人教A版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 793.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-10 10:51:52 | ||
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文档简介
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题
一、单选题
1．下列结论中正确的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则//．
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行．
C．若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直．
D．四边形确定一个平面．
2．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面直线
D．相交成60°角
3．已知在底面为菱形的直四棱柱中，
，若，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
4．矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
6．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(
)
A．
B．
C．
D．
7．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
8．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）
A．若则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
12．如图1，直线将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和平面不重合），下面说法正确的是
图1
图2
A．存在某一位置，使得平面
B．存在某一位置，使得平面
C．在翻折的过程中，平面恒成立
D．在翻折的过程中，平面恒成立
二、填空题
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则________.
14．已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．
15．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线DP与平面ABC的位置关系是________．
16．在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,
,
,
若、、别是棱、、的中点,则下列四个命题:
；
②三棱锥的外接球的表面积为；
③三棱锥的体积为；
④直线与平面所成角为
其中正确的命题有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)
三、解答题
17．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
19．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
20．如图,四边形为矩形,且平面,
,为的中点.
（1）求证:；
（2）求三棱锥的体积；
（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.
21．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，且，求三棱锥的体积.
22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．A
5．D
6．B
7．C
8．C
9．A
10．B11．D
12．C
13．1
14．
15．平行
16．①②③
17．
证明：（1）连接.
∵分别是和的中点，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴与确定一个平面，
∴四点共面．
（2）由（1）知，，且，
∴直线与必相交，设.
∵平面，，
∴平面.
又平面，，
∴平面，即是平面与平面的公共点，
又平面平面，
∴，
∴三线共点．
18．解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.
理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM
平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH==
，
所以sinAPH=
=.
19．
证明：（1）设与的交点为，连结，
∵四边形为平行四边形，∴为中点，
又是的中点，∴是三角形的中位线，则，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵为线段的中点，点是的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
又平面，，且平面，平面，
∴平面平面．
20．
(1)连结,∵为的中点,,
∴为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,∴,
又,且,
∴,
又∵,∴,又,∴.
(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,
∴,而是三棱锥的高,
∴.
(3)在上存在中点,使得.理由如下:
取的中点,连结.
∵是的中点,
∴,且,
又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,
所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,
又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.
21．
（1）证明：连接，由平面，平面得，
又，，
∴平面，得，
又，，
∴平面.
（2）解：由为的中点得
.
22．
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
一、单选题
1．下列结论中正确的是
A．若直线上有无数个点不在平面内，则//．
B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都平行．
C．若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线都垂直．
D．四边形确定一个平面．
2．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面直线
D．相交成60°角
3．已知在底面为菱形的直四棱柱中，
，若，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
4．矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
6．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(
)
A．
B．
C．
D．
7．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
8．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）
A．若则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
12．如图1，直线将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和平面不重合），下面说法正确的是
图1
图2
A．存在某一位置，使得平面
B．存在某一位置，使得平面
C．在翻折的过程中，平面恒成立
D．在翻折的过程中，平面恒成立
二、填空题
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则________.
14．已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．
15．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线DP与平面ABC的位置关系是________．
16．在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,
,
,
若、、别是棱、、的中点,则下列四个命题:
；
②三棱锥的外接球的表面积为；
③三棱锥的体积为；
④直线与平面所成角为
其中正确的命题有__________．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)
三、解答题
17．如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
19．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
20．如图,四边形为矩形,且平面,
,为的中点.
（1）求证:；
（2）求三棱锥的体积；
（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.
21．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，且，求三棱锥的体积.
22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求证：平面.
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．A
5．D
6．B
7．C
8．C
9．A
10．B11．D
12．C
13．1
14．
15．平行
16．①②③
17．
证明：（1）连接.
∵分别是和的中点，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴与确定一个平面，
∴四点共面．
（2）由（1）知，，且，
∴直线与必相交，设.
∵平面，，
∴平面.
又平面，，
∴平面，即是平面与平面的公共点，
又平面平面，
∴，
∴三线共点．
18．解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.
理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM
平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH==
，
所以sinAPH=
=.
19．
证明：（1）设与的交点为，连结，
∵四边形为平行四边形，∴为中点，
又是的中点，∴是三角形的中位线，则，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵为线段的中点，点是的中点，
∴且，则四边形为平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
又平面，，且平面，平面，
∴平面平面．
20．
(1)连结,∵为的中点,,
∴为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,∴,
又,且,
∴,
又∵,∴,又,∴.
(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,
∴,而是三棱锥的高,
∴.
(3)在上存在中点,使得.理由如下:
取的中点,连结.
∵是的中点,
∴,且,
又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,
所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,
又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.
21．
（1）证明：连接，由平面，平面得，
又，，
∴平面，得，
又，，
∴平面.
（2）解：由为的中点得
.
22．
（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.
∵底面为矩形，∴，∴；
（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴.
又，，、平面，平面，
∵平面，∴平面平面；
（Ⅲ）如图，取中点，连接.
∵分别为和的中点，∴，且.
∵四边形为矩形，且为的中点，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.