人教版八年级上册数学 12.3 角平分线的性质 同步测试(Word版 含解析)

12.3
角平分线的性质
同步测试
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若AD＝2，则点D到BC的距离为（　　）
A．1
B．
C．
D．2
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（　　）
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
4．已知EF是△EBC的角平分线，FD⊥EB于D，且FD＝3cm，则点F到EC的距离是（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．3
B．10
C．12
D．15
6．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（　　）cm．
A．12
B．14.1
C．16.2
D．7.05
7．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（　　）
A．10cm
B．9cm
C．4.5cm
D．3cm
9．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
10．如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为　
　．
12．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝7，S△ABC＝12，则DE的长为　
　．
13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝60°，则∠EDC＝　
　．
14．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝4，则DF＝　
　．
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　
　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，
（1）求∠ADE的度数；
（2）若DE＝3，求点D到AB的距离．
17．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．
18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
参考答案
1．解：过点D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：D．
2．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
3．解：∵点P到边OA，OB的距离相等，
∴点P在∠AOB的平分线上，
∴点P为CD与∠AOB的平分线的交点．
故选：C．
4．解：∵FD⊥EB于D，且FD＝3cm，
∴点F到EB的距离为3cm，
∵EF是△EBC的角平分线，
∴点F到EB和EC的距离相等，
∴点F到EC的距离是3cm．
故选：B．
5．解：作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝CD＝3．
∴△ABD的面积为×3×10＝15．
故选：D．
6．解：∵点P到△ABC三边的距离相等，
∴AP平分∠BAC，
∴∠DAP＝∠CAP，
∵DE∥AC，
∴∠DPA＝∠PAC，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
同理PE＝CE，
∴△BDE的周BD+DE+BE＝BD+PD+PE+BE＝BD+AD+BE+CE＝AB+BC＝14.1cm，
故选：B．
7．解：作DF⊥BC于F，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD
＝×6×2+×4×2
＝10．
故选：D．
8．解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4+AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
9．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵BD、CE是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH，
∵点P到AC的距离为4，
∴PH＝4，
即点P到AB的距离为4．
故选：A．
10．解：过P点作PF⊥OD，
∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠POE＝75°，
∵DP∥OA，
∴∠DPO＝∠POE＝75°，
∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，
∴DP＝OD＝4，
∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵PF⊥OD，
∴∠PFD＝90°，
∴PF＝DP＝2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴PE＝PF＝2，
故选：A．
11．解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝32，
故答案为：32．
12．解：作DF⊥AB于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∴×AB×DF+×BC×DE＝S△ABC，即×5×DE+×7×DE＝12，
解得，DE＝2，
故答案为：2．
13．解：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠DCE＝∠ACB＝30°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°．
故答案是：30°．
14．解：作DG⊥OB于G，
∵OC是∠AOB的平分线，DG⊥OB，DE⊥OA，
∴DG＝DE＝4，
在Rt△EOF中，∠AOB＝60°，
∴∠OFE＝30°，
∴DF＝2DG＝8，
故答案为：8．
15．解：如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
故答案为：6．
16．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣62°＝68°，
∵AD是角平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝34°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣34°＝56°；
（2）作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
即点D到AB的距离为3．
17．证明：延长AD交BC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠DFE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB．
18．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．