高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章《5.2.2同角三角函数的基本关系》 教 案(word)

《5.2.2 同角三角函数的基本关系》教学设计
教学目标
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1， = tan x，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．
教学重难点
教学重点：同角三角函数的基本关系式．
教学难点：对三角函数内在联系性的认识．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）新知探究
问题1：诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
预设的师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”．然后让学生自主探究，得出“同角三角函数的基本关系”．
预设答案：sin2α+cos2α=1 ； = tan ．
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．
设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．
问题2：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？
预设的师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结．
预设答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”．
设计意图：引导学生归纳三角函数性质的表现方式，培养学生的“数学的眼光”．结合圆的对称性，容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（如关于直线y=x对称）”的角的三角函数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二～五．这是三角函数“与众不同”的性质．
例1 已知sin α=false，求cos α，tan α的值．
预设的师生活动：可以由学生独立完成，并作课堂展示．
预设答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α+cos2α=1得cos2α=1－sin2α=1－false=false；
如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=false，
从而tan α = = false；
如果α是第四象限角，那么cos α＞0．于是cos α=false，
从而tan α = = false．
追问：你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？
预设答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，确定各三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求解．
设计意图：本题属于用同角三角函数基本关系求值的基本问题类型，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．
例2 求证： = ．
预设的师生活动：由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．
预设答案：证法一：由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1+sin x≠0，于是
左边=false=右边．
所以，原式成立．
证法二：因为(1－sin x)(1+sin x)=1－sin2x=cos2x=cos xcos x，
且1－sin x≠0，cos x≠0，所以 = ．
设计意图：例2实际上是sin2x+cos2x=1的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导．本题可以提高学生对三角函数基本性质的理解水平．
（二）课堂练习
教科书第184页练习第1，2，3，4，5题．
师生活动：上述题目都比较简单，学生解答完成后，公布答案自我检查即可．
设计意图：检验学生对定义的理解情况，通过应用三角函数的基本性质解决一些简单问题，进一步理解这些性质．
（三）归纳小结
教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络，能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？
（2）任意角三角函数的现实背景是什么？
（3）叙述任意角三角函数的定义过程，说明任意角三角函数与锐角三角函数区别与联系．
（4）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或有益经验？
预设的师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
★资源名称：【知识点解析】小结——同角三角函数的基本关系
预设答案：
（1）基本脉络是“现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质”；
（2）一些周期现象；
（3）定义过程包括背景的简化、本质化，借助单位圆进行对应关系的分析，确认弧度制下角的集合R到区间[－1，1]（角的终边与单位圆交点的横、纵坐标的取值范围）的对应关系是函数关系，引进符号sin α，cos α表示函数值，进而引进函数tan α，完善函数的定义域等等．任意角三角函数与锐角三角函数的区别是：锐角三角函数是用直角三角形边长的比来刻画的，它的引入与“解三角形”有直接关系；而任意角的三角函数是通过角的终边与单位圆的交点坐标或坐标比来定义的，它主要是用来刻画周期变化现象的．它们的联系是：当x∈false时，对应的函数值相等．
（4）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个定义，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．此过程可以培养我们的数学基本思想，积累基本活动经验，提高发现和提出问题的能力．
设计意图：（1）通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本套路．（2）明确三角函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他基本初等函数的主要特征，为三角函数的应用奠定基础．（3）强调任意角三角函数与锐角三角函数的区别，主要是它们的研究背景（要解决的现实问题）不同，是两类完全不同的函数；建立它们的联系，可以把锐角三角函数纳入到任意角三角函数的系统中（对角的取值范围作出限制即可），从而形成清晰的、可辨别的三角函数认知结构，有利于三角函数的应用．（4）对“如何发现性质”的反思，可以培养数学基本思想，积累基本活动经验，发展发现和提出问题的能力，这是落实数学学科核心素养的重要环节．要关注如下几点：
①从定义出发；
②发挥单位圆的作用，从中体会“三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示”的观点；
③三角函数与其他基本初等函数的最大不同点是它的周期性，由此并结合定义可以得到诱导公式一；三角函数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见它们一定有内在联系，而且可以相互转化，这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯，其中蕴含的思想具有可迁移性，有利于提升核心素养．
（四）布置作业
教科书习题5.2第6，11，12，13，14，15，16，17，18题．
（五）目标检测设计
1．已知tan α=false，π＜α＜falseπ，求cos α－sin α的值．
预设答案：由已知可知sin α=false，cos α=false，因此cos α－sin α=false．
设计意图：考查同角三角函数的基本关系．
2．求证：tan2α－sin2α= tan2αsin2α．
预设答案：tan2αsin2α= tan2α(1－cos2α)= tan2α－tan2αcos2α=tan2α－sin2α．
设计意图：考查同角三角函数的基本关系，代数变形能力．