(共22张PPT)
25.5
相似三角形的性质
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
新课引入
小明的妈妈过生日，小明提前预定了一个12寸的蛋糕.生日当天，小明去蛋糕店取蛋糕.（友情提示：12寸是蛋糕的直径哦）
新课引入
店员
顾客，对不起，是我们的失误，把您订的12寸的蛋糕做成了6寸.现在有两个方案，一是我们重新给您做12寸的，您需要稍等一下；二是我们给您两个6寸的蛋糕，不需要等，蛋糕的厚度都是一样的.
新课引入
那就给我两个6寸的吧，反正大小都一样，我还要赶时间呢.
小明
小明这样做，能拿到和原来一样大的蛋糕吗？谈谈你的看法.
新课引入
2个6寸的蛋糕面积=1个12寸蛋糕的面积吗？
当圆的半径扩大为2倍时，面积会扩大为4倍.那么当一个三角形的各边长扩大为原来的2倍时，面积会发生怎样的变化呢？
∴小明拿到的蛋糕比原来的小.
新课引入
问题：边长分别为3,4,5和6,8,10的两个直角三角形是相似的，相似比是1：2，计算它们的面积比.说说你的发现.
两个三角形的面积分别为6和24，面积比是1:4.发现面积之比是相似比的平方.
任意的两个相似三角形是否都符合这个规律呢？我们来探究一下吧......
10
8
6
5
4
3
新课学习
探究一：相似三角形的面积之比与相似比的关系
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
已知：△ABC∽△A'B'C',相似比为k.
问题1：三角形的面积与什么相关？
底和高
问题2：引发你什么样的思路？
做高，求面积
新课学习
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
解：分别做△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'
∵△ABC∽△A'B'C'
结论：相似三角形的面积之比等于相似比的平方
（相似三角形对应高的比等于相似比）
新课学习
探究二：相似三角形的周长之比与相似比的关系
A
B
C
A'
B'
C'
已知：△ABC∽△A'B'C',相似比为k.
∵△ABC∽△A'B'C'
等比性质
结论：相似三角形的周长之比等于相似比
新课学习
相似三角形的性质
2.相似三角形的面积之比等于相似比的平方
1.相似三角形的周长之比等于相似比
如：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:5，则周长比为____;面积比为______.
3:5
9:25
典例精析
例1.已知:如图，△ABC中，DE∥BC.AD:DB=1：2，解决下列问题.
相似比AD:AB=1：3
A
B
C
D
E
基础练习
相似比为1:3
周长比为1:3
A
B
C
D
E
6
基础练习
相似比为1:3
面积比为1:9
A
B
C
D
E
8
基础练习
高相等的两个三角形的面积之比等于底边之比
注意：△ADE与△BDE的特点是：不相似，高相等
A
B
C
D
E
典例精析
例2.已知:如图，在平行四边形ABCD中，BE:CE=2：3.
F
E
D
C
B
A
（1）若△BEF的面积是5，求△ADF的面积.
2k
3k
5k
分析：△BEF与△ADF构成8型相似，只需求出相似比，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到解决.
典例精析
F
E
D
C
B
A
（1）解：设BE=2k,CE=3k
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=5k
△BEF∽△DAF
2k
3k
5k
典例精析
例2.已知:如图，在平行四边形ABCD中，BE:CE=2：3.
F
E
D
C
B
A
2k
3k
5k
分析：△BEF与△ABE的高相等，则面积比=底边之比=EF:AE=2:7.
巩固练习
1.如图，已知以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AE=4，AC=6，∠AED=∠B.求△ABC的周长.
A
B
C
E
D
解：∵∠AED=∠B,∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∵△ADE的周长=3+2.5+4=9.5
∴△ABC的周长=19
巩固练习
2.如图，在△ABC与△CAD中,AD∥BC,且AE:EB=1:2;EF∥BC,△ADE的面积=1.
F
E
D
C
B
A
巩固练习
3.如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB=
,则此三角形移动的距离AA'=_____.
C'
C
B'
B
A'
A
回顾小结
1.对应角相等
2.对应边成比例
3.对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比
相似三角形的性质
4.周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
同学们再见(共20张PPT)
25.5
相似三角形的性质
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
新课引入
D'
C'
B'
A'
小明买了一个按1:100的比例缩小的宫殿模型,宫殿的屋顶形成如图所示的三角形.其中△ABC是模型的屋顶，△A'B'C'是宫殿的屋顶.小明认为△ABC与△A'B'C'是相似的，测得BC边上的高为2cm，就推测宫殿的屋顶的高为2米.你同意小明的说法吗？
A
D
C
B
新课引入
AD、A'D'是一对相似三角形对应边上的高，小明的观点是将AD与A'D'的也按相似比1:100计算.这就引发我们一个思考：相似三角形对应边上的高是否一定等于相似比？下面我们就一起探究一下吧......
新课学习
探究一：相似三角形的对应高的比等于相似比.
已知：如图，△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AD、A'D'分别是边BC和B'C'上高.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
思考：1.已知中相似的作用是什么？
2.表示k的比例式是什么？
3.怎样才能得到比例式？
得出相等的角或比例式
利用相似
新课学习
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'
∵AD,A'D'为高
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°
∴△ABD∽△A'B'D'
△ABD和△A'B'D'
4.想得到比例式
，需证明哪两个三角形相似？
结论：相似三角形的对应高的比等于相似比
新课学习
探究二：三角形中有3条重要的线段：高、中线、角平分线，类似的，相似三角形的对应中线的比、对应角平分线的比也等于相似比吗？试着证明.
A
B
C
E
A'
B'
C'
E'
已知：如图，△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AE、A'E'分别是边BC和B'C'上的中线.
中线与边有关还是与角有关？提示我们用哪个判定方法证明相似？
新课学习
A
B
C
E
A'
B'
C'
E'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'
∵AE、A'E'分别为△ABC和△A'B'C'的中线
又∠B=∠B'
∴△ABE∽△A'B'E'
结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比
新课学习
A
B
C
F
A'
B'
C'
F'
已知：如图，△ABC∽△A'B'C',相似比为k.AF、A'F'分别△ABC和△A'B'C'的角平分线.
角平分线与边有关还是与角有关？提示我们用哪个判定方法证明相似？
角平分线与角有关，提示我们用角的条件判定相似
新课学习
A
B
C
F
A'
B'
C'
F'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'
∵AF,A'F'是角平分线
∴∠BAF=∠B'A'F'
又∠B=∠B'
∴△ABF∽△A'B'F'
结论：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比
新课学习
一、相似三角形的性质
相似三角形的对应高的比
相似三角形的对应中线的比
相似三角形的对应角平分线的比
等于相似比
基础小练
1.(课本85页练习）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3.
（1）若AD、A'D'分别为两个三角形的对应高，AD=9cm,则A'D'=____.
（2）若AE、A'E'分别为两个三角形的对应中线，A'E'=10cm,则A'D'=____.
（3）若AF、A'F'分别为两个三角形的对应角平分线，
你填反了吗？
基础小练
2.如图，某校宣传栏后面2m处种了一排树，每隔2m一棵，共种了6棵，小明站在距宣传栏中间位置的垂直距离3m处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，则宣传栏的长为_______.
2m
3m
6m
典例精析
例1.（课本84页）如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G，
,AD=15.求AG的长.
①
②
③
④
①
三角形的高出现
②
相似三角形
③
相似比
④
A
B
C
E
F
D
G
△ABC的高
所求AG
△AEF的高
解题思路：相似三角形对应高的比等于相似比.
典例精析
A
B
C
E
F
D
G
解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴AD⊥BC
∴AG⊥EF
解得，AG=9
（相似三角形对应高的比等于相似比）
典例精析
例1.（拓展）如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
A
B
C
N
M
Q
P
D
分析：
1.从图形中提取与例1相同的图形
2.思路：相似三角形对应高的比等于相似比.
典例精析
A
B
C
N
M
Q
P
D
E
解:设PQ与AD交于点E
∵四边形PQMN是正方形
∴PQ∥BC
∴△APQ∽△ABC
设正方形的边长为x,则PQ=x,AE=8-x
解得，x=4.8
∴这个正方形零件的边长是4.8cm.
(相似三角形对应高的比等于相似比）
典例精析
例2.如图，在平行四边形ABCD中，AD=10，CD=6，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD,BM平分∠EBC,交CE于点M，CN平分∠ECD，交ED于点N.
A
D
C
B
E
N
M
△EBC∽△ECD
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
课堂小测
如图，在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC,若AD=3，AB=5，求AF:AG.
（独立思考，写出规范步骤）
A
B
C
D
E
F
G
解：∵∠EAF=∠GAC,∠AFE=∠AGC=90°
∴△AFE∽△AGC
∴∠AED=∠C又∠EAD=∠CAB
∴△AED∽△ACB
（相似三角形对应高的比等于相似比）
回顾小结
1.对应角相等
2.对应边成比例
3.对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比
相似三角形的性质
相等的角、求角的度数
证比例式（等积式）
求线段长
同学们再见
