22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质同步练习（含解析）

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22.1
二次函数的图象和性质(4)
一．选择题（共9小题）
1．关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（　　）
A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
2．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（　　）
A．最大值5
B．最小值5
C．最大值﹣3
D．最小值﹣3
3．已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（　　）时，s的值最小．
A．3
B．4
C．5
D．6
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2
B．y＝x2﹣2x
C．y＝x2﹣2x+1
D．y＝2x2﹣4x+2
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断其中正确的是（　　）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②④、
B．①③④
C．①②③
D．②③④
6．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2
D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
7．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+5
B．y＝（x+2）2﹣5
C．y＝（x﹣4）2﹣1
D．y＝（x+4）2﹣5
8．二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．把二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x+b）2+c的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣3
B．y＝（x﹣3）2﹣3
C．y＝（x+3）2﹣9
D．y＝（x+3）2﹣9
二．填空题（共6小题）
10．二次函数y＝（x+2）2﹣7的最小值为　
　．
11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　
　．
12．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是　
　．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
﹣1
3
4
y
10
10
202
那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为　
　．
14．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　
　．
15．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+　
　．
三．解答题（共3小题）
16．在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝AH＝CF＝CG，已知AB＝a，BC＝b．
（1）若≤a≤3b时，求四边形EFGH的面积的最大值；
（2）若a＝4，b＝16，求四边形EFGH的面积的最大值．
17．（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．
18．（1）解方程：（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0
（2）用配方法确定二次函数y＝﹣x2+5x+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
22.1
二次函数的图象和性质(4)
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．关于x的分式方程+＝1的解为非负数，则二次函数y＝a2﹣12a+39的最小值是（　　）
A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
【分析】据题意确定a的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵关于x的分式方程+＝1的解为非负数，
∴x＝5﹣a≥0，且5﹣a≠2，
解得：a≤5且a≠3，
∵二次函数y＝a2﹣12a+39＝（a﹣6）2+3，
∴当a＜6时，y随a的增大而减小，
∵a≤5且a≠3，
∴a＝5时，二次函数y＝a2﹣12a+39＝4最小，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质及分式方程的解的情况，属于基础题，难度不大．
2．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（　　）
A．最大值5
B．最小值5
C．最大值﹣3
D．最小值﹣3
【分析】利用配方法求二次函数的最值．
【解答】解：y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5．
由于a＝﹣1＜0，
所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（2，5）．
所以该抛物线有最大值，且最大值是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
3．已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（　　）时，s的值最小．
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到对称轴的取值范围和该函数图象的开口方向，从而可以得到当n取各个选项中的数时，当n是哪个数时，s的值最小，从而可以解答本题．
【解答】解：∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，
∴a＞0，该函数图象开口向上，
∴当s＝0时，9＜n＜10，
∵n＝0时，s＝0，
∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，
∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣，无论k取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2
B．y＝x2﹣2x
C．y＝x2﹣2x+1
D．y＝2x2﹣4x+2
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝k（x﹣1）﹣有且只有一个公共点，也就是说方程ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2只有一个解，即△＝0．
【解答】解：联立方程组，
∴ax2+bx+c＝k（x﹣1）﹣k2，
整理得，ax2+（b﹣k）x+c+k+k2＝0，
∵无论k为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
∴△＝（b﹣k）2﹣4a（c+k+k2）＝（1﹣a）k2﹣2k（2a+b）+b2﹣4ac＝0，
可得1﹣a＝0，2a+b＝0，b2﹣4ac＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x+1，
故选：C．
【点评】主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，以及方程根的个数的判断规律．这些性质和规律要求掌握．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断其中正确的是（　　）
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
A．①②④、
B．①③④
C．①②③
D．②③④
【分析】①根据a的值即可确定四条抛物线的开口方向均向下；
②根据对称轴即可得当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③根据抛物线y1的顶点和抛物线y2顶点即可判断；
④根据抛物线y4与y轴交点即可判断其在点B的上方．
【解答】解：根据已知条件利用待定系数法可得：
y1＝﹣（x﹣）2+，
y2＝﹣（x﹣）2+，
y3＝﹣（x﹣1）2+，
y4＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+6．
y4
与y轴交点为（0，6）．
∴①四条抛物线的开口方向均向下；
②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；
③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方；
④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．
所以①②④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的图象和性质．
6．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2
D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
7．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+5
B．y＝（x+2）2﹣5
C．y＝（x﹣4）2﹣1
D．y＝（x+4）2﹣5
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
8．二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+3x+＝（x2+6x+9﹣9+5）＝（x+3）2+2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；顶点式y＝a（x﹣k）2+h，顶点坐标为（k，h）；交点式y＝（x﹣x1）（x﹣x2），x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
9．把二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x+b）2+c的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣3
B．y＝（x﹣3）2﹣3
C．y＝（x+3）2﹣9
D．y＝（x+3）2﹣9
【分析】直接利用配方法将原式变形得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x
＝（x2﹣6x）
＝[（x﹣3）2﹣9]
＝（x﹣3）2﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确将原式变形是解题关键．
二．填空题（共6小题）
10．二次函数y＝（x+2）2﹣7的最小值为　﹣7　．
【分析】根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值．
【解答】解：由于（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，函数取得最小值为﹣7，
最小为﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了二次函数的最值，要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值．
11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　6　．
【分析】因为二次项系数为﹣1，开口向下，y有最大值，即顶点坐标的纵坐标，y＝6．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴y有最大值，
由题意得：当x＝3时，y有最大值为6，
故答案是：6．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的最值由二次项系数a来确定：当二次顶系数a＞0时，y有最小值；当二次顶系数a＜0时，y有最大值．
12．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是　y＝x2﹣x﹣2　．
【分析】根据A、B均为x轴上的点设二次函数的交点式，再将点C坐标代入求出a的值，从而得出答案．
【解答】解：∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
﹣1
3
4
y
10
10
202
那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为　2020　．
【分析】由表中数据得到点（﹣1，10）和（3，10）为抛物线上的对称点，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则x＝﹣2和x＝4对应的函数值都为202，即4a﹣2b+c＝202，而a﹣b+c＝10，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵x＝﹣1，y＝10；x＝3，y＝10，
∴点（﹣1，10）和（3，10）为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
而x＝4时，y＝202，
∴x＝﹣2时，y＝202，即4a﹣2b+c＝202，
而x＝﹣1时，a﹣b+c＝10，
∴（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）＝202×10＝2020．
故答案为2020．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
14．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　﹣2（x﹣2）2　．
【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【解答】解：y＝﹣2x2+8x﹣8
＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确进行配方是解题关键．
15．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+　（﹣12）　．
【分析】由于二次项系数为1，所以右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，化简，即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2+6x﹣3
＝（x2+6x）﹣3
＝（x2+6x+32﹣32）﹣3
＝（x+3）2﹣9﹣3
＝（x+3）2﹣12，
故答案为：（﹣12）．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式的互化，掌握配方法是解本题的关键．
三．解答题（共3小题）
16．在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝AH＝CF＝CG，已知AB＝a，BC＝b．
（1）若≤a≤3b时，求四边形EFGH的面积的最大值；
（2）若a＝4，b＝16，求四边形EFGH的面积的最大值．
【分析】（1）由已知可证明△AEH≌△CGF（SAS），△BEF≌△DGH（SAS），则S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝﹣2x2+（a+b）x，由二次函数的性质即可求面积最大值；
（2）将a＝4，b＝16代入（1）所得的式子即可．
【解答】解：（1）设AE＝x，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴BE＝DG，HD＝BF，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝ab﹣2×x2﹣2×（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣x2﹣（ab﹣ax﹣bx+x2）＝﹣2x2+（a+b）x，
当x＝时，S四EFGH有最大值，最大值为；
（2）当a＝4，b＝16时，四边形EFGH的面积＝﹣2x2+20x，
∴当x＝4时，四边形EFGH的面积的最大值为48．
【点评】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．
17．（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式；
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）写出把（4，1）换成它关于直线x＝2的对称点（0，1），只有利用待定系数法求出抛物线的解析式与（1）中的解析式相同．
【解答】（1）解：根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1；
（2）题目：已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（0，1），求这个二次函数的表达式；
解：根据题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．（1）解方程：（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0
（2）用配方法确定二次函数y＝﹣x2+5x+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据a＝﹣1直接写出开口方向，利用配方法整理，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0
（x﹣3）（﹣x﹣3）＝0
x﹣3＝0，﹣x﹣3＝0
x1＝3，x2＝﹣3；
（2）y＝﹣x2+5x+3
＝﹣（x2﹣5x+）++3
＝﹣（x﹣）2+；
a＝﹣1，图象的开口向下，
对称轴为x＝，顶点坐标为（，）．
【点评】此题考查因式分解解一元二次方程与二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/8
10:01:26；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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