3.1.2 等式的性质同步练习（含解析）

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3.1.2
等式的性质
一．等式的性质（共6小题）
1．若ax＝ay，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．x＝y
B．x＝|y|
C．（a﹣1）x＝（a﹣1）y
D．3﹣ax＝3﹣ay
2．下列等式变形正确的是（　　）
A．若﹣2x＝5，则x＝
B．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+1﹣2x＝1
C．若5x﹣6＝﹣2x﹣8，则5x+2x＝8+6
D．若，则2x+3（x﹣1）＝6
3．若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　）
A．a﹣b+2＝0
B．3﹣a＝b﹣1
C．2a＝2b+2
D．﹣＝1
4．观察下列顺序排列的等式：
9×0+1＝1
9×1+2＝11
9×2+3＝21
9×3+4＝31，
猜想第n个等式为　
　（用含有n的等式表示）．
5．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设x＝0.，则10x＝6.，10x＝6+0.，10x＝6+x，解得x＝，即0.．仿此方法，将0.化成分数是　
　，将0.化成分数是　
　．
6．观察下列两个等式：1﹣＝2×1×﹣1，2﹣＝2×2×﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，），都是“同心有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是　
　．
（2）若（a，3）是“同心有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m）　
　“同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
二．一元一次方程的解（共6小题）
7．下列方程中，解是x＝﹣1的是（　　）
A．2x+1＝1
B．1﹣2x＝1
C．＝1
D．+＝﹣2
8．下列方程中，解为x＝1的是（　　）
A．2x﹣3＝1
B．3x+4＝﹣x
C．＝1﹣
D．4x﹣5＝x
9．若整数a使关于x的方程ax+3＝﹣9﹣x有负整数解，且a也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．已知关于x的方程8﹣m+x＝2x的解为x＝1，则m的值是　
　．
11．关于x的方程2x﹣3＝kx的解是整数，则整数k可以取的值是　
　．
12．已知方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
（1）求m，n满足的条件．
（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．
3.1.2
等式的性质
参考答案与试题解析
一．等式的性质（共6小题）
1．若ax＝ay，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．x＝y
B．x＝|y|
C．（a﹣1）x＝（a﹣1）y
D．3﹣ax＝3﹣ay
【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
【解答】解：A、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；
B、当a＝0时，x与|y|不一定相等，故本选项错误；
C、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；
D、等式ax＝ay的两边同时乘﹣1，再同时加上3，该等式仍然成立，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的性质．运用等式性质2时，必须注意等式两边所乘的（或除以的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．
2．下列等式变形正确的是（　　）
A．若﹣2x＝5，则x＝
B．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+1﹣2x＝1
C．若5x﹣6＝﹣2x﹣8，则5x+2x＝8+6
D．若，则2x+3（x﹣1）＝6
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
【解答】解：A、若﹣2x＝5，则x＝﹣，错误，故本选项不符合题意；
B、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，错误，故本选项不符合题意；
C、若5x﹣6＝﹣2x﹣8，则5x+2x＝﹣8+6，错误，故本选项不符合题意；
D、若
+＝1，则2x+3（x﹣1）＝6，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．
3．若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　）
A．a﹣b+2＝0
B．3﹣a＝b﹣1
C．2a＝2b+2
D．﹣＝1
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【解答】解：∵a＝b+2，
∴a﹣b﹣2＝0，
所以A选项不成立；
∵a＝b+2，
∴3﹣a＝3﹣b﹣2＝1﹣b，
所以B选项不成立；
∵a＝b+2，
∴2a＝2b+4，
所以C选项不成立；
∵a＝b+2，
∴﹣＝1，
所以D选项成立．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
4．观察下列顺序排列的等式：
9×0+1＝1
9×1+2＝11
9×2+3＝21
9×3+4＝31，
猜想第n个等式为　9（n﹣1）+n＝10（n﹣1）+1　（用含有n的等式表示）．
【分析】观察所给等式寻找规律即可．
【解答】解：观察下列顺序排列的等式：
9×0+1＝1
9×1+2＝11
9×2+3＝21
9×3+4＝31，
发现规律：
第n个等式为9（n﹣1）+n＝10（n﹣1）+1．
故答案为：9（n﹣1）+n＝10（n﹣1）+1．
【点评】本题考查了等式的性质、列代数式，解决本题的关键是观察等式寻找规律．
5．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.转化为分数时，可设x＝0.，则10x＝6.，10x＝6+0.，10x＝6+x，解得x＝，即0.．仿此方法，将0.化成分数是　　，将0.化成分数是　　．
【分析】设x＝0.①，根据等式性质得：10x＝5+0.②，再由②﹣①得方程10x﹣x＝5，解方程即可；
设x＝0.①，根据等式性质得：100x＝45+0.②，再由②﹣①得方程100x﹣x＝45，解方程即可．
【解答】解：设x＝0.①，根据等式性质，得：
10x＝5.，
即10x＝5+0.②，
由②﹣①得：10x﹣x＝5，
解方程得：x＝．
设x＝0.①，根据等式性质，得：
100x＝45.，
即100x＝45+0.②，
由②﹣①得：100x﹣x＝45，
即：99x＝45，
解方程得：x＝．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．
6．观察下列两个等式：1﹣＝2×1×﹣1，2﹣＝2×2×﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，），都是“同心有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是　（3，）　．
（2）若（a，3）是“同心有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“同心有理数对”，则（﹣n，﹣m）　是　“同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
【分析】（1）根据：使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，判断出数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是哪个即可．
（2）根据（a，3）是“同心有理数对”，可得：a﹣3＝6a﹣1，据此求出a的值是多少即可．
（3）根据（m，n）是“同心有理数对”，可得：m﹣n＝2mn﹣1，据此判断出（﹣n，﹣m）是不是同心有理数对即可．
【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，2×（﹣2）×1﹣1＝﹣5，﹣3≠﹣5，
∴数对（﹣2，1）不是“同心有理数对”；
∵3﹣＝，2×3×﹣1＝，
∴3﹣＝2×3×﹣1，
∴（3，）是“同心有理数对”，
∴数对（﹣2，1），（3，）是“同心有理数对”的是．
（2）∵（a，3）是“同心有理数对”．
∴a﹣3＝6a﹣1，
∴．
（3）∵（m，n）是“同心有理数对”，
∴m﹣n＝2mn﹣1．
∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n＝2mn﹣1，
∴（﹣n，﹣m）是“同心有理数对”．
故答案为：（3，）；是．
【点评】此题主要考查了等式的性质，以及同心有理数对的含义和判断，要熟练掌握．
二．一元一次方程的解（共6小题）
7．下列方程中，解是x＝﹣1的是（　　）
A．2x+1＝1
B．1﹣2x＝1
C．＝1
D．+＝﹣2
【分析】将x＝﹣1代入，找出能满足左边＝右边的方程．
【解答】解：A、把x＝﹣1代入，左边＝2×（﹣1）+1＝﹣1≠右边，即x＝﹣1不是该方程的解．
B、把x＝﹣1代入，左边＝1﹣2×（﹣1）＝3≠右边，即x＝﹣1不是该方程的解．
C、把x＝﹣1代入，左边＝＝0≠右边，即x＝﹣1不是该方程的解．
D、把x＝﹣1代入，左边＝+＝﹣2＝右边，即x＝﹣1是该方程的解．
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解，使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
8．下列方程中，解为x＝1的是（　　）
A．2x﹣3＝1
B．3x+4＝﹣x
C．＝1﹣
D．4x﹣5＝x
【分析】将x＝1代入各选项中的方程检验即可得到结果．
【解答】解：A、将x＝1代入方程左边＝2×1﹣3＝﹣1，右边＝1，左边≠右边，x＝1不是方程的解；
B、将x＝1代入方程左边＝3×1+4＝7，右边＝﹣1，左边≠右边，x＝1不是方程的解；
C、将x＝1代入方程右边＝1﹣＝，左边＝，左边＝右边，x＝1是方程的解；
D、将x＝1代入方程左边＝4×1﹣5＝0，右边＝1，左边≠右边，x＝1不是方程的解，
故选：C．
【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．若整数a使关于x的方程ax+3＝﹣9﹣x有负整数解，且a也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出四条直线在平面内交点的个数；解方程ax+3＝﹣9﹣x，得x＝﹣，根据题意x是负整数，a是整数，所以a+1＝1或2或3或4或6或12，解出a的值即可解决问题．
【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点，
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点，
（3）当两两直线平行时，有4个交点，
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点，
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点，
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点，
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点，
故四条直线在平面内交点的个数是0或1或3或4或5或6；
解方程ax+3＝﹣9﹣x得x＝﹣，
∵x是负整数，a是整数，
∴a+1＝1或2或3或4或6或12，
解得a＝0或1或2或3或5或11．
综上所述，a＝0或1或3或5，满足条件的所有a的个数为4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．同时考查了解一元一次方程，含有参数的方程在解方程过程中要把参数也看成“数”处理，避免与未知数“x”搞混．
10．已知关于x的方程8﹣m+x＝2x的解为x＝1，则m的值是　7　．
【分析】根据题意，将x＝1代入已知方程，列出关于系数m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵关于x的方程8﹣m+x＝2x的解是x＝1，
∴x＝1满足关于x的方程8﹣m+x＝2x，
∴8﹣m+1＝2，
解得m＝7．
故答案是：7．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
11．关于x的方程2x﹣3＝kx的解是整数，则整数k可以取的值是　±1或3或5　．
【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值．
【解答】解：移项、合并，得（2﹣k）x＝3，
解得x＝，
∵x为整数，k为整数，
∴，，
解得k＝±1或3或5．
故答案为：±1或3或5．
【点评】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值．
12．已知方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
（1）求m，n满足的条件．
（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；
（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．
【解答】解：（1）因为方程（m+1）xn﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．
所以m+1≠0，且n﹣1＝1，
所以m≠﹣1，且n＝2；
（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，
因为m为整数，且方程的解为正整数，
所以m+1为正整数．
当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；
当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；
所以m的取值为0或2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出m的值．
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日期：2020/9/11
9:43:01；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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