22.1.3 二次函数的图象和性质同步练习（含解析）

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22.1
二次函数的图象和性质(3)
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（﹣2，3）
D．（﹣2，﹣3）
3．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（　　）
A．直线x＝4
B．直线x＝﹣4
C．直线x＝2
D．直线x＝﹣2
4．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（　　）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；
③a＝﹣；④8a+c＞0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（　　）
A．0.7
B．0.9
C．2
D．2.1
6．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（　　）
A．b≤4
B．b≥2
C．b≤2
D．b≥4
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．y1与y2大小不能确定
8．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y1＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y2＞y1＞y3
9．若（﹣2，0）是二次函数y＝ax2+bx（a＞0）图象上一点，则抛物线y＝a（x﹣2）2+bx﹣2b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13
B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13
D．y＝（x+1）2﹣5
11．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，2）
B．（3，2）
C．（3，0）
D．（﹣3，0）
12．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1）
B．（1，1）
C．（﹣1，﹣3）
D．（﹣1，1）
二．填空题（共8小题）
13．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为　
　．
14．当x＝0时，函数y＝2x2+1的值为　
　．
15．已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是　
　．
16．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么abc　
　0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
17．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是　
　．
18．直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有　
　个．
19．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是　
　．
20．抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式为　
　．
三．解答题（共4小题）
21．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
22．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
23．已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：点C、E不能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？
24．（1）画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象．
（2）若将x轴向上平移3个单位，此图象对应的表达式是多少，请直接写出来．
22.1
二次函数的图象和性质(3)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由y＝ax2+bx+c的图象判断出a＜0，b＜0，于是得到一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限，即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．
2．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（﹣2，3）
D．（﹣2，﹣3）
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．
3．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（　　）
A．直线x＝4
B．直线x＝﹣4
C．直线x＝2
D．直线x＝﹣2
【分析】利用对称轴计算公式可得答案．
【解答】解：因为a＝1，b＝4，c＝7，
所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x＝﹣．
4．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（　　）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；
③a＝﹣；④8a+c＞0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误；
②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
③函数的对称轴为x＝﹣＝1，即a＝﹣b，故③错误；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换等．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（　　）
A．0.7
B．0.9
C．2
D．2.1
【分析】利用x＝﹣1时，y＜2和当x＝2时，y＞3得到a的范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；
当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，
所以＜a＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
6．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（　　）
A．b≤4
B．b≥2
C．b≤2
D．b≥4
【分析】先求出对称轴x＝，再由已知可得≥1，即可求b的范围．
【解答】解：∵y＝2x2﹣bx+1，
∴对称轴为x＝，
∵当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴≥1，
∴b≥4，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系解题是关键．
7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．y1与y2大小不能确定
【分析】由解析式即可判定抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，由x1＜x2且x1+x2＝2﹣a即可判定点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，根据二次函数的性质即可判断y1＞y2．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，
∴＝1﹣a＜1，
∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离是解题的关键．
8．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y1＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y2＞y1＞y3
【分析】把A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）代入求出相应的y的值即可．
【解答】解：把x1＝0，x2＝1，x3＝4分别代入y＝x2﹣3x得，y1＝0，y2＝﹣2，y3＝4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
9．若（﹣2，0）是二次函数y＝ax2+bx（a＞0）图象上一点，则抛物线y＝a（x﹣2）2+bx﹣2b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx（a＞0）中，得到b与a的关系为b＝2a；再将所求函数化为y＝ax2﹣2ax，分别求出函数的对称轴为x＝1，并且函数经过原点，即可判断函数的图象．
【解答】解：∵（﹣2，0）是y＝ax2+bx（a＞0）图象上一点，
∴b＝2a，
∴y＝a（x﹣2）2+bx﹣2b＝a（x﹣2）2+2ax﹣4a＝ax2﹣2ax，
∴函数的对称轴为x＝1，
当x＝0时，y＝0，
∴函数经过原点，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象；熟练掌握二次函数的图象特点，并能从选项图象中获取判断函数图象所需的信息是解题的关键．
10．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13
B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13
D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
11．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，2）
B．（3，2）
C．（3，0）
D．（﹣3，0）
【分析】根据函数图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：将函y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个得到新函数解析式为y＝（x﹣3）2+1﹣1，
即y＝（x﹣3）2，
其顶点坐标为（3，0），
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1）
B．（1，1）
C．（﹣1，﹣3）
D．（﹣1，1）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；
再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
二．填空题（共8小题）
13．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为　a＞b＞d＞c　．
【分析】根据抛物线的开口方向和大小解答．
【解答】解：由抛物线的开口方向和大小可知，a＞b＞0，c＜d＜0，
∴a＞b＞d＞c，
故答案为：a＞b＞d＞c．
【点评】本题考查的是二次函数的图象，掌握抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小是解题的关键．
14．当x＝0时，函数y＝2x2+1的值为　1　．
【分析】直接把x的值代入进而求出答案．
【解答】解：当x＝0时，函数y＝2x2+1＝0+1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确代入x的值是解题关键．
15．已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小，则h的取值范围是　h≥2　．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝h，且当x＜h时，y随x的增大而减小，所以可判断h与2的关系．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣h）2+3的图象的对称轴为直线x＝h，
∵a＝1，抛物线的开口向上，
∴当x＜h时，y随x的增大而减小，
而当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
故答案为h≥2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
16．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么abc　＜　0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可．
【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，
∴﹣＜0，
∵a＞0，
∴b＞0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＞0，c＜0．
∴abc＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
17．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是　y2＜y3＜y1　．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后比较已知三点到直线x＝1的距离的大小，再利用二次函数的性质可判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离为2，点（，y2）到直线x＝1的距离为﹣1，点（2，y3）到直线x＝1的距离为1，
∴点（﹣1，y1）到直线x＝1的距离最大，点（，y2）到直线x＝1的距离最小，
而抛物线的开口向上，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标其解析式．也考查了二次函数的性质．
18．直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有　2　个．
【分析】先确定抛物线的开口方向及顶点，则可判断其与直线y＝﹣2的交点个数．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2的二次项系数a＝﹣1＜0，
∴该抛物线开口向下．
又∵该抛物线的顶点在原点，
∴直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，明确抛物线y＝﹣x2的顶点位置及其开口方向是解题的关键．
19．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是　y＝（x﹣1）2+3　．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝（x﹣1）2+3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
20．抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式为　y＝（x﹣1）2﹣3　．
【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，再利用二次函数平移的性质得出答案．
【解答】解：y＝x2+4x+5
＝（x+2）2+1，
∵抛物线y＝x2+4x+5向右平移3个单位，再向下平移4个单位，
∴所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣3．
【点评】此题主要考查了二次函数的平移，正确掌握平移规律是解题关键．
三．解答题（共4小题）
21．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值；
（2）把x＝3代入求得的函数解析式即可求得y值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3），
∴a×1＝3
∴a＝3；
（2）把x＝3代入抛物线y＝3x2得：y＝3×32＝27；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当x＞0时，y随着x的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决二次函数有关问题的基础．
22．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x＝﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1＝ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
【解答】解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4
时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1
或
x＞5时，y1＞y2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握．
23．已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：点C、E不能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？
【分析】（1）当C、E同时在函数上时，将点A与点E代入解析式y＝a（x﹣1）2+k，得到a＝0，这与已知矛盾，即可证明；
（2）A在抛物线上时，A是抛物线的顶点，此时A点是最低点，则点C、E在抛物线上，与（1）矛盾，则可得结论．
【解答】解：（1）y＝a（x﹣1）2+k，
∴对称轴为x＝1，顶点为（1，k），
设点C，E同时在抛物线y＝a（x﹣1）2+k上，
∴当x＝﹣1时，y＝a（﹣1﹣1）2+k＝4a+k＝2
当x＝4时，y＝a（4﹣1）2+k＝9a+k＝2，
∴a＝0，
这与a＞0矛盾，
∴假设不成立，
∴C，E不能同时在抛物线上；
（2）不在；
理由：若点A（1，0）在抛物线上，
由（1）得，抛物线的顶点坐标为（1，k），
∴A为顶点，
∵a≥0，
∴A为最低点，
又∵抛物线过A，B，C，D，E中的三点，
∴只能过A，C，E三点，这与（1）中的结论矛盾，
∴假设不成立，
∴点A不在抛物线上．
【点评】本题考查二次函数图象上点的特点；能够利用反证法，通过假设证明，推导出与已知矛盾的结论是解题的关键．
24．（1）画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象．
（2）若将x轴向上平移3个单位，此图象对应的表达式是多少，请直接写出来．
【分析】（1）首先将二次函数化简成：y＝﹣（x﹣1）2+4则可知x＝1是该图象的对称轴，并且当x＝1时函数有最大值4，然后解方程﹣x2+2x+3＝0，得到的解即为图象与x轴交点的横坐标，由此些条件即可画出图象．
（2）直接利用二次函数的平移规律得出答案．
【解答】解：（1）方程﹣x2+2x+3＝0的两个解为：x＝﹣1，x＝3，
当x＝1时y有最大值4，由于x2的系数为负数，则函数开口应向下．
由此可画图得：
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
将x轴向上平移3个单位，得到：y＝﹣（x﹣1）2+7．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的性质和图象的平移，要确定一个函数的图象需要确定的有函数与x轴的交点，函数的最大值或最小值．在函数平移时在x轴方向上向左为加，向右为减，在y轴方向上向上为加，向下为减．
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日期：2020/9/8
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