24.2.2 直线和圆的位置关系(1)同步练习（含解析）

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24.2.2
直线和圆的位置关系(1)
一．选择题（共9小题）
1．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　）
A．相交
B．相离
C．相切
D．以上都不是
2．已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知线段AB＝2，点A，B到直线l的距离分别为方程x2﹣6x+6＝0的两根，符合条件的直线l有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
4．如图，以矩形ABCD对角线BD上一点O为圆心作⊙O过A点并与CD切于E点，若CD＝3，BC＝5，则⊙O的半径为（　　）
A．
B．3
C．
D．
5．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
6．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（　　）
A．62°
B．31°
C．28°
D．56°
7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（　　）
A．（5，2）
B．（2，4）
C．（1，4）
D．（6，2）
8．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①②③④
9．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（　　）
A．⊙C与直线AB相交
B．⊙C与直线AD相切
C．点A在⊙C上
D．点D在⊙C内
二．填空题（共6小题）
10．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是　
　．
11．直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为　
　．
12．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　
　．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　
　．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC边上取点O画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点；④以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．正确的序号是　
　．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1．当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为　
　．
三．解答题（共3小题）
16．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
17．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）如图1，证明：OD∥BC；
（2）如图2，若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝，求EF的长．
18．如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．
（1）求BD的长；
（2）求证：AC是⊙O的切线．
24.2.2
直线和圆的位置关系(1)
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（　　）
A．相交
B．相离
C．相切
D．以上都不是
【分析】由题意可求⊙P到y轴的距离d为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．
【解答】解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4
∵d＝4＜r＝5
∴y轴与⊙P相交
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
2．已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个数．
【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4，
∴CE＝3，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3，
∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C，
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
3．已知线段AB＝2，点A，B到直线l的距离分别为方程x2﹣6x+6＝0的两根，符合条件的直线l有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【分析】以A、B为圆心、以两根长为半径作圆，利用直线和两圆的位置关系来进行解答．
【解答】解：解方程x2﹣6x+6＝0得x1＝3+，x2＝3﹣，
①当点A到l的距离＞点B到l的距离时，
如图1，分别以A，B为圆心，3+和3﹣为半径画圆，两圆的公切线，即符合条件的直线l；
②当点A到l的距离＜点B到l的距离时，
如图2，分别以A，B为圆心，3﹣和3+为半径画圆，两圆的公切线，即符合条件的直线l．
故符合条线的直线l有2条．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离d＝圆的半径r，直线与圆相切，注意此题两圆恰好内切．
4．如图，以矩形ABCD对角线BD上一点O为圆心作⊙O过A点并与CD切于E点，若CD＝3，BC＝5，则⊙O的半径为（　　）
A．
B．3
C．
D．
【分析】作OF⊥AD于F，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，利用切线的性质OE⊥CD，利用四边形ABCD为矩形得到OF＝DE，DF＝OE＝r，再证明△DOE∽△DBC，利用相似比得到DE＝r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（5﹣r）2+（r）2＝r2，最后解方程即可．
【解答】解：作OF⊥AD于F，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD为切线，
∴OE⊥CD，
易得四边形ABCD为矩形，
∴OF＝DE，DF＝OE＝r，
∵OE∥BC，
∴△DOE∽△DBC，
∴＝，即＝，解得DE＝r，
∴OF＝r，
在Rt△AOF中，OA＝r，AF＝5﹣r，
∴（5﹣r）2+（r）2＝r2，
整理得9r2﹣250r+625＝0，解得r1＝25（舍去），r2＝，
即⊙O的半径为．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
5．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB＝∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（　　）
A．62°
B．31°
C．28°
D．56°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，则利用互余计算出∠POC＝62°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，一般要连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（　　）
A．（5，2）
B．（2，4）
C．（1，4）
D．（6，2）
【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．
【解答】解：如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定，解决本题的关键是掌握切线的判定定理．
8．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①②③④
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
则正确的结论为①②③④．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
9．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（　　）
A．⊙C与直线AB相交
B．⊙C与直线AD相切
C．点A在⊙C上
D．点D在⊙C内
【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，
∴BC＝＝＝12，
∵⊙C的半径长为12，
∴⊙C与直线AB相切，
故A选项不正确，
∵CD＝AB＝5＜12，
∴⊙C与直线AD相交，
故B选项不正确，
∵AC＝13＞12，
∴点A在⊙C外，
故C选项不正确，
∵CD＝5＜12，
∴点D在⊙C内，
故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
10．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是　相交　．
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2，小于⊙O的半径为4，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
11．直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为　﹣＜k＜　．
【分析】根据题意得到A（﹣6，0），B（0，6k），设⊙O于AB相切于C，连接OC，求得∠OAC＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6k），
设⊙O与AB相切于C，
连接OC，
∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＞2，
∴﹣＜k＜，
故答案为﹣＜k＜．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图象与系数的关系，正确的作出图形是解题的关键．
12．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　2　．
【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　27°　．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∵＝，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC边上取点O画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点；④以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．正确的序号是　②③④　．
【分析】连接OB，可得∠ABO＝30°，则∠OBC＝30°，根据三角函数cos∠OBC＝，则BC＝OB，根据直角三角形的性质得OC＝OB＝OA，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长．
【解答】解：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∵cos∠OBC＝，
∴BC＝，
即BC＝，
故①错误，
∵∠OBC＝30°，
∴OC＝OB＝OA，
即OA＝2OC，
故②正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴＝＝，
∴点A、B、D将⊙O的三等分；
故③正确；
∵∠ABO＝∠OBC＝30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．
故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和垂径定理，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1．当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为　　．
【分析】连结OG，如图，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据平移的性质得到CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连结OG，如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵Rt△ABC沿射线CB方向平移，当A1B1与半圆O相切于点D，得△A1B1C1，
∴CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，
∵A1B1与半圆O相切于点D，
∴OD⊥A1B1，
∵BC＝4，线段BC为半圆O的直径，
∴OB＝OC＝2，
∵∠GEO＝∠DEF，
∴Rt△B1OD∽Rt△B1A1C1，
∴＝，即＝，解得OB1＝，
∴BB1＝OB1﹣OB＝﹣2＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共3小题）
16．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．
17．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）如图1，证明：OD∥BC；
（2）如图2，若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝，求EF的长．
【分析】（1）连接OC，证明△OAD≌△OCD（SSS）得∠ADO＝∠CDO，由AD＝CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，推出△ABD为等腰直角三角形，求得∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
又AD＝CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，
∵AB＝AD，AD是圆的切线，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，∠DAF＝45°，
∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∠EAF＝∠FDM，
∴AF＝DF，
∵∠EFM＝∠AFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴AE＝DM，
∵，OA＝，
∴OD＝＝5，
∴AE＝DM＝＝2，DE＝4，
∴EM＝4﹣2＝2，
∴EF＝．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．
（1）求BD的长；
（2）求证：AC是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OD．证得∠BOD＝2∠BAD＝90°，由勾股定理可得出答案；
（2）连接OA．证得∠DFO+∠ODF＝∠CAF+∠OAF＝90°．则OA⊥AC于A，可得出结论．
【解答】（1）解：如图1，连接OD．
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°．
∵AD平分∠BAE，∠BAD＝∠EAD＝45°．
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°．
∴Rt△BOD中，．
（2）证明：如图，连接OA．
∵AC＝FC，
∴∠FAC＝∠CFA．
∵∠DFO＝∠CFA，
∴∠DFO＝∠FAC．
∵OA＝OD，
∴∠OAF＝∠ODF．
由（1）知∠BOD＝90°，
∴∠DFO+∠ODF＝∠CAF+∠OAF＝90°．
∴OA⊥AC于A，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
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日期：2020/9/9
9:05:56；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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