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24.2.1
点和圆的位置关系
葫芦岛第六初级中学
点和圆的位置关系
r
p
d
p
r
d
P
r
d
R
r
P
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r
点P在圆环内
r≤d≤R
数形结合:
位置关系
数量关系
平面上有一点A,经过已知A点的圆有几个?圆心在哪里?
●O
●A
●O
●O
●O
●O
能画出无数个圆,圆心为点A以外任意一点,半径为这点与点A的距离.
过不在同一直线上的三个点作圆
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法
1.分别以点A和B为圆心,以
大于二分之一AB的长为半径
作弧,两弧相交于点M和N;
2.作直线MN.
N
M
A
B
合作探究
过两个点能不能确定一个圆?
●O
●
O
●O
●O
A
B
能画出无数个圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上。
有且只有
位置关系
定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆?
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
1.
外接圆
⊙O叫做△ABC的________,
△ABC叫做
⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心:
定义:
●O
A
B
C
外接圆
内接三角形
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图:
三角形三边中垂线的交点.
性质:
★圆内接三角形有关定义
判一判:
下列说法是否正确?
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆(
)
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形(
)
(3)经过三点一定可以确定一个圆(
)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等(
)
√
×
×
√
画一画:
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,再画出它们的外接圆,观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
1.锐角三角形的外心位于三角形内,
2.直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
3.钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
思考:经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?
l1
l2
A
B
C
P
如图,假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,所以过同一条直线上的三点不能作圆.
反证法
★反证法的定义
先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法.
★反证法的一般步骤骤
假设命题的结论不成立;
从这个假设出发,经过推理,得出矛盾;
由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
1.正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作⊙A,则点B在⊙A
;点C在⊙A
;点D在⊙A
.
上
外
上
2.⊙O的半径r为5㎝,O为原点,点P的坐标为(3,4),则点P与⊙O的位置关系为
(
)
A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
B
3.直角三角形的两条直角边分别是6、8,则这个直角三角形外
接圆的半径是
.
5
1
·
2cm
3cm
4.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
O
如图,是一块圆形镜片破碎后的部分残片,试找出它的圆心.
A
B
C
O
圆心一定在弦的垂直平分线上.
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理:
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
直角三角形的外心在斜边中点处
注意:同一直线上的三个点不能作圆
点P在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
课堂总结