人教A版选修2-1《3.1.3空间向量的数量积运算》
一、教学内容解析
本课时教材选自人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何部分第3.1.3节的内容．是学生在必修二中学习立体几何初步以及在必修四中学面向量数量积的基础上把平面向量的数量积运算推广到空间，并利用空间向量的数量积度量空间两条直线的夹角和空间线段的长度，并利用它判定及证明空间里的垂直关系。
本节课举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法．按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量解决空间两条直线的夹角，空间线段的长度及判定垂直，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
二、教学目标设置
根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高二学生的认知能力，确定如下三维教学目标：
1、知识与技能目标：
（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法；
（2）掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；
（3）掌握空间向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
2、过程与方法目标：
（1）运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；
（2）引导学生体验利用空间向量将几何问题代数化的过程，培养学生空间向量的应用意识。
3、情感、态度与价值观目标：
通过师生互动，生生互助的教学活动，培养学生的类比思想、转化思想。培养学生探究自学的能力，以及合作交流的科学态度，激发学生喜爱数学的情感。
【教学重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。
【教学难点】如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。
根据以上目标的确定，教学注重培养学生的探究能力、交流能力、反思能力。在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生自主学习、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点的突破，进而达到预期的教学目标。
三、学生学情分析
学生在必修四已经学面向量的数量积，通过前一节的学习，学生已有了共面向量的概念，将平面向量的数量积运算推广到空间对学生学习难度不大，但仍要一步步的进行.
通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力.而且学生还没有形成应用空间向量的数量积运算解决立体几何中相关问题的意识.利用空间向量将几何问题代数化的能力，尚有待加强．
四、教学策略分析
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是从身边的、生活中的实际问题出发，引导学生发现问题，思考如何解决问题，激发学习兴趣.
以学生为主体，强调学生对知识的主动探索，引导学生类比所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成新的知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。采用问题启发式教学，让学生在分析类比、自主探索、合作交流的过程中建构空间向量数量积运算的概念，运用实物、多媒体辅助教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．基于以上几点分析采用“情境引入激发兴趣-类比探究形成概念-小组合作讨论突破重点-注重应用当堂练习”的新授课模式.
五、教学过程设计
（一）结合实例，激发动机
提问1：请同学们回顾一下平面向量的数量积通常用来解决什么问题呢？
学生活动：思考后回答可以解决平面内两条直线的平行，垂直，夹角及距离问题.
在多媒体上展示图片：
教师：天宫二号是什么时间发射成功的？九月十五号，十月中旬神舟十一号即将发射，完成与天宫二号在太空中的交会对接，进行一场太空中的世纪之吻.
提问2：如果把天宫二号和神舟十一号抽象成两条直线，它们之间的位置关系是？
学生活动：观察后回答异面直线.
教师总结：如果要解决象异面直线所成的角这种空间的夹角，空间的距离以及垂直问题，就要用到我们这节课学到的内容，空间向量的数量积运算.
【设计意图】从回顾平面向量的数量积出发，由我国九月十五日刚刚发生成功的天宫二号，和十月中旬即将发射的神州十一号作为本节课的新课引入环节，大大激发了学生的学习兴趣，同时也培养了学生的爱国主义情怀.爱国.同时为后面类比平面向量得到空间数量积的概念作出铺垫.
（二）类比转化，得出空间两个向量夹角的概念
问题1：已知向量
是两个非零向量，类比平面向量的夹角，你能作出这样两个向量的夹角么？
学生活动：思考后回答在空间内取一点O，将向量都平移到O点.
教师总结：（多媒体展示向量夹角的作出过程）
在空间任取一点O，做则叫做向量的夹角，记作
且
问题2：当两个向量的夹角取下列特殊角时，对应的向量的位置关系是？与的关系是？
学生活动：
，
若
则向量同向.
若
则向量反向.
若
则向量垂直.
(2)=
问题3：如果改变其中一个向量的方向得到两个新的夹角，与原夹角有什么关系呢？如果两个向量的方向都改变呢？
学生活动：
学生活动：
思考：空间两个向量的夹角与平面两个向量的夹角有什么关系？为什么？
学生活动：思考后回答感觉差不多，可能是因为向量可以自由平移.
教师引导：一条直线在空间有它的固定位置，一个向量在空间有固定位置么？
学生活动：没有，向量可以平行移动.
(重新演示一下空间两个向量夹角的得到过程)
教师总结：向量的位置不固定，可以任意平移，那么任意两个向量都可以平移到一个平面内成为共面向量.两个向量一定是共面的，所以空间两个向量的夹角就是平面两个向量的夹角.
问题4：两个向量一定是共面向量，那空间三个向量还是共面向量么？你能举例说明么？
学生活动：不一定，以教室内墙角为例.
多媒体展示在三棱锥同一个顶点的三条棱上取出的三个方向向量.
【设计意图】让学生自主探究，类比平面向量的夹角，得到空间向量的夹角.通过这个体验过程让学生亲自感受，向量在空间里没有固定的位置，向量是可以任意平移的，所以任意两个向量一定共面.空间两个向量的夹角本质上就是平面两个向量的夹角.从而为类比平面向量数量积，等到空间两个向量的数量积做铺垫.
（三）空间向量数量积概念的形成
问题1.通过两个向量夹角的学习，我们得出一个结论，空间两个向量一定共面，那么有关空间两个向量的运算问题就和平面里两个向量的运算是一样的，那么你能得出空间两个非零向量的数量积运算的公式么？
学生活动：已知向量
是两个非零向量，则.
教师总结：平面向量的数量积定义:
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）,记作：，
即：,其中.
零向量与任意向量的数量积为0.
两个向量的数量积是数量.
问题2：既然空间两个向量的数量积就是平面两个向量的数量，你能类比平面向量的得出数量积运算的性质和运算律么？（各小组讨论总结）
学生活动：请两个小组的同学把讨论结果写到黑板上.
性质:
已知向量
是两个非零向量，则
①；
②|·|
||||；
③当与同向时，·=||||；
当与反向时，·=-||||，
；
④
运算律：
问题3：同学们思考一下，对于空间向量的数量积下列命题成立么？如果不成立你能举出反例么？
学生活动1：当
为零向量时,
零向量与任意向量的数量积为0，所以向量不一定相等.
教师：很好，那如果为非零向量，关系①成立么？
学生：如果向量垂直时，
成立，但是向量不一定相等.
教师：多媒体展示
可见当时，向量的关系不确定.
学生活动2：向量没有除法运算，所以②不成立.
学生活动3：因为为数量，所以向量是与向量共线的向量，向量是与向量共线的向量，所以它们不一定相等.
教师总结：非常好，向量的数量积不满足结合律.
【设计意图】类比是我们认识世界的一个很重要的方法，通过前面夹角的学习，学生通过类比思想很容易将平面向量的数量积运算推广到空间，从而获取两个向量数量积的定义，以及一系列性质，运算律等问题.
（四）空间向量的数量积运算的应用
运用新知
用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．
已知：m，n是平面α内的两条相交直线，如果l⊥m，l⊥n.求证：l⊥α.
思路分析：要证明l⊥α，就要证明l垂直于α内的任一条直线g(直线和平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n得到l⊥g，就能解决此问题．
证明：在α内作任一直线g,
在l,m,n,g上取非零向量.
∵m,n相交,
∴向量不平行．由共面定理可知,
存在唯一有序实数对(x,y),使,
∴.又∵,
∴.∴.
∴
l⊥g.
所以直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l⊥α.
问题1：你能总结一下用平面向量的数量积解决这个立体几何问题的步骤么？
学生活动：
①在直线上取出向量；
②用平面向量基本定理把向量来表示,即.利用得到.
③得出要证的结论.
教师总结：
1.把立体几何问题转化为向量问题，即把几何条件转化为向量表示；
2.未知向量用已知向量表示，并进行向量运算；
3.回归几何问题.
【设计意图】结合课本例题,选择作为例1,让学生感受空间向量的数量积在解决立体几何中的垂直问题时的作用，以及用空间向量解决立体几何问题的思维方法和步骤.
练习1：已知:如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，，
且，求证：
（请两位同学板演）
完成后小组讨论，请两个小组的两位同学点评板演结果.
【设计意图】通过自主思考完成练习，小组讨论合作交流形成思路，学生参与点评得到提升,
让学生真正学会利用向量数量积解决下列立体几何问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
（五）课堂小结
问题1：这节课你都学到了什么知识？
1.两个向量的夹角；
2.空间向量的数量积；
3.空间向量数量积在证明垂直，求空间距离和求空间夹角问题中的应用.
问题2：本节课的学习过程中你都有哪些体会和收获？
①类比的方法，比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；
②探究空间几何图形，如何将几何问题代数化.
（六）作业
必做题：P92
练习1、2
选做题：P97
A组
1、2、3
（七）教学设计说明
【板书设计】：
3.1.3空间向量的数量积运算一、两个向量的夹角
二、空间向量的数量积
性质：
运算律：
三、空间向量数量积的应用
步骤：
我们欣赏数学，我们需要数学
10(共15张PPT)
新课引入
天宫二号与神舟十一号即将完成空间交会对接.
学习目标：
2.掌握空间向量的数量积的概念和计算方法；
3.能运用空间向量的数量积运算解决垂直，简单的空间角度以及距离问题.
1.掌握空间两个向量的夹角；
一.两个向量的夹角
o
A
B
规定：
一.两个向量的夹角
＝
O
A
B
O
A
B
A′
一.两个向量的夹角
B′
思考：
空间两个向量的夹角与平面两个向量的夹角有什么关系？为什么？
两个向量一定是共面的.
o
A
B
二.空间向量的数量积
零向量与任意向量的数量积为
.
0
则
二.空间向量的数量积
请类比平面向量的数量积运算，回答下面两个问题.
1.如果空间向量
是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？
2.空间向量数量积的运算律有哪些？
对于空间向量下列命题成立吗?
①若
,则
②若
,则
③
二.空间向量的数量积
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(结合律)
因m与n相交,故向量m
,n
三.空间向量数量积的应用
例1:已知直线m
,n是平面
内的两条相交直线,
如果
⊥m,
⊥n,求证:
⊥
.
m
n
g
证明:
在
内作任一直线g,
由共面向量定理,存在唯一实数
,使
上取非零向量
在直线
不平行,
立体几何问题转化为向量问题.
未知向量用已知向量表示，转化为已知向量的运算
回归几何问题
1.立体几何问题转化为向量问题；
2.未知向量用已知向量表示，转化为已知向量的运算；
3.
回归几何问题.
A
B
A1
C
B1
C1
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
这节课你学到了什么知识？
小结
1.两个向量的夹角；
2.空间向量的数量积；
3.空间向量数量积在立体几何问题中的应用.
必做题：P92
练习1、2
选做题：P97
A组
1、2、3
作业：
欢迎大家提问！3.1.3空间向量数量积运算学习任务单
【复习回顾】
问题1
平面向量的夹角
问题2
向量数量积是如何定义的？
（1）已知两个
向量，我们把
叫做的数量积.记作
，即
.其中是
.
规定：零向量与任意向量的数量积为
.
（2）设是非零向量，则
1.
2.
|·|
||||
3.当与同向时，·
||||；当与反向时，·
||||，
特别的，=
=
或||=
.
问题3
向量的数量积的运算律
（1）
.
（2）
.
（3）
.
问题4
平面向量基本定理
【当堂达标】
练习1：已知:如图,分别是平面的垂线、斜线，是在平面内的射影，，且，求证：
