21.2.1 解一元二次方程同步练习（含解析）

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解一元二次方程(1)
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2＝0
B．x﹣3＝0
C．x2﹣5＝0
D．x2+2＝0
2．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3
B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝，x2＝﹣
D．x1＝x2＝
3．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是（　　）
A．x＝2
B．x1＝x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝2
D．x1＝0，x2＝2
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9
B．（x﹣2）2＝13
C．（x+2）2＝9
D．（x+2）2＝13
5．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（　　）
A．（x+2）2＝6
B．（x﹣2）2＝6
C．（x+2）2＝﹣6
D．（x+2）2＝﹣2
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝
D．（x﹣）2＝
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长
B．线段AD的长
C．线段EC的长
D．线段AC的长
8．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（　　）
A．3
B．﹣3
C．2
D．
9．已知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（　　）
A．0和1之间
B．1和1.5之间
C．1.5和2之间
D．2和3之间
10．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
11．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
12．方程x（x+3）＝x的解是（　　）
A．x1＝x2＝﹣3
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝0，x2＝﹣3
D．x1＝0．x2＝﹣2
二．填空题（共8小题）
13．若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为　
　．
14．x2＝0方程的解是　
　．
15．已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为　
　．
16．一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，则m+n的值是　
　．
17．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　
　．
18．方程3x2+x﹣1＝0的解是　
　．
19．一元二次方程（x+1）2＝x+1的根是　
　．
20．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为　
　．
三．解答题（共4小题）
21．解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）＝﹣2．
22．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0．
23．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
24．x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？
解一元二次方程(1)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2＝0
B．x﹣3＝0
C．x2﹣5＝0
D．x2+2＝0
【分析】利用直接开平方法分别求解可得．
【解答】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；
B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；
C．由x2﹣5＝0得x1＝，x2＝﹣，符合题意；
D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3
B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝，x2＝﹣
D．x1＝x2＝
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵9x2﹣1＝0，
∴9x2＝1，
则x2＝，
解得x1＝，x2＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．一元二次方程（x﹣2）2＝0的根是（　　）
A．x＝2
B．x1＝x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝2
D．x1＝0，x2＝2
【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（x﹣2）2＝0，
则x1＝x2＝2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9
B．（x﹣2）2＝13
C．（x+2）2＝9
D．（x+2）2＝13
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣9＝0，
∴x2﹣4x＝9，
则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（　　）
A．（x+2）2＝6
B．（x﹣2）2＝6
C．（x+2）2＝﹣6
D．（x+2）2＝﹣2
【分析】先把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+4＝2+4，
∴（x+2）2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝
D．（x﹣）2＝
【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　）
A．线段BC的长
B．线段AD的长
C．线段EC的长
D．线段AC的长
【分析】根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
8．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（　　）
A．3
B．﹣3
C．2
D．
【分析】根据公式法解一元二次方程求解可得．
【解答】解：用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．已知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（　　）
A．0和1之间
B．1和1.5之间
C．1.5和2之间
D．2和3之间
【分析】利用公式法可求出该方程的解，结合m＞n可得出m的值，再利用逼近法找出m所在的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴x＝＝．
∵m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，且m＞n，
∴m＝．
∵2＜＜3，
∴＝1.5＜m＜＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程，求出m的值．
10．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
解得：x＝4或x＝2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
12．方程x（x+3）＝x的解是（　　）
A．x1＝x2＝﹣3
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝0，x2＝﹣3
D．x1＝0．x2＝﹣2
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x（x+3）﹣x＝0，
分解因式得：x（x+3﹣1）＝0，
可得x＝0或x+2＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为　x＝﹣1　．
【分析】把x＝1代入方程求出c的值，进而求出另一根．
【解答】解：把x＝1代入方程得：c＝1，
方程为x2﹣1＝0，即x2＝1，
开方得：x＝1或x＝﹣1，
则另一根为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
14．x2＝0方程的解是　x1＝x2＝0　．
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2＝0，
解得x1＝x2＝0．
故答案是：x1＝x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15．已知方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a（x+b）2＝c的形式为　（x﹣3）2＝11　．
【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣2＝0，
移项得：x2﹣6x＝2，
配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．
故答案为：（x﹣3）2＝11．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，则m+n的值是　1　．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0，
∴x2﹣2x+1＝1﹣m，
∴（x﹣1）2＝1﹣m，
∴n＝1﹣m，
∴m+n＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
17．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　　．
【分析】先判断方程的根的情况，由求根公式求出答案即可．
【解答】解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，
∴△＝b2+4ac，
∵对于任意实数b，b2≥0，ac＞0，
∴b2+4ac＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
18．方程3x2+x﹣1＝0的解是　x＝　．
【分析】根据公式法即可求出答案．
【解答】解：∵3x2+x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝1+12＝13，
∴x＝
故答案为：x＝．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
19．一元二次方程（x+1）2＝x+1的根是　x1＝0，x2＝﹣1　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2＝x+1，
∴（x+1）2﹣（x+1）＝0，
则x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为　x1＝3，x2＝1　．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
21．解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）＝﹣2．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）根据解分式方程的步骤计算可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
则x1＝4，x2＝﹣4；
（2）去分母，得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣1），
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
则x＝2是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝，
∴x＝1，
即x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
23．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝12；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式求方程的解．
【解答】解：（1）x2+2x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
x+5＝0或x＝3，
所以x1＝3，x2＝﹣5；
（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，
∴，
即，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了因式分解法．
24．x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？
【分析】根据相反数的性质得出关于x的方程，整理成一般式后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：根据题意，得：3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，
整理，得：x2+6x﹣7＝0，
则（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝1．
∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
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日期：2020/9/8
9:29:36；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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