高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章5.1.1任意角 教案（Word版）

《任意角》
在已有的锐角三角函数知识的基础上，将角推广到任意角，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并利用集合与对应的语言来刻画角是很有必要的，任意角的概念也显得非常重要．
1．从体育运动入手，将角推广到任意角．
2．在平面直角坐标系下研究任意角，并引导学生更好的认识象限角、终边相同的角等概念．
教学重点：从实际问题入手，将角推广到任意角，并建立在直角坐标系中研究任意角的数学思维．
教学难点：终边相同的角的表示及象限角的概念．

1．教学问题
（1）如何从以有的角的概念，引起思维冲突，从而引出任意角的推广是第一个教学问题．产生这个问题的原因是学生对于角的概念还处于初中时期的三角形内部，锐角、直角、钝角是学生们熟知的角．所以我们采取体育运动中的专业术语或者旋转表针来入手解决这个问题．
（2）如何将角放入直角坐标系中是我们的第二个数学问题．由于初中学过的角是静态角，所以由静态的角过度到动态的角是学生难以想象的．所以我们将角按着某种提前选定的方式放入直角坐标系，固定其顶点和始边，旋转终边，这样就就能刻画出任意角．
（3）终边相同的角该如何去表示他们之间的关系是我们的第三个问题．旋转角的终边的过程中，我们观察可以得知，尽管角的终边所在位置相同，但是所表示的角显然是不同的，但是该如何刻画他们的不同，如何找到他们之间的关系呢？我们利用旋转过程中的周期性完美的解决了终边相同的角之间的关系问题．
2．支持条件
在直角坐标系中研究任意角的概念，研究终边相同的角的表示，由旋转的终边所处位置及其旋转过程可以直观观察得到，为了解决这一难题，我们可以借助于几何画板来演示，让学生深刻体会到数学结合思想的重要性．
【问题1】你遇到过超过的角吗？
【设计意图】
让学生体会到已有的角的概念已经不足以解释上述的问题，引起思维认知冲突，为下面角的概念的推广做出铺垫和准备，说明角的概念推广的必要性．这个问题主要针对于向无穷推广．
【师生活动】
体操中有“旋转”（即使“旋转两周”）、 “旋转”（即使“旋转三周”）样的动作名称．

【问题2】 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
【设计意图】
在上一个问题的基础上，这个问题主要针对于向负数推广．
【师生活动】
学生表达想法，教师画图或拿出时钟做教具，在拨动得的过程中，分别按照顺时针或逆时针调整，学生观察发现角已经超出了原有的，引出本节课的教学重点之一：任意角概念．

【问题3】我们应该如何刻画这些不在的角？
【设计意图】
学生尝试探索，体会由正负表示方向这一重要的数学策略．通过设计辨析问题，比较推广之后的角的范围与原来的范围差异．
【师生活动】
1．教师引导学生认识到要刻画这些角，不仅要用旋转量，还要用到旋转方向．
2．引导学生按照旋转方向的不同，给出正角、负角、零角的概念．
为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
这样我们就把角的概念推广到了任意角．
3．概念辨析．
例1．回答下列问题．
（1）锐角是第几象限的角？
（2）第一象限的角是否都是锐角？
（3）小于90°的角都是锐角吗？
答：（1）锐角是第一象限的角；
（2）第一象限的角并不都是锐角，例如．
（3）小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角．

【问题4】我们可以把角放到直角坐标系中研究吗？这样的研究有什么好处？
【设计意图】
利用概念重新认识问题，在直角坐标系中研究任意角的问题，直观形象，也体现了数形结合的思想．
【师生活动】
1．教师：我们可以把角放入直角坐标系中研究吗？
2．学生分组讨论：可以选择各种不同的方式将角放入直角坐标系中．
3．教师引导学生选择最适合的方式：将角的始边与轴非负半轴重合，角的顶点与坐标原点重合．
4．如果将定义改为“将角的始边与轴正半轴重合”可以吗？
5．教师：角的终边在第几象限，我们就可以称为是第几象限角．

【问题5】终边落在某个位置的角是唯一确定的吗？
【设计意图】
从对应的观点指出终边相同角的不唯一性，进而得到一般的结论，锻炼学生数形结合和发现问题、归纳总结的能力．
【师生活动】
（1）以为例，各小组学生进行操作，旋转角的终边．
（2）归纳总结出终边相同的角有无限多个．
（3）教师：终边相同的的角一定相等吗？你能找到他们的规律吗？
（4）学生：终边相同的角之间相差的整数倍．
（5）教师引导学生归纳总结：对于任意一个角，与它终边相同的角的集合应如何表示？
学生：，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．

【问题6】下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
例2． 在0?到360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角．
（1） －120?；（2） 640?；（3） －950?12′．
【设计意图】
巩固终边相同的角和象限角概念．
【师生活动】
解：⑴∵－120?=240?－360?，
∴240?的角与－120?的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵ ∵640?=280?+360?，
∴280?的角与640?的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶ ∵－950?12'=129?48'－3×360?，
∴129?48'的角与－950?12'的角终边相同，
它是第三象限角．

例3 写出终边落在y轴上的角的集合
【设计意图】
本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式． 体现出由形到数及从数到形的数形结合思想方法．
【师生活动】
解：在0°～360°范围内， 终边在ｙ轴上的角有两个：90°，270°
与90°角终边相同的角构成的集合
S1={β| β=900+K·3600，K∈Z}
与270°角终边相同的角构成的集合
S2={β| β=2700+K·3600，K∈Z}
={β| β=900+1800+2K·1800，K∈Z}
所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2={β| β =900+2K·1800 ·K∈Z}
∪{β| β=900+（2K+1）·1800 ，K∈Z}
={β| β=900+n·1800 ，n∈Z}

例4 写出终边在直线y=x上的角的集合s，并把s中适合不等式
-360°≤ β＜720°的元素β写出来．
【设计意图】
本例是让学生表示终边在已知直线上的角，并找出某一范围内的所有的角，即按一定顺序取的值，应训练学生掌握这一方法．
【师生活动】
解：终边在直线上的角的集合
．
S中适合的元素是：
，，，
，，
习题检测
1．课中检测
通过4个例题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．
2．课后检测
请完成课后练习，检测学习效果．