24.4 弧长及扇形的面积同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
24.4
弧长和扇形面积
一．选择题（共12小题）
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　）
A．5
B．π
C．
D．π
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
3．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（　　）
A．π
B．π+1
C．2π+1
D．2π+2
4．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣
B．π﹣2
C．π﹣
D．π﹣2
5．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．π
6．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1
B．π﹣2
C．π﹣3
D．4﹣π
7．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　）
A．36π
B．60π
C．96π
D．100π
8．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（　　）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
10．等底、等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是6分米，圆柱的高是（　　）
A．2分米
B．3分米
C．6分米
D．18分米
11．有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为40厘米，高40厘米，内装蓝色溶液若干．若如图2放置时，测得液面高15厘米；若如图3放置时，测得液面高20厘米；则该玻璃密封器皿总容量为（　　）立方厘米．（结果保留π）
A．13000π
B．14000π
C．15000π
D．16000π
12．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，a＞b，以AB边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体甲，再以BC边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体乙，记两个圆柱体的体积分别为V甲、V乙，侧面积分别为S甲、S乙，则下列式子正确的是（　　）
A．V甲＞V乙，S甲＝S乙
B．V甲＜V乙，S甲＝S乙
C．V甲＝V乙，S甲＝S乙
D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
二．填空题（共8小题）
13．小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为　
　cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝　
　．
15．如图，在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪，草坪的半径长为20m，则草坪的总面积为　
　．（保留π）
16．如图，图中阴影部分是个半圆环，则此图阴影部分的面积是　
　cm2．（π≈3.14）
17．两个圆锥的底面半径之比是2：3，对应的高的比是3：4．其中一个圆锥的体积是24，则另一个圆锥的体积是　
　．
18．将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为　
　cm．
19．一个圆柱体的侧面积是188.4dm2，底面半径是2dm，它的高是　
　dm．（π≈3.14）
20．将一个内径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸的，则鱼缸容积为　
　cm3．
三．解答题（共4小题）
21．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
22．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
23．如图，从一个半径为1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求此圆锥的底面圆的半径．
24．一个圆柱形容器的内半径为10厘米，里面盛有一定高度的水，将一个长25厘米，宽6厘米的长方体金属块完全淹没，结果容器内的水升高了4厘米（没有溢出），问这个金属块的高是多少厘米？（π的取值3）
24.4
弧长和扇形面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　）
A．5
B．π
C．
D．π
【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC＝60°，再利用弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC＝60°．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
【分析】根据矩形的性质和三角函数的定义得到∠BAE＝30°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，矩形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
3．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（　　）
A．π
B．π+1
C．2π+1
D．2π+2
【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，
∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
4．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣
B．π﹣2
C．π﹣
D．π﹣2
【分析】根据垂径定理得到＝，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
5．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．π
【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴﹣﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1
B．π﹣2
C．π﹣3
D．4﹣π
【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积，再减去2个以边长为1的正方形的面积，加上以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
阴影部分的面积是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
7．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　）
A．36π
B．60π
C．96π
D．100π
【分析】首先求得底面周长，即展开得到的扇形的弧长，然后利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用弧长公式得到l与r的关系式，然后利用关系式对应的函数图象对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得2πr＝，
所以l＝r（r＞0）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了函数图象．
9．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（　　）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
【分析】设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，然后利用圆锥和圆柱的体积公式计算．
【解答】解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，
所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱．
10．等底、等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是6分米，圆柱的高是（　　）
A．2分米
B．3分米
C．6分米
D．18分米
【分析】根据圆柱的体积公式V＝sh与圆锥的体积公式V＝sh得出等底等体积的圆锥与圆柱，圆柱的高是圆锥的高的，由此可得出答案．
【解答】解：∵圆柱的体积公式V＝sh，圆锥的体积公式V＝sh，
∴等底等体积的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的，
6×＝2（分米），
故选：A．
【点评】考查了圆柱与圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥与圆柱的计算公式，难度不大．
11．有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为40厘米，高40厘米，内装蓝色溶液若干．若如图2放置时，测得液面高15厘米；若如图3放置时，测得液面高20厘米；则该玻璃密封器皿总容量为（　　）立方厘米．（结果保留π）
A．13000π
B．14000π
C．15000π
D．16000π
【分析】观察图形，可知该玻璃密封器皿可看成高为[40﹣（20﹣15）]cm的圆柱体，再利用圆柱体的体积公式即可求出结论．
【解答】解：π×（）2×[40﹣（20﹣15）]＝14000π（cm3）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆柱的计算，牢记圆柱的体积公式是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，a＞b，以AB边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体甲，再以BC边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体乙，记两个圆柱体的体积分别为V甲、V乙，侧面积分别为S甲、S乙，则下列式子正确的是（　　）
A．V甲＞V乙，S甲＝S乙
B．V甲＜V乙，S甲＝S乙
C．V甲＝V乙，S甲＝S乙
D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
【分析】根据圆柱体的体积＝底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【解答】解：V甲＝π?b2×a＝πab2，
V乙＝π?a2×b＝πba2，
∵πab2＜πba2，
∴V甲＜V乙，
∵S甲＝2πb?a＝2πab，
S乙＝2πa?b＝2πab，
∴S甲＝S乙，
故选：B．
【点评】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
二．填空题（共8小题）
13．小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得的长为36cm，则的长为　12　cm．
【分析】根据的长为36cm，可得半径OA，进而可得的长．
【解答】解：
法一：∵的长为36cm，
∴＝36，
∴OA＝，
则的长为：＝×＝12（cm）；
法二：∵与所对应的圆心角度数的比值为270°：90°＝3：1，
∴与的弧长之比为3：1，
∴的弧长为36÷3＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】本题考查了弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝　30°　．
【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，根据弧长公式得到α＝30°，于是得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝2，
∴∠CAD＝∠BAD，
连接OE，OD，
设∠DOE＝α，
∵劣弧DE的长为，
∴＝，
∴α＝30°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．如图，在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪，草坪的半径长为20m，则草坪的总面积为　200πm2　．（保留π）
【分析】草坪的总面积为三个扇形的面积和，而三个扇形的圆心角的和为180°，然后根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：S草坪＝＝200π（m2），
故答案为200πm2．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了扇形的面积公式．
16．如图，图中阴影部分是个半圆环，则此图阴影部分的面积是　31.4　cm2．（π≈3.14）
【分析】根据圆环的面积公式计算即可求解．
【解答】解：3.14×[（12÷2）2﹣（8÷2）2]
＝3.14×（36﹣16）
＝3.14×20
＝31.4（cm2）．
故答案为：31.4．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，认识平面图形，关键是熟练掌握圆环的面积公式．
17．两个圆锥的底面半径之比是2：3，对应的高的比是3：4．其中一个圆锥的体积是24，则另一个圆锥的体积是　8或72　．
【分析】根据圆锥的体积公式求出两个圆锥的体积比，结合题意计算即可．
【解答】解：设其中一个圆锥的底面半径为2r，高为3h，则另一个圆锥的底面半径为3r，高为4h，
则两个圆锥的体积比为：＝，
其中一个圆锥的体积是24，
则另一个圆锥的体积是24×或24×3，即8或72，
故答案为：8或72．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式是解题的关键．
18．将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为　1　cm．
【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm，
∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，
∴＝3π，
解得：R＝3，
由题意可得：2πr＝，
解得：r＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．
19．一个圆柱体的侧面积是188.4dm2，底面半径是2dm，它的高是　15　dm．（π≈3.14）
【分析】用侧面积除以底面周长即可求得圆柱的高．
【解答】解：∵底面半径是2dm，
∴圆柱的底面周长为：4πdm，
∵圆柱体的侧面积是188.4dm2，
∴高为：188.4÷4π≈15dm，
故答案为：15．
【点评】考查了圆柱的计算，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法，难度不大．
20．将一个内径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸的，则鱼缸容积为　2000π　cm3．
【分析】利用圆柱体体积求法得出水的体积，进而得出鱼缸容积．
【解答】解：∵一个内径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，
∴水的体积为：π×102×10＝1000π（cm3），
∵倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸的，
∴鱼缸容积为：2000πcm3．
故答案为：2000π．
【点评】此题主要考查了圆柱体体积求法，正确掌握圆柱体体积公式是解题关键．
三．解答题（共4小题）
21．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
（2）根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA?sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；
（2）先计算出∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH＝，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵O与边AB相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠A+2∠C＝90°；
（2）解：在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，
作OH⊥BC于H，则BH＝CH，
∵∠C＝∠AOB＝30°，
∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD
＝×6×+
＝3+2π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了切线的性质．
23．如图，从一个半径为1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求此圆锥的底面圆的半径．
【分析】圆锥的底面圆的半径＝扇形的弧长÷2π．
【解答】解：连接BC，依题意，线段BC是圆的直径．
∴，
∴＝＝π．
∴圆锥的底面圆的半径＝π÷2π＝（m）．
答：圆锥的底面圆的半径为m．
【点评】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
24．一个圆柱形容器的内半径为10厘米，里面盛有一定高度的水，将一个长25厘米，宽6厘米的长方体金属块完全淹没，结果容器内的水升高了4厘米（没有溢出），问这个金属块的高是多少厘米？（π的取值3）
【分析】由容器的上升高度得出容积与长方体体积相同，进而得出长方体的高．
【解答】解：设长方形的高是xcm，
则利用体积公式可得25×6x＝π×102×4，
解得x≈8．
答：这个金属块的高是8厘米．
【点评】此题主要考查了实数的运算在实际问题的应用，利用容器的上升高度得出容积与长方体体积相同是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/9
9:15:18；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_