24.2.2 直线和圆的位置关系(2)同步练习（含解析）

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24.2.2
直线和圆的位置关系(2)
一．选择题（共9小题）
1．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A．9
B．10
C．8
D．12
2．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切．
A．3
B．3.5
C．3或4
D．3或3.5
3．已知圆O的半径为R，点O到直线m的距离为d、R、d是方程x2﹣4x+a＝0的两根，当直线m与圆O相切时，a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．无法确定
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（　　）
A．6
B．3
C．6
D．3
5．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（　　）
A．AB＞CE＞CD
B．AB＝CE＞CD
C．AB＞CD＞CE
D．AB＝CD＝CE
7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（　　）
A．4
B．5
C．8
D．16
8．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，O是△ABC的内心，作OD⊥AB于D，则AD的长为（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
9．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（　　）
A．125°
B．120°
C．115°
D．110°
二．填空题（共6小题）
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　
　．
11．直线l经过点A
（4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标　
　．
12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是　
　cm．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　
　．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　
　．
15．如图，△ABC为锐角三角形，I为内心，O为外心，若OI⊥AI，AB＝4，则BE＝　
　．
三．解答题（共3小题）
16．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
17．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC＝5时，求AD的长．
18．如图．已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC，且MN与△ABC的内切圆相切．求MN的最大值．
24.2.2
直线和圆的位置关系(2)
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A．9
B．10
C．8
D．12
【分析】连接OE，延长EO交BF于点M，设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，由勾股定理得出（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，则得出答案．
【解答】解：连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝B′C＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
2．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切．
A．3
B．3.5
C．3或4
D．3或3.5
【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为7，
∴当圆向右移动7﹣1或7+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t＝＝3（s）或t＝＝4（s），
即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．
3．已知圆O的半径为R，点O到直线m的距离为d、R、d是方程x2﹣4x+a＝0的两根，当直线m与圆O相切时，a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．无法确定
【分析】若直线和圆相切，则d＝R．即方程有两个相等的实数根，得16﹣4a＝0，可得a＝4．
【解答】解：∵直线和圆相切，
∴d＝R，
∴△＝16﹣4a＝0，
∴a＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系，关键是熟练运用根的判别式判断方程的根的情况．
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（　　）
A．6
B．3
C．6
D．3
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
5．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，即可求得PB＝PA＝3．
【解答】解：连接OA，OB，OP，
∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PB＝PA＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
6．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（　　）
A．AB＞CE＞CD
B．AB＝CE＞CD
C．AB＞CD＞CE
D．AB＝CD＝CE
【分析】根据∠1＝60°，∠2＝65°，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后可得AB＞BC＞AC，由切线长定理得AC＝CD，BC＝CE，利用等量代换求得AB＞CE＞CD即可．
【解答】解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
∴∠2＞∠1＞∠ABC，
∴AB＞BC＞AC，
∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴AB＞CE＞CD．
故选：A．
【点评】此题主要考查切线长定理和三角形三边关系，三角形内角和定理等知识点，解答此题的关键是利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数．
7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF＝8，则EF的长度为（　　）
A．4
B．5
C．8
D．16
【分析】根据点D是△ABC的内心：在三角形中，三个内角的三个角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．可得BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，再根据EF∥BC，可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，得ED＝EB，FD＝FC，根据BE+CF＝8进而得EF的长度．
【解答】解：∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∴EF＝ED+FD＝BE+CF＝8．
答：EF的长度为8．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心．
8．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，O是△ABC的内心，作OD⊥AB于D，则AD的长为（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【分析】设⊙O与△ABC各边分别相切于D、E、F，如图，连接OD、OE、OF，利用切线的性质得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，再利用四边形OECF为正方形，设CE＝r，则CF＝r，AD＝AE＝6﹣r，BF＝BD＝8﹣r，则6﹣r+8﹣r＝10，然后求出r，从而得到AD的长．
【解答】解：设⊙O与△ABC各边分别相切于D、E、F，如图，
连接OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
易得四边形OECF为正方形，设CE＝r，则CF＝r，AD＝AE＝6﹣r，BF＝BD＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，
∴AD＝6﹣r＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
9．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（　　）
A．125°
B．120°
C．115°
D．110°
【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，可得OB和OC是△ABC的角平分线，再根据三角形内角和定理进而可得∠BOC的度数．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB和OC是△ABC的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　或　．
【分析】作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，根据勾股定理求出AC，分⊙P与AD相切、⊙P与AB相切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算．
【解答】解：作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE＝PC，
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
当⊙P与AB相切时，PF＝PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质、矩形的性质，掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11．直线l经过点A
（4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标　（4﹣，0）或（4+，0）　．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝2，设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，2），
∴AB＝＝2，
设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，
若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，
当AB是⊙O的切线，
∴∠M′C′A＝90°，
∵∠M′AC′＝∠BAO，∠M′C′A＝∠BOA＝90°，
∴△M′AC′∽△BAO，
∴＝，即＝，
解得：m＝4﹣，此时M′（4﹣，0）；
若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，
同理△AMN∽△BAO，则有＝，即＝，
解得：m＝4+．此时M（4+，0），
综上所述，M（4﹣，0）或（4+，0），
故答案为：M（4﹣，0）或（4+，0），
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．
12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是　　cm．
【分析】直接利用菱形的性质结合直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，
设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，
∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，
∴AB＝5cm，
设BO＝4x，则AO＝3x，
故（4x）2+（3x）2＝25，
解得：x＝1，
则AO＝3，BO＝4，
故EO?AB＝AO?BO，
解得：EO＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确画出图形得出菱形对角线的长是解题关键．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　50　．
【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　1　．
【分析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理可得AB＝5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE＝CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE＝CF＝r，所以AF＝AD＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
15．如图，△ABC为锐角三角形，I为内心，O为外心，若OI⊥AI，AB＝4，则BE＝　2　．
【分析】由点I是△ABC的内心，可证明∠BIE＝∠DBI，可得BD＝ID，由OI⊥AI，可得AI＝ID＝BD，证明△BDE∽△ADB，得，即可得出AB＝2．
【解答】解：作△ABC的外接圆，延长AE交⊙O于点D，连接DB，CD，BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠IBE，∠BAE＝∠EAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠BIE＝∠BAI+∠ABI，∠DBI＝∠EBD+∠IBE，
∴∠BIE＝∠DBI，
∴BD＝ID，
∵OI⊥AI，
∴AI＝ID＝BD，
∵∠EBD＝∠DAC＝∠BAD，∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∵AB＝4，
∴BE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的内心和外心的概念，相似三角形的判定和性质，垂径定理．解题的关键是正确理解三角形内心是三角形三条角平分线的交点．
三．解答题（共3小题）
16．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E．
（1）若点D在AC上，连接DE，且AD＝DE，求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝1．BE＝3，求∠ACB的度数．
【分析】（1）连接OE，AE，根据切线的性质与判定即可求出答案．
（2）易证△CAE∽△ABE，所以AE2＝CE?BE，求出AE＝，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）连接OE，AE，
∵AE＝DE，OA＝OE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAE+∠OAE＝∠DEA+∠OEA＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∴△CAE∽△ABE，
∴AE2＝CE?BE，
∴AE2＝1×3，
∴AE＝，
在Rt△ACE中，
∴tan∠ACE＝＝，
∴∠ACE＝60°．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
17．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC＝5时，求AD的长．
【分析】连接OC、OD．根据切线的判定方法证明AC、AD都是圆的切线，再根据切线长定理即可求解．
【解答】解：连接OC、OD．
∵OA是⊙B的直径，
∴∠OCA＝∠ODA＝90°，
∴AC、AD都是⊙O的切线．
∴AD＝AC＝5．
【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、切线的判定定理和切线长定理．
18．如图．已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC，且MN与△ABC的内切圆相切．求MN的最大值．
【分析】设BC＝a，BC边上的高为h，内切圆半径为r．则S△ABC＝pr，从而得出MN是p的二次函数，再求最大值．
【解答】解：设BC＝a，BC边上的高为h，
内切圆半径为r．
∵△AMN∽△ABC，
∴，
MN＝a（1），
∵S△ABC＝ar+br+cr＝（a+b+c）r＝?2pr＝pr，
∴r＝＝，
∴MN＝a（1﹣）＝（1﹣）≤p?＝，
当且仅当，
即a＝时，取等号，
∴MN的最大值为．
【点评】本题查了三角形的内切圆、二次函数的最值和相似三角形的判定和性质．
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日期：2020/9/9
9:09:30；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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