题图
3.
解：
如图，PM、PN就是所求作的∠A两边的垂线．
4.
解：连结AB，过B作l的垂线BC交l于点C，则折线ABC即为所求的最短路线，如图所示．
5.
解：
(1)如图所示．
（2）
3
5题图
6题图
6．解：
如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，△ABD≌△ACD.
理由：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)．
7．解：
(1)小丽的画法是正确的．
证明：如图，在Rt△OMP与Rt△ONP中，
OM＝ON，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(H.L.)，
∴∠MOP＝∠NOP，即OP平分∠AOB.
(2)只有刻度尺能画一个角的角平分线，画法如图：
①分别在∠AOB的两边取点M、N，使OM＝ON；
②连结MN，并取MN的中点P；
③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
作图依据：等腰三角形底边上的中线平分顶角．
7题图
8题图
8．(1)
解：
如图所示．
(2)
证明：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBE.
∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，
∴∠ACB＝2∠E.
又∵∠ABC＝∠ACB，
∴2∠DBC＝2∠E，
∴∠DBC＝∠E，∴BD＝DE.
又∵DM⊥BE，
∴BM＝EM.13.4
尺规作图（第4课时）
知识点：作已知线段的垂直平分线.
重
点：掌握线段的垂直平分线
的作图方法.
难
点：五个基本作图的综合应用.
基础巩固
1．下列说法错误的是(
)
A．经过一点作已知直线的垂线可作一条
B．可以利用画垂线的方法，作三角形的高
C．垂直于一条线段的直线叫作线段的垂直平分线
D．利用作线段垂直平分线的方法可以平分线段
2．（2019·郴州）如图，分别以线段
AB
的两端点
A、B
为圆心，大于
AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E、F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P(不与O重合)，连结PA，PB，则下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
?
B．OA＝OB
C．OP＝OF
?D．PO⊥AB
3．（2019·宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是( )
A.
B.
C.
D.
4．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．
4题图
5．如图，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.
由(1)(2)可得线段EF与线段BD的关系为___________．
5题图
6.
如图，一张纸上有线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
6题图
7.
如图，在△ABC和△ABD中，BC＝BD，设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
(1)请你在图中作出点E和点F(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)；
(2)连结AE、AF.若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF.
7题图
8．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：
如图，已知线段a和∠AOB，点M在OB上．
(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；
(2)作∠AOB的平分线；
(3)过点M作OB的垂线．
9．用圆规、直尺作图，写出作法并保留作图痕迹．
如图，已知线段a.求作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝2a.
强化提高
10．（2019·济宁）如图，点M和点N在∠AOB内部．
(1)请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)请说明作图理由．
10题图
11．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线．
(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O.
(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)求证：DE＝BF.
11题图
13.4
尺规作图（第4课时）答案
1.
C.
2.
C.
3.
A.
4．解：
如图，直线AD即为所求．
4题图
5题图
6题图
5．解：
(1)(2)如图所示．
(2)互相垂直平分
6.
解：
(1)如图；
(2)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线．
7.
(1)解：
如图所示．
(2)证明：∵BC＝BD，点E、F分别是BC、BD的中点，
∴BE＝BF.又∵∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，
∴△ABE
≌△ABF(S.A.S.)．
7题图
8题图
9题图
8．解：
(1)
点P为所求作；
(2)
OC为所求作；
(3)
MD为所求作．
9．解：
①作射线BP，在射线BP上截取BC＝a；
②作BC的垂直平分线EF，交BC于点D；
③截取AD＝2a，连结AB、AC，则△ABC即为所求．
10．解：(1)如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；
10题图
(2)理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
11．(1)解：
如图所示．
11题图
(2)证明：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵EF垂直平分线段BD，∴BO＝DO.
在△DEO和△BFO中，
∴△DEO≌△BFO(A.S.A.)，
∴DE＝BF.
