3.6.1 二次函数的应用（含答案）
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第三章 二次函数
3.6 二次函数的应用
第1课时
知识梳理
知识点1 利用二次函数解决最大利润问题
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。
设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元，那么涨价后:
（1）每件商品的售价可以表示为___________________
（2）每件商品的利润可以表示为___________________
（3）销量可以表示为_____________________________
（4）每个月的销售利润为y＝______________________
（5）x的取值范围为______________________________
（6）当x＝_______元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是__________元。
知识点2 利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤
（1）引入____________（如销售单价）；
（2）用含__________的代数式表示出销售量、单件盈利、销售额、总利润等相关的量；
（3）根据实际问题中变量之间的关系列出________________；
（4）利用表达式（或图象）解决有关实际问题。
考点突破
考点 利用二次函数解决最大利润问题
典例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路导析: 每箱苹果的利润＝每箱苹果售价一每箱苹果进价.每天的销售利润＝每箱的利润×每天销售的数量.
解:（1）平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝90－3（x－50），
化简得y＝－3x＋240；
（2）平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为
w＝（x－40）（－3x＋240），即w＝－3x2＋360x－9600；
（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下.
当x＝－＝60时，w有最大值.
又∵x≤55，当x＜60时，w随x的增大而增大，∴当x＝55时，w有最大值，最大值为1125元.
答:当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。
友情提示 求利润最大值的基本步骤
（1）用含有自变量的代数式分别表示销售单价及销售量。
（2）用含有自变量的代数式表示销售商品的单件盈利。
（3）利用“总利润单件盈利×销售量”求出函数关系式，并注意自变量的取值范围。
（4）根据函数关系式求出最大值及取得最大值时相应的自变量的值。
变式1 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件。
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
（3）若规定降价钱数不低于5元，销售的最大利润是多少？
典例2 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销售量T（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系式:T＝－3x＋207（45≤x≤69）.
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？
思路导析:（1）根据“利润＝（售价－成本）×销售量”列出函数关系式即可；
（2）根据（1）所求得的函数关系式，利用配方法求出二次函数的最值即可得出答案。
解:（1）由题意得:
y＝（－3x＋207）（x－45）＝－3x2＋342x－9315（45≤x≤69）；
（2）y＝－3x2＋342x－9315＝－3（x2－114x＋3105）＝－3（x－57）2＋432（45≤x≤69）.
∵a＝－3＜0，∴y有最大值，当x＝57时，y最大值＝432.
因此，商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为57元最为合适，此时，每天的最大销售利润是432元
变式2 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元，根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒。
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定，这种粽子的每盒售价不得高于58元，如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
巩固提高
1.服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
2.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
3.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）。
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定为多少元时宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人、问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
4.夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每天成本就增加20元。
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？
5.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示:
每个商品的售价x（元） … 30 40 50 …
每天的销售量y（个）
100 80 60 …
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
体验中考
1.（2019·丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元销售一段时间后发现:当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件。
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
2.（2019·盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示.每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示。
月份x … 3 4 5 6 …
售价y1/元 … 12 14 16 18 …
（1）求y1与x之间的函数关系式；
（2）求y2与x之间的函数关系式；
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
3.（2019·营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间t天之间的函数关系式为y＝2t＋100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
时间第t天 1 2 3 … 80
销售单价p/（元/kg） 49.5 49 48.5 … 10
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式；
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
4.（2019·铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.物价部门规定:销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润.
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）50＋x （2）50＋x－40 （3）210－10x（ 4）（50＋x－40）（210－10x）（5）0≤x≤15 （6）5.5 2402.5
知识点2:（1）自变量 （2）自变量 （3）二次函数表达式
考点突破
1.解:（1）由题意得，y＝（13.5－x－2.5）（500＋100x）.
整理得， y＝100 （－x2＋6x＋55） （0≤x≤11）；
（2）由（1）可知，当x＝3时y取最大值，最大值是6400.
答；销售单价为10.5元时利润最大，为6400元；
（3）6000元.
2.解: （1）由题意得， y＝700－20（x－45）＝－20x＋1 600；
（2）P＝（x－40）（－20x＋1 600）＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20（x－60）2 ＋8 000，
∵x≥45，а＝－20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8 000元，
答:当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意得，－20 （x－60）2＋8 000＝6000，解得x1＝50 ，x2＝70.
∵抛物线P＝－20 （x－60）2 ＋8 000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润.
又∵x≤58，∴50 ≤x≤58.
∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1 600＝440.
答:超市每天至少销售粽子440盒.
巩固提高
1，解:（1）当10≤x≤50时，
设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
∴， 解得，
∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝－0. 5x＋105，
当x＞50时，y＝80，即y与x的函数关系式为。
（2）由题意得，
w＝（－0. 5.x＋105－65）x＝－0. 5x2＋40x＝－0. 5（x－40）2＋800，
.当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，y＝－0.5×40＋105＝85.
答:批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元.
2.解:（1） y＝ ［100－2（x－60）］（x－40）＝2 250，
解得x1＝65，x2＝85.
∴当每件商品售价65或85元时，每个月利润刚好是2250元；
（2）由题意得，y＝［100－2（x－60）］（x－40） ＝－2x2＋300－8800＝－2（x－75）2＋2 450，当x＝75时，y有最大值为2450元.
3，解:（1）由题意得，y＝50－x（0≤x≤50，且x为整数）；
（2）W＝（120＋10x－20）（50－x）＝－10x2＋400x＋5 000＝－10（x－20）2＋9 000，
∵a＝－10＜0，∴当x＝20时， W取得最大值， W最大值＝9 000.
答:当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
（3）由题意得，，解得20≤x≤40.
∵房间数y＝50－x，∴当x＝40时，y的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y＝2（－x＋50）＝20（人）.
答:这天宾馆入住的游客人数最少有20人.
4，解:（1）由题意得，y与 之间的函数解析式为y＝42＋2（x－1）＝40＋2x（1≤x≤10）；
（2）当1≤x≤5时， W＝（2 920－2000）×（40＋2x）＝1 840x＋36 800.
∵1 840＞0，∴W随x的增大而增大.
∴当x＝5时，W最大值＝1 840×5＋36 800＝46 000；
当5＜x≤10时，
W＝［2 920－2000－20（40＋2x－50）］×（40＋2x）＝－80（x－4）2 ＋46 080，
函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小.
又∵天数x为整数，∴当x＝6时，最大值＝45 760元.
∵46 000＞ 45 760，∴当x＝5时，W最大，且W最大值＝46 000元
综上所述，
W＝.第5天获得利润最大，最大利润是46000元.
5，解:（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
则,解得.即y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋160；
（2）由题意得，
w＝（x－20）（－2x＋160）＝－2x2＋200x－3 200，
即w与x之间的函数表达式为w＝－2x2＋200x－3 200；
（3）∵ w＝－2x2＋200x－3200 ＝－2（x－50）2＋1 800（20≤x≤60），
∴当20≤a≤50时，w随x的增大而增大；当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；
当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1800.
答:当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元.
体验中考
1.解:（1）由题意得，y＝80＋20×，∴函数的关系式为y＝－2x＋200（30≤x≤60）；
（2）由题意得，（x－30）（－2x＋200）－450＝1800，解得x1＝55 ，x2＝75（舍去）.
答，当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元。
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得，
W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2（x－65）2＋2 000.
∵－2＜0，∴当x≤65时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤60，∴当x＝60时，w最大＝－2（60－65）2＋2 000＝1 950.
答，当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元.
2、解:（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx＋b，
将（3，12） （4，14）代入y1得.，解得.
∴y1与x之间的函数关系为y1＝2x＋6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），设y2与x之间的函数关系式为y2＝a（x－3）2＋9.
将（5，10）代入y2得，a（5－3）2＋9＝10，解得a＝,
∴y2与x之间的函数关系式为y2＝.
（3）由题意得，w＝y1－y2＝2x＋6－＝，
∵－＜0∴w有最大值.∴当x＝时，w最大＝.
答:7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元.
3.解:（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为p＝kt＋b，
将（1，49. 5） ， （2，49）代入，得，解得。
∴销售单价p（元/kg）与时间第！天之间的函数关系式为p＝－t＋50；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，w＝（2t＋100）（50－0.5t）－6（2t＋100）＝－t2＋38t＋4400＝－（t－19）2＋4761，
∵a＝－1＜0，∴w有最大值.当t＝19时，w最大，w最大＝4761.
答:第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元。
4.解:（1）由题意得，y＝200－10（x－8）＝－10x＋280，
∴y与x的函数关系式为y＝-10x＋280；
（2）由题意得，（x－6）（－10x＋280）＝720，解得x1＝10，x2＝24（舍去）
答:要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）由题意得，w＝（x－6）（－10x＋280）＝－10（x－17）2＋1210，
∵10＜0，∴当x＜17时，w随x的增大而增大。当x＝12时，w最大＝960。
答:当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元。
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第三章 二次函数
3.6 二次函数的应用
第1课时
知识梳理
知识点1 利用二次函数解决最大利润问题
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。
设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元，那么涨价后:
（1）每件商品的售价可以表示为___________________
（2）每件商品的利润可以表示为___________________
（3）销量可以表示为_____________________________
（4）每个月的销售利润为y＝______________________
（5）x的取值范围为______________________________
（6）当x＝_______元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是__________元。
知识点2 利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤
（1）引入____________（如销售单价）；
（2）用含__________的代数式表示出销售量、单件盈利、销售额、总利润等相关的量；
（3）根据实际问题中变量之间的关系列出________________；
（4）利用表达式（或图象）解决有关实际问题。
考点突破
考点 利用二次函数解决最大利润问题
典例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路导析: 每箱苹果的利润＝每箱苹果售价一每箱苹果进价.每天的销售利润＝每箱的利润×每天销售的数量.
解:（1）平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝90－3（x－50），
化简得y＝－3x＋240；
（2）平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为
w＝（x－40）（－3x＋240），即w＝－3x2＋360x－9600；
（3）∵a＜0，∴抛物线开口向下.
当x＝－＝60时，w有最大值.
又∵x≤55，当x＜60时，w随x的增大而增大，∴当x＝55时，w有最大值，最大值为1125元.
答:当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。
友情提示 求利润最大值的基本步骤
（1）用含有自变量的代数式分别表示销售单价及销售量。
（2）用含有自变量的代数式表示销售商品的单件盈利。
（3）利用“总利润单件盈利×销售量”求出函数关系式，并注意自变量的取值范围。
（4）根据函数关系式求出最大值及取得最大值时相应的自变量的值。
变式1 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件。
（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？
（3）若规定降价钱数不低于5元，销售的最大利润是多少？
典例2 某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销售量T（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系式:T＝－3x＋207（45≤x≤69）.
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？
思路导析:（1）根据“利润＝（售价－成本）×销售量”列出函数关系式即可；
（2）根据（1）所求得的函数关系式，利用配方法求出二次函数的最值即可得出答案。
解:（1）由题意得:
y＝（－3x＋207）（x－45）＝－3x2＋342x－9315（45≤x≤69）；
（2）y＝－3x2＋342x－9315＝－3（x2－114x＋3105）＝－3（x－57）2＋432（45≤x≤69）.
∵a＝－3＜0，∴y有最大值，当x＝57时，y最大值＝432.
因此，商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为57元最为合适，此时，每天的最大销售利润是432元
变式2 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元，根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒。
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定，这种粽子的每盒售价不得高于58元，如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
巩固提高
1.服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
2.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
3.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）。
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定为多少元时宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息:①当日所获利润不低于5000元；②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人、问:这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
4.夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每天成本就增加20元。
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？
5.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示:
每个商品的售价x（元） … 30 40 50 …
每天的销售量y（个）
100 80 60 …
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
体验中考
1.（2019·丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元销售一段时间后发现:当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件，同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元，设销售单价为x元，平均月销售量为y件。
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
2.（2019·盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示.每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示。
月份x … 3 4 5 6 …
售价y1/元 … 12 14 16 18 …
（1）求y1与x之间的函数关系式；
（2）求y2与x之间的函数关系式；
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
3.（2019·营口）某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量y（kg）与时间t天之间的函数关系式为y＝2t＋100（1≤t≤80，t为整数），销售单价p（元/kg）与时间第t天之间满足一次函数关系如下表:
时间第t天 1 2 3 … 80
销售单价p/（元/kg） 49.5 49 48.5 … 10
（1）直接写出销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式；
（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
4.（2019·铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.物价部门规定:销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润.
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）50＋x （2）50＋x－40 （3）210－10x（ 4）（50＋x－40）（210－10x）（5）0≤x≤15 （6）5.5 2402.5
知识点2:（1）自变量 （2）自变量 （3）二次函数表达式
考点突破
1.解:（1）由题意得，y＝（13.5－x－2.5）（500＋100x）.
整理得， y＝100 （－x2＋6x＋55） （0≤x≤11）；
（2）由（1）可知，当x＝3时y取最大值，最大值是6400.
答；销售单价为10.5元时利润最大，为6400元；
（3）6000元.
2.解: （1）由题意得， y＝700－20（x－45）＝－20x＋1 600；
（2）P＝（x－40）（－20x＋1 600）＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20（x－60）2 ＋8 000，
∵x≥45，а＝－20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8 000元，
答:当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意得，－20 （x－60）2＋8 000＝6000，解得x1＝50 ，x2＝70.
∵抛物线P＝－20 （x－60）2 ＋8 000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润.
又∵x≤58，∴50 ≤x≤58.
∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20＜0，∴y随x的增大而减小.
∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1 600＝440.
答:超市每天至少销售粽子440盒.
巩固提高
1，解:（1）当10≤x≤50时，
设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
∴， 解得，
∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝－0. 5x＋105，
当x＞50时，y＝80，即y与x的函数关系式为。
（2）由题意得，
w＝（－0. 5.x＋105－65）x＝－0. 5x2＋40x＝－0. 5（x－40）2＋800，
.当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，y＝－0.5×40＋105＝85.
答:批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元.
2.解:（1） y＝ ［100－2（x－60）］（x－40）＝2 250，
解得x1＝65，x2＝85.
∴当每件商品售价65或85元时，每个月利润刚好是2250元；
（2）由题意得，y＝［100－2（x－60）］（x－40） ＝－2x2＋300－8800＝－2（x－75）2＋2 450，当x＝75时，y有最大值为2450元.
3，解:（1）由题意得，y＝50－x（0≤x≤50，且x为整数）；
（2）W＝（120＋10x－20）（50－x）＝－10x2＋400x＋5 000＝－10（x－20）2＋9 000，
∵a＝－10＜0，∴当x＝20时， W取得最大值， W最大值＝9 000.
答:当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
（3）由题意得，，解得20≤x≤40.
∵房间数y＝50－x，∴当x＝40时，y的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y＝2（－x＋50）＝20（人）.
答:这天宾馆入住的游客人数最少有20人.
4，解:（1）由题意得，y与 之间的函数解析式为y＝42＋2（x－1）＝40＋2x（1≤x≤10）；
（2）当1≤x≤5时， W＝（2 920－2000）×（40＋2x）＝1 840x＋36 800.
∵1 840＞0，∴W随x的增大而增大.
∴当x＝5时，W最大值＝1 840×5＋36 800＝46 000；
当5＜x≤10时，
W＝［2 920－2000－20（40＋2x－50）］×（40＋2x）＝－80（x－4）2 ＋46 080，
函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随着x的增大而减小.
又∵天数x为整数，∴当x＝6时，最大值＝45 760元.
∵46 000＞ 45 760，∴当x＝5时，W最大，且W最大值＝46 000元
综上所述，
W＝.第5天获得利润最大，最大利润是46000元.
5，解:（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
则,解得.即y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋160；
（2）由题意得，
w＝（x－20）（－2x＋160）＝－2x2＋200x－3 200，
即w与x之间的函数表达式为w＝－2x2＋200x－3 200；
（3）∵ w＝－2x2＋200x－3200 ＝－2（x－50）2＋1 800（20≤x≤60），
∴当20≤a≤50时，w随x的增大而增大；当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；
当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1800.
答:当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元.
体验中考
1.解:（1）由题意得，y＝80＋20×，∴函数的关系式为y＝－2x＋200（30≤x≤60）；
（2）由题意得，（x－30）（－2x＋200）－450＝1800，解得x1＝55 ，x2＝75（舍去）.
答，当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元。
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得，
W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2（x－65）2＋2 000.
∵－2＜0，∴当x≤65时，w随x的增大而增大.
∵30≤x≤60，∴当x＝60时，w最大＝－2（60－65）2＋2 000＝1 950.
答，当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元.
2、解:（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx＋b，
将（3，12） （4，14）代入y1得.，解得.
∴y1与x之间的函数关系为y1＝2x＋6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），设y2与x之间的函数关系式为y2＝a（x－3）2＋9.
将（5，10）代入y2得，a（5－3）2＋9＝10，解得a＝,
∴y2与x之间的函数关系式为y2＝.
（3）由题意得，w＝y1－y2＝2x＋6－＝，
∵－＜0∴w有最大值.∴当x＝时，w最大＝.
答:7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元.
3.解:（1）设销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系式为p＝kt＋b，
将（1，49. 5） ， （2，49）代入，得，解得。
∴销售单价p（元/kg）与时间第！天之间的函数关系式为p＝－t＋50；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得，w＝（2t＋100）（50－0.5t）－6（2t＋100）＝－t2＋38t＋4400＝－（t－19）2＋4761，
∵a＝－1＜0，∴w有最大值.当t＝19时，w最大，w最大＝4761.
答:第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元。
4.解:（1）由题意得，y＝200－10（x－8）＝－10x＋280，
∴y与x的函数关系式为y＝-10x＋280；
（2）由题意得，（x－6）（－10x＋280）＝720，解得x1＝10，x2＝24（舍去）
答:要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）由题意得，w＝（x－6）（－10x＋280）＝－10（x－17）2＋1210，
∵10＜0，∴当x＜17时，w随x的增大而增大。当x＝12时，w最大＝960。
答:当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元。
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