高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章《5.2.1三角函数的概念（第一课时）》 教 案（Word）

《5.2.1 三角函数的概念（第一课时）》
教学设计
教学目标
1．了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；
2．经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．
教学重难点
教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义．
教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sin，cos和tan的认识．
课前准备
PPT课件
教学过程
（一）创设情境
图1
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．又根据弧度制的定义，角α的大小与⊙O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动．现在的任务是：
如图1，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？
预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论．
预设答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向．
（二）新知探究
图2
引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．
问题2：当α=false时，点P的坐标是什么？当α=false或false时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
预设的师生活动：在学生求出α=false时点P的坐标后追问以下问题．
追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？
（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？
（3）如何利用上述经验求α=false时点P的坐标？
（4）利用信息技术，任意画一个角α，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？
预设答案：（1）直角三角形的性质；
（2）画出false的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在Rt△OMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是false；
（3）可以发现，∠MOP=false，而点P在第二象限，可得点P的坐标是false；
（4）对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．这里有两个对应关系：
f：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y，
g：实数（弧度）对应于点P的横坐标x．
根据上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是从集合R到集合[－1，1]的函数．
设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备．
问题3：请同学们先阅读教科书第178～179页，再回答如下问题：
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号sin ，cos 和tan 分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当≠false＋kπ时，tan 的值是唯一确定的？
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x∈R|x≠false＋kπ，k∈Z }？
预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．
预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sin →点P的纵坐标y；
余弦函数的对应关系：cos →点P的横坐标x；
正弦函数的对应关系：tan →false
（2）分别表示y，x，；引入符号logab表示ax=b中的x．
（3）当≠false＋kπ时，如果α确定，那么的终边确定，终边与单位圆的交点P确定，P 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，因此false的值也是唯一确定的，所以tan 的值也是唯一确定的．
（4）当＝false＋kπ时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以false＝tan 无意义．除此之外，对于任意角，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的．
设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号logab表示ax=b中的x），理解三角函数符号的意义．
问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x∈false，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1．y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论．
预设答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，可得出y1=z1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论．
设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性．
例1 利用三角函数的定义求false的正弦、余弦和正切值．
预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案．
预设答案：在直角坐标系中，作∠AOB=false（图3）．
图3
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为false．
所以，sinfalse，cosfalse，tanfalse．
设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵．
练习：在例1之后进行课堂练习：
（1）利用三角函数定义，求π，false的三个三角函数值．
（2）说出几个使cos α＝1的α的值．
预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”．
预设答案：（1）sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0；sinfalse＝－1，cosfalse＝0，tanfalse不存在．
（2）α＝0，2π，－2π等．
设计意图：检验学生对定义的理解情况．
例2 如图4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r．求证：sin α=false，cos α=false，tan α=false．
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：
（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sin α，cos α吗？
（2）在你所作出的图形中，false，false，false各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三角函数的关系吗？
图4
图5
预设答案：如图5，设角α的终边与单位圆交于点P0 (x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则
|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．
于是false，即|y0|=false．因为y0与y同号，所以y0=false，
即sin α=false．同理可得cos α=false；tan α=false．
设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△OM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明．
追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的．你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
预设的师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义．
预设答案：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则false、false、false分别叫做角α的正弦、余弦、正切．
设计意图：加深学生对三角函数定义的理解．
练习：在例2之后进行课堂练习：
（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2 s时点P所在的位置．
预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业．
预设答案：以坐标原点为圆心O，OP所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系．2 s时点P所在位置记为Q．因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s，所以圆心角∠POQ＝－2 rad．所以2 s时，点P在该坐标系中的位置为（2cos 2，－2sin 2）．
设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义．
（三）布置作业
（四）目标检测设计
（1）利用三角函数定义，求false的三个三角函数值．
（2）已知角θ的终边过点P(－12，5)，求角θ的三角函数值．
预设答案：（1）sinfalse＝－false，cosfalse＝－false，tanfalse＝false；
（2）sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－．
设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况．