24.2.1 点和圆的位置关系同步练习（含解析）

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24.2.1
点和圆的位置关系
一．选择题（共12小题）
1．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（　　）
A．1
B．2﹣
C．1﹣
D．﹣
2．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（　　）
A．点B在⊙A上
B．点B在⊙A外
C．点B在⊙A内
D．不能确定
3．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
4．下列说法正确的是（　　）
A．圆中最长的弦是直径
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．过三个点一定能作一个圆
5．下列四个结论，不正确的是（　　）
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
6．下列说法：（1）等弧所对的圆周角相等；（2）过三点可以作一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）半圆是一条弧，其中正确的是（　　）
A．（1）（2）（3）（4）
B．（1）（2）（3）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（4）
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD、OD，若∠BAC＝68°，则∠ODB＝（　　）
A．68°
B．65°
C．56°
D．55°
9．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
10．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（　　）
A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B．假设四边形中有一个角是钝角或直角
C．假设四边形中每一个角均为钝角
D．假设四边形中每一个角均为直角
11．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90°
B．∠B＞90°
C．∠B＜90°
D．AB≠AC
12．用反证法证明“a≥b”时应先假设（　　）
A．a≤b
B．a＞b
C．a＜b
D．a≠b
二．填空题（共8小题）
13．如图，动点E、F分别在正方形ABCD的边AD、BC上，AE＝CF，过点C作CG⊥EF，垂足为G，连接BG，若AB＝4，则线段BG长的最小值为　
　．
14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣3，0）．⊙C的半径为2，E是⊙C上的一动点，点F是AE的中点，则DF最小值为　
　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　
　．
16．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　
　．
17．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BAC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为　
　．
18．如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝　
　．
19．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设　
　．
20．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　
　．
三．解答题（共4小题）
21．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
22．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是　
　．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
24．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
24.2.1
点和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（　　）
A．1
B．2﹣
C．1﹣
D．﹣
【分析】先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AB的直线和⊙C在点C上方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的值最小（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1①，
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，
∵CD⊥AB，
∴k′＝﹣2，
∵C（0，﹣1），
∴b＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣1②，
联立①②得，D（﹣，），
∵C（0，﹣1），
∴CD＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴DE＝CD﹣CE＝﹣1，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝＝，
∴S△ABE的最小值＝AB?DE＝（﹣1）×＝2﹣，
故选：B．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．
2．已知点C为线段AB延长线上的一点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为（　　）
A．点B在⊙A上
B．点B在⊙A外
C．点B在⊙A内
D．不能确定
【分析】根据题意确定AC＞AB，从而确定点与圆的位置关系即可．
【解答】解：∵点C为线段AB延长线上的一点，
∴AC＞AB，
∴以A为圆心，AC长为半径作⊙A，则点B与⊙A的位置关系为点B在⊙A内，
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP＝4cm．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d＝r；点P在圆内?d＜r．
4．下列说法正确的是（　　）
A．圆中最长的弦是直径
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．过三个点一定能作一个圆
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
5．下列四个结论，不正确的是（　　）
①过三点可以作一个圆；
②圆内接四边形对角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；
④相等的圆周角所对的弧也相等．
A．②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【分析】根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，符合题意；
②圆内接四边形对角互补，错误，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故原命题错误，符合题意．
错误的有①②③④，
故选：D．
【点评】考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角定理等知识，解题的关键是熟记圆的有关定义及性质，难度不大．
6．下列说法：（1）等弧所对的圆周角相等；（2）过三点可以作一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）半圆是一条弧，其中正确的是（　　）
A．（1）（2）（3）（4）
B．（1）（2）（3）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（4）
【分析】利用确定圆的条件、圆的有关性质及定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）等弧所对的圆周角相等，正确；
（2）过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误；
（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误；
（4）半圆是一条弧，正确，
其中正确的是（1）（4），
故选：D．
【点评】考查了确定圆的条件、圆的有关性质及定义，属于圆的基础知识，比较简单，解题的关键是牢记有关性质及定义．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD、OD，若∠BAC＝68°，则∠ODB＝（　　）
A．68°
B．65°
C．56°
D．55°
【分析】连接OB，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝BAC＝34°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝68°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝68°，
∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝34°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝68°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD＝（180°﹣68°）＝56°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．
9．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
10．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（　　）
A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B．假设四边形中有一个角是钝角或直角
C．假设四边形中每一个角均为钝角
D．假设四边形中每一个角均为直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形中没有一个角是钝角或直角．
【解答】解：反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步假设四边形中没有一个角是钝角或直角，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须依次否定．
11．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90°
B．∠B＞90°
C．∠B＜90°
D．AB≠AC
【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．
【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．用反证法证明“a≥b”时应先假设（　　）
A．a≤b
B．a＞b
C．a＜b
D．a≠b
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明“a≥b”时，应先假设a＜b．
故选：C．
【点评】本题结合长度的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
二．填空题（共8小题）
13．如图，动点E、F分别在正方形ABCD的边AD、BC上，AE＝CF，过点C作CG⊥EF，垂足为G，连接BG，若AB＝4，则线段BG长的最小值为　﹣　．
【分析】连结AC，取OC中点M，连结
MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：连接AC，交EF于O，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝4，OC＝2，
取OC中点M，连结
MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝＝，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4﹣1＝3，
由勾股定理可得MB＝＝，
在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝OC＝，
∵BG≥BM﹣MG＝﹣，
当B，M，G三点共线时，BG最小＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．
14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D的坐标为（﹣3，0）．⊙C的半径为2，E是⊙C上的一动点，点F是AE的中点，则DF最小值为　1.5　．
【分析】由抛物线与坐标轴的交点坐标的求法求出A、B、C的坐标，得出D是AB的中点，连接BE，得DF是△ABE的中位线，当E为BC与⊙C的交点时，BE的值取最小，求出此时DF的值便是DF的最小值．
【解答】解：连接BE，如图1，
令y＝0，得y＝x2+x﹣4＝0，
解得，x＝﹣9或3，
∴A（﹣9，0），B（3，0），
令x＝0，得y＝x2+x﹣4＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵D（﹣3，0），
∴D是AB的中点，
∵F是AE的中点，
∵DF＝BE，
如图2，当E为BC与⊙C的交点时，BE的值最小，此时DE取最小值．
∵B（3，0），C（0，﹣4），
∴OB＝3，OC＝4，
∴BC＝，
∵CE＝2，
∴BE＝3，
∴DF＝，
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，圆的性质，三角形的中位线性质，勾股定理，关键是确定E点为BC与⊙C的交点时，DF的值最小．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是　（2，1）　．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
16．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　（2，0）　．
【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．
17．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BAC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为　120°　．
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝∠BOC，再利用∠BAC+∠BOC＝180°可计算出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC和∠BOC所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠BOC
∵∠BAC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝120°．
故答案为120°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．也考查了圆周角定理．
18．如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝　1　．
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．
【解答】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形外接圆的性质、等腰三角形三线合一、30°的直角三角形的性质等知识，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理．
19．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设　这两个角所对的边相等　．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．
证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，
故答案为：这两个角所对的边相等．
【点评】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
20．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　AC＝BC　．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．
第一步应先假设AC＝BC，
故答案为：AC＝BC．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
三．解答题（共4小题）
21．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD＝＝5，
∵AF?BD＝AB?AD，
∴AF＝＝，
同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
22．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是　（6，6）　．
【分析】点P的坐标是弦AB，CD的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．
【解答】解：弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；
（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．
【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
24．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解答】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
【点评】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
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日期：2020/9/8
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