21.1 一元二次方程同步练习（含解析）

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21.1
一元二次方程
一．一元二次方程的定义（共6小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3x2﹣5x＝6
B．
C．6x+1＝0
D．2x2+y2＝0
2．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a≤
B．a＞0
C．a≠0
D．a≤
3．下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x+y＝0
B．x2+2x＝
C．2x2＝5x
D．x（x2﹣4x）＝3
4．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为　
　．
5．若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是　
　．
6．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
二．一元二次方程的一般形式（共6小题）
7．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（　　）
A．0
B．1
C．6
D．9
8．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，4，3
B．0，﹣4，﹣3
C．1，﹣4，3
D．1，﹣4，﹣3
9．将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为（　　）
A．﹣3，3
B．﹣1，﹣3
C．1，3
D．1，﹣3
10．方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是　
　．
11．将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数为　
　．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共6小题）
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
14．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　）
A．9
B．4.5
C．3
D．﹣3
15．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．﹣2
16．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为　
　．
17．已知一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值为　
　．
18．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
21.1
一元二次方程
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的定义（共6小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3x2﹣5x＝6
B．
C．6x+1＝0
D．2x2+y2＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、3x2﹣5x＝6是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
B、﹣2＝0是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、6x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、2x2+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2次．
2．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a≤
B．a＞0
C．a≠0
D．a≤
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
3．下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x+y＝0
B．x2+2x＝
C．2x2＝5x
D．x（x2﹣4x）＝3
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、方程含有两个未知数，故本选项错误；
B、不是整式方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、未知数的最高次数是3次，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为　2　．
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|＝2，且m﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，
解得m＝±2，m≠﹣2，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程“未知数的最高次数是2”以及“二次项的系数不等于0”．
5．若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是　﹣3　．
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，
解得，a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
6．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，解之即可得到m的值，代入原方程解一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：m＝﹣2，
即原方程为：﹣4x2+8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
二．一元二次方程的一般形式（共6小题）
7．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（　　）
A．0
B．1
C．6
D．9
【分析】一元二次方程的一般系数是：ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【解答】解：方程x2+6x+9＝0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一般形式确定常数项．
8．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．1，4，3
B．0，﹣4，﹣3
C．1，﹣4，3
D．1，﹣4，﹣3
【分析】根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，﹣4，﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
9．将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数和常数项分别为（　　）
A．﹣3，3
B．﹣1，﹣3
C．1，3
D．1，﹣3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式是x2﹣3x﹣3＝0，
它的二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
10．方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是　4　．
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：4x2﹣2x＝0，
则方程的二次项系数为4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
11．将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后，二次项系数为　1　．
【分析】先去括号、移项、合并，把方程化为一般式，从而得到二次项系数．
【解答】解：去括号得x2﹣2x＝x+3，
移项得x2﹣2x﹣x﹣3＝0，
合并得x2﹣3x﹣3＝0，
所以二次项系数为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
12．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
三．一元二次方程的解（共6小题）
13．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（　　）
A．2018
B．2020
C．2022
D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2020+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
14．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　）
A．9
B．4.5
C．3
D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．﹣2
【分析】把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，然后把等式两边除以n可得到m+n的值．
【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n+m+1＝0，
即m+n＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为　﹣2　．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
17．已知一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值为　1　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣1代入方程得到关于m的方程1﹣m+3＝0，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得1﹣2+m＝0，解得m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：满足一元二次方程的未知数的值叫一元二次方程的解．
18．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程求得m2+m＝1或m（m+1）＝1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可．
【解答】解：根据题意，得m2+m﹣1＝0，
则m2+m＝1或m（m+1）＝1，
则m3+2m2+2019＝m（m2+m+m）+2019＝m（m+1）+2019＝1+2019＝2020．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
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日期：2020/9/7
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