24.1.2 圆的有关性质同步练习（含解析）

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24.1
圆的有关性质(2)
一．选择题（共9小题）
1．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（　　）
A．54°
B．55°
C．56°
D．57°
3．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（　　）
A．25°
B．40°
C．50°
D．60°
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（　　）
A．26°
B．38°
C．52°
D．64°
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（　　）
A．57°
B．52°
C．38°
D．26°
6．如图，A、B、C三点在⊙O上，D是CB延长线上的一点，∠ABD＝40°，那么∠AOC的度数为（　　）
A．80°
B．70°
C．50°
D．40°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．25°
D．40°
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（　　）
A．55°
B．65°
C．110°
D．125°
二．填空题（共6小题）
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　
　．
11．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为　
　．
12．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为　
　．
13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝　
　°．
14．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是　
　°．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且四边形OABC是平行四边形，则∠D＝　
　．
三．解答题（共3小题）
16．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O于点E．连结ED交AB于点F．
（1）求证：△CDE是等腰三角形．
（2）当CD：AC＝2：时，求的值．
18．（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）如图，A，B，C，D四点都在⊙O上，BD为直径，四边形OABC是平行四边形，求∠D的度数．
24.1
圆的有关性质(2)
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（　　）
A．54°
B．55°
C．56°
D．57°
【分析】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O2P得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．
【解答】解：连接O1P，O2P，如图，
∵P在小量角器上对应的刻度为63°，
即∠O1O2P＝63°，
而O1P＝O2P，
∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，
∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（　　）
A．25°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A＝65°，∠D＝60°，
∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，
∵＝150°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
则的度数为60°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（　　）
A．26°
B．38°
C．52°
D．64°
【分析】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝52°，再利用互余计算出∠OCD＝38°，然后利用等腰三角形的性质得到∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠A＝26°，
∴∠BOC＝2∠A＝52°，
∵AB⊥CD，
∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（　　）
A．57°
B．52°
C．38°
D．26°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
6．如图，A、B、C三点在⊙O上，D是CB延长线上的一点，∠ABD＝40°，那么∠AOC的度数为（　　）
A．80°
B．70°
C．50°
D．40°
【分析】作所对的圆周角∠AEC，如图，先利用邻补角计算出∠ABC＝140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E＝40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：所对的圆周角∠AEC，如图，
∵∠ABD＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∵∠AEC+∠ABC＝180°，
∴∠E＝40°，
∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．25°
D．40°
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，
∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（　　）
A．55°
B．65°
C．110°
D．125°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　4﹣4　．
【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF＝45°，根据正切的定义列式计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，作EF⊥OC于F，
∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，
∴CE＝CA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝75°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠ECF＝45°，
设EF＝x，则FC＝x，
在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，
∴OF＝＝x，
由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，
解得，x＝2﹣2，
∵∠EOF＝30°，
∴OE＝2EF＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为　6　．
【分析】由45度角直角三角形边角关系解答即可．
【解答】解：如图AB＝6，∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝＝＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查了特殊直角三角形边角关系，熟练掌握45度角直角三角形边角关系是解题的关键．
12．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为　75°　．
【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB＝150°，然后根据圆周角定理计算∠C的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠C＝∠AOB＝75°．
故答案为75°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝　20　°．
【分析】连接OC，OD，由圆周角定理得出∠COB＝100°，结合＝可求出∠COD的度数，再利用圆周角定理即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：连接OC，OD，如图所示：
∵∠CAB＝50°，
∴∠COB＝2∠AB＝100°．
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝（180°﹣∠COB）＝40°，
∴∠CAD＝∠COD＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，利用等弧对的圆心角相等，求出∠COD的度数是解题的关键．
14．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是　130　°．
【分析】根据题意得到四点A、B、C、D共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ADC＝130°，
故答案为：130．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且四边形OABC是平行四边形，则∠D＝　60°　．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出∠AOC＝∠ABC，再利用圆周角定理、圆内接四边形的性质得出，∠D＝∠AOC＝∠ABC，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠AOC＝∠ABC，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠AOC＝∠ABC，
∴设∠D＝x，则∠ABC＝2x，
∴x+2x＝180°，
解得：x＝60°，
故∠D＝60°．
故答案为：60°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质，正确得出∠D＝∠AOC＝∠ABC是解题关键．
三．解答题（共3小题）
16．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，
同理可得，△OCE的面积＝×OD×CD＝，
∴四边形DOEC的面积＝+＝．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O于点E．连结ED交AB于点F．
（1）求证：△CDE是等腰三角形．
（2）当CD：AC＝2：时，求的值．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，由圆周角定理得出∠AED＝∠B，证出∠AED＝∠C，即可得出结论；
（2）连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，设CD＝2x，AC＝x，则AD＝x，由三角形ADC的面积可得出DH的长，求出AE，则可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠C＝∠AED，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）如图，连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，
设CD＝2x，AC＝x，
∵AB是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝x，
∵S△ADC＝AD?DC＝AC?DH，
∴DH＝x，
∵DE＝CD，
∴CH＝EH＝＝x，
∴AE＝2CH﹣AC＝x．
∴＝．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18．（1）解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
（2）如图，A，B，C，D四点都在⊙O上，BD为直径，四边形OABC是平行四边形，求∠D的度数．
【分析】（1）首先把左边分解因式，然后可得一元一次方程，再解即可；
（2）首先判定四边形OABC是菱形，再证明△OBC是等边三角形，进而可得∠COB＝60°，然后可得答案．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
则x﹣6＝0或x+4＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣4；
（2）∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴AO＝CB，
∵CO＝BO＝AO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵BD为直径，
∴∠DCB＝90°，
∴∠D＝30°．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，以及平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，掌握邻边相等的平行四边形是菱形．
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日期：2020/9/8
10:33:43；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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