13.5.1
互逆命题与互逆定理
知识点：互逆命题与互逆定理.
重
点：能写出一个命题的逆命题.
难
点：理解互逆命题与互逆定理.
基础巩固
1.下列说法中，正确的是(
)
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每一个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题
2.下列命题的逆命题为真命题的是(
)
A.如果a=b，那么a2=b2
B.平行四边形是中心对称图形
C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D.内错角相等
3.下列定理中，有逆定理的是(
)
A.四边形的内角和等于360°
B.同角的余角相等
C.全等三角形对应角相等
D.在一个三角形中，等边对等角
4.下列命题的逆命题一定成立的是（
）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；④若x=3，则x2﹣3x=0．
A．①②③
B．①④
C．②④
D．②
5．下列各命题的逆命题中，假命题是( )
①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形；
②全等三角形对应边上的高相等；
③全等三角形的周长相等；
④两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是全等三角形．
A．①②
?
B．①③
C．②③
D．①④
6．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是
命题．(填“真”或“假”)
7．命题“一个三角形如果有两个锐角互余，那么它是直角三角形”的逆命题是
．
8.命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是
．
9.写出下面命题的逆命题，并判断其真假.
命题
真假性
逆命题
真假性
(1)
如果x=2，那么x-2=0
(2)
两个三角形全等则对应边相等
(3)
在一个三角形中，等边对等角
(4)
等腰三角形是等边三角形
(5)
同旁内角互补
10.说出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：
(1)平行四边形的对角线互相平分；
(2)全等三角形的对应角相等．
(3)正方形的四个角都相等.
11.写出下列定理的逆命题，并判断其真假：
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)等腰三角形的两底角相等；
(3)对顶角相等．
12.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
(1)写出逆命题．
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
强化提高
13．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明．
14．试根据下面的定理，写出它的两个不同的逆命题，并证明它们都是真命题．
定理：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，那么AD平分BC，且AD⊥BC.
14题图
13.5.1
互逆命题与互逆定理答案
1.
A.
2.
C.
3.
D.
4.
D.
5.
C.
6．假
7．直角三角形的两个锐角互余.
8.
菱形的四条边相等．
9.解：(1)真，如果x-2=0，则x=2；真.
(2)真，三边对应相等的两个三角形全等；真.
(3)真，在一个三角形中，等角对等边；真.
(4)假，等边三角形是等腰三角形；真.
(5)假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假.
10.解：
(1)条件：一个四边形是平行四边形．
结论：这个四边形的对角线互相平分．
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(2)条件：两个三角形是全等三角形．
结论：它们的对应角相等．
逆命题：三个角分别对应相等的三角形全等．
(3)条件：正方形的四个角，
结论：
相等（或正方形的四个角相等）．
逆命题：四个角相等的四边形是正方形．
11.
解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．
(2)有两角相等的三角形是等腰三角形．真命题．
(3)相等的角是对顶角．假命题．
12.
解：
(1)逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
已知：如图，△ABC的两边AC、AB上的高BD、CE相等．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BD、CE是△ABC两边上的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
∵∠A＝∠A，BD＝CE，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC，
∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
12题图
13．解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形．逆命题是真命题．
已知：如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，AD＝BC.
13题图
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD＝BC.
∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C，
即∠BAC＝∠B＋∠C.
∵2∠BAC＝∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
14．解：逆命题(1)：在△ABC中，AB＝AC，
AD⊥BC于点D，AD平分BC，那么AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L.)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.
逆命题(2)：在△ABC中，AD平分BC，且AD⊥BC，那么AB＝AC，AD平分∠BAC.
证明：∵AD平分BC，∴BD＝CD.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵AD为公共边，
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
即AB＝AC，AD平分∠BAC.13.5.2
线段垂直平分线
知识点：线段垂直平分线的性质定理及逆定理.
重
点：线段垂直平分线的性质定理及逆定理的运用.
难
点：线段垂直平分线的性质定理、逆定理的灵活应用.
基础巩固
1.
下列命题中正确的命题有(
)
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12
cm，AC=6
cm，则图中等于60°的角共有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2题图
3题图
3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
4．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD
B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
4题图
5题图
6题图
5．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是( )
A.12
?
B.13
?
C.14
D.15
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠CAD的度数是( )
A.20°
B.30°
?
C.45°
?
D.60°
7.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是
.
8.底边AB=a的等腰三角形有
个，符合条件的顶点C在线段AB的
上.
9.如图，直线l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与
的交点.
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段
．
9题图
10题图
11题图
11．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D.若AB＝6，△ABD的周长是15，则AC的长是
．
12.在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10
cm，则BC=
cm.
13．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.
(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；
(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
13题图
14．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.
(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：∠APC＝2∠B；
(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ.
若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
14题图
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
(2)若△ABC的周长是13
cm，AC＝6
cm，求DC的长．
15题图
强化提高
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.
求证：CM=2BM.
16题图
17．如图，在△ABC中，MP、NO分别垂直平分AB、AC.
(1)若BC＝10
cm，试求出△PAO的周长．
(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数．
(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．
17题图
13.5.2
线段垂直平分线答案
1.
A.
解析：只有①是正确的，其余4个都错误，答案为：A.
2.
D.
解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AB=12
cm，AC=6
cm，∴∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，∵BC的垂直平分线交斜边AB于D，∴DB=DC，∴∠DCB=∠B=30°，∴∠ACD=90°-∠DCB=60°，∴∠ADC=180°-∠ACD-∠A
=60°，∴∠ADC=∠ACD=∠A=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，∴∠DCB=∠B=30°，∴∠CDE=∠BDE=60°，
∴则图中等于60°的角共有5个，答案为：D.
3.
B.
解析：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，故选：B．
4．C.
5.
B.
解析：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长为BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝13.
6.
B.
解析：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠DAB＝30°.
7.
PQ是线段AB的垂直平分线.
8.
无数，垂直平分线.
9.
AB的垂直平分线.
10．BE＝EA或BD＝AD或CD＝DE或BC＝BE或BC＝AE等
11.
9.
12.
4.
13．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线．
(2)解：∵DF是线段AB的垂直平分线．
∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－46°)＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，
∠F＝90°－∠ABC＝23°.
14．(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B.
(2)解：根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA.
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，
∴∠BAQ＝∠BQA＝2∠B.
∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.
15．解：
(1)∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝40°，
∴∠ABE＝∠AEB＝×(180°－40°)＝70°，
∴∠C＝∠AEB＝35°.
(2)∵△ABC的周长是13
cm，AC＝6
cm，
∴AB＋BE＋EC＝7
cm，即2DE＋2EC＝7
cm，
∴DE＋EC＝DC＝3.5
cm.
16.证明：连结AM，∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，∴MN垂直平分AB，
∴MB=MA，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠MAC=90°，∴AM=CM，∴CM=2BM.
16题图
17．解：
(1)∵MP、NO分别垂直平分AB、AC，
∴AP＝BP，AO＝CO，
∴△PAO的周长＝AP＋PO＋AO＝BP＋PO＋OC＝BC＝10
cm.
(2)∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠B＝∠C＝(180°－110°)＝35°.
∵MP、NO分别垂直平分AB、AC，
∴AP＝BP，AO＝CO，
∴∠BAP＝∠B＝35°，∠CAO＝∠C＝35°，
∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110°－35°－35°＝40°.
(3)能．理由如下：
∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.
∵MP、NO分别垂直平分AB、AC，
∴AP＝BP，AO＝CO，
∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C，
∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.13.5.3
角平分线
知识点：角平分线的性质定理及其逆定理.
重
点：角平分线的性质定理及其逆定理的运用.
难
点：角平分线的性质定理、逆定理的灵活应用.
基础巩固
1.
如图，已知：AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，不能推出AB=AB′，那么该条件可以是(
)
A.BB′⊥AC
B.BC=B′C
C.∠ACB=∠ACB′
D.∠ABC=∠AB′C
2.
如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1题图
2题图
3题图
3.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44°
B．40°
C．39°
D．38°
4．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(
)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上都不对
4题图
5题图
6题图
5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(
)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
6．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是(
)
A．35°
B．145°
C．55°
D．125°
7．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是(
)
A．点O一定在△ABC的内部
B．∠C的平分线一定经过点O
C．点O到△ABC的三边距离一定相等
D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等
8.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若DC=7，则D到AB的距离是
.
9．如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝6
cm，当PE＝
cm时，点P在∠AOB的平分线上．
9题图
10题图
11题图
10．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝
°.
11．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
处．
12．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
12题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
13题图
14．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.
14题图
15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF.
15题图
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F.
求证：DE＝BF.
16题图
17．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N.
求证：∠OAB＝∠OBA.
17题图
强化提高
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得
S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(
)
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
18题图
19题图
19.如图，AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC.
求证：(1)
MN平分∠AMB，
(2)
∠A=∠CBM.
20．如图，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得BQ＝BP.
(1)如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：∠BQA＋∠BPA＝180°；
(2)如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)在满足(1)的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．
图1
图2
备用图
13.5.3
角平分线答案
1.
B.
2.D.
3.C.
解析：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=×78°=39°，
∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．
4.
C.
5.
A.
6.
D.
7.
D.
8.
7.
9.
6.
10.
100.
11.
4.
解析：分别在三个角的平分线的交点上，在三角形内部一个，外部三个，共四个.
12.
证明：在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS)，
∴DF＝DE，∴AD平分∠BAC.
13.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
14.
解：过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
则∠BED＝∠CFD＝90°，
又∠1＝∠2，BD＝CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(AAS)，
∴DE＝DF，从而可证AD平分∠BAC.
15.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB(S.A.S.)，
∴BD＝DF.
16．证明：如图，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.
∵DE⊥AC，∠ABC＝90°，
∴DE＝BD，∠3＝∠4.
∵BF∥DE，∴∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，∴DE＝BF.
16题图
17．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM＝BM.
在Rt△AOM和Rt△BOM中，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM(H.L.)，
∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
18.
D.
19.
证明：(1)∵BM平分∠ABC，
∴∠CBM=∠NBM.
在△BCM和△BNM中，
∵BN=BC，∠CBM=∠NBM，BM=BM，
∴△CBM≌△NBM.∴∠BCM=∠BNM=90°.
又∵N为AB中点，∴BM=AM.
∴MN平分∠AMB.
(2)由(1)得：∠A=∠ABM，∠ABM=∠MBC.
∴∠A=∠CBM.
20．(1)证明：如图1，作BD⊥AE于点D.
图1
∵AB是∠EAF的平分线，BC⊥AF，BD⊥AE，
∴BD＝BC.
在Rt△DBQ和Rt△CBP中，
∴Rt△DBQ≌Rt△CBP(H.L.)，
∴∠BQA＝∠BPC.
∵∠BPC＋∠BPA＝180°，
∴∠BQA＋∠BPA＝180°.
(2)解：AQ－AP＝2AC.
理由如下：如图2，作BM⊥AE，垂足为点M，
图2
∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°.
在△ABM和△ABC中，
∴△ABM≌△ABC(A.A.S.)，
∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC.
在Rt△MBQ和Rt△CBP中，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBP(H.L.)，
∴QM＝PC，
∴AQ－AP＝(AM＋QM)－(PC－AC)＝2AC.
(3)AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC.
如图3.
图3
