25.3 用频率估计概率同步练习（含解析）

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25.3
用频率估计概率
一．选择题（共6小题）
1．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A．11
B．13
C．24
D．30
2．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（　　）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
3．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）
A．30
B．28
C．24
D．20
4．在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（　　）
A．12个
B．20个
C．30个
D．35个
5．在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（　　）
A．52
B．48
C．0.52
D．0.48
6．口袋中有红球白球共10个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该过程，共摸取50次球，发现20次摸到红球，则口袋中红球的个数是（　　）
A．6
B．4
C．3
D．2
二．填空题（共4小题）
7．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有　
　个．
8．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是　
　．
9．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．
那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性　
　“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．
10．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有　
　个．
三．解答题（共2小题）
11．在4件同型号的产品中，1件不合格品，3件合格品．
（1）从这4件产品中随机一次抽取2件进行检测，请用列表或画树状图的方法求抽到两件都是合格品的概率．
（2）在这4件产品中加入x件合格品后，随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，求x的值．
12．某商场在“清明小假期”举行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就可以获得一次转动转盘的机会，小明根据活动情况绘制了一个扇形统计图，如图所示．
（1）求每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数；
（2）小明做了一次实验，他转了200次转盘，总共获得5800元购物券，他平均每转动一次转盘获得的购物券是多少元？
（3）请你说明上述两个结果为什么有差别？
25.3
用频率估计概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A．11
B．13
C．24
D．30
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（　　）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率＝＝0.68，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
3．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　）
A．30
B．28
C．24
D．20
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
【解答】解：根据题意得：
×100%＝30%，
解得：n＝30，
经检验n＝30是原方程的解，
所以估计盒子中小球的个数n为30个．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
4．在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（　　）
A．12个
B．20个
C．30个
D．35个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中蓝球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是分式方程的解，
故袋中蓝球有30个．
故选：C．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
5．在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，则“正面朝下”的频率为（　　）
A．52
B．48
C．0.52
D．0.48
【分析】根据频率＝频数÷总数，进行计算即可．
【解答】解：∵在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数为48，
∴“正面朝下”的频率为＝0.48；
故选：D．
【点评】本题考查频率、频数的关系：频率＝．
6．口袋中有红球白球共10个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该过程，共摸取50次球，发现20次摸到红球，则口袋中红球的个数是（　　）
A．6
B．4
C．3
D．2
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【解答】解：设口袋中红球有x个，
根据题意可得：＝，
解得：x＝4，
即口袋中红球有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
二．填空题（共4小题）
7．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有　14　个．
【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解答】解：∵通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
∴从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中红球有x个，
根据题意，得：＝0.3，
解得x＝14，
经检验：x＝14是分式方程的解，
∴估计袋子中的红球有14个，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
8．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是　0.32　．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．
那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性　小于　“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．
【分析】根据图形中的数据即可解答本题．
【解答】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，
∴凸面向上”的可能性
小于“凹面向上”的可能性．，
故答案为：小于．
【点评】本题考查模拟实验，可能性的大小，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
10．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有　30　个．
【分析】根据口袋中有10个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设口袋中有x个白球，
由题意，得＝，
解得x＝30．
把x＝30代入10+x得，10+30＝40≠0，故x＝30是原方程的解．
答：口袋中约有30个白球．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
三．解答题（共2小题）
11．在4件同型号的产品中，1件不合格品，3件合格品．
（1）从这4件产品中随机一次抽取2件进行检测，请用列表或画树状图的方法求抽到两件都是合格品的概率．
（2）在这4件产品中加入x件合格品后，随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，求x的值．
【分析】（1）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况，合格的有3种情形，再根据概率公式计算即可；
（2）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【解答】解：（1）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽2件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，6种情况．合格的有3种情形
P（抽到的都是合格品）＝＝；
（2）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
【点评】本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
12．某商场在“清明小假期”举行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘进行摇奖活动，并规定顾客每购买200元商品，就可以获得一次转动转盘的机会，小明根据活动情况绘制了一个扇形统计图，如图所示．
（1）求每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数；
（2）小明做了一次实验，他转了200次转盘，总共获得5800元购物券，他平均每转动一次转盘获得的购物券是多少元？
（3）请你说明上述两个结果为什么有差别？
【分析】（1）根据扇形图表示出获得购物券金额进而求出平均数即可；
（2）根据他转了200次转盘，总共获得5800元购物券，5800÷200即可得出平均每转动一次转盘获得的购物券；
（3）根据模拟实验与概率的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）根据扇形图可得出：（100×10%+50×20%+20×30%）÷1＝26（元），
答：每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数为26元；
（2）∵他转了200次转盘，总共获得5800元购物券，
∴他平均每转动一次转盘获得的购物券是＝29（元）．
（3）根据模拟实验不等于概率，只是在试验多次的情况下会接近概率，故两个数据不同．
【点评】此题主要考查了模拟实验以及概率，关键是得到每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；概率是大量实验得到的相对稳定值．
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日期：2020/9/9
9:26:55；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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