4.3.1 角同步练习（含解析）
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4.3.1
角
一．角的概念（共6小题）
1．如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．140°
D．150°
2．如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝
．
5．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，射线OD、OE将∠BOC三等分，则∠AOD＝
．
6．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
二．钟面角（共6小题）
7．某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角是（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
8．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
9．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86°
B．68°
C．67°
D．87°
10．小张家里的挂钟指向9：30，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是
．
11．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是
度．
12．某电视台录制的节目在周五21：10播出，请你计算出此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？
三．方向角（共6小题）
13．若把钟面上的每个刻度均看作一个点，那么表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为（ ）
A．北偏东60°
B．北偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏东30°
14．已知在点O北偏西50°的某处有一点A，在点O南偏西30°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
15．为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（ ）
A．南偏东44°
B．南偏西44°
C．北偏东46°
D．北偏西46°
16．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西
度的走向施工，才能使公路准确接通．
17．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝
度．
18．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
四．度分秒的换算（共6小题）
19．计算：2.5°＝（ ）
A．15′
B．25′
C．150′
D．250′
20．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠A＜∠B＜∠C
C．∠B＞∠A＞∠C
D．∠C＞∠A＞∠B
21．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是（ ）
A．80.6°
B．40°
C．80.8°或39.8°
D．80.6°或40°
22．计算：65°19′48″+35°17′6″＝
（将计算结果换算成度）．
23．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是
．
24．计算：
（1）（﹣10）+（+3）+（﹣5）﹣（﹣7）
（2）（﹣2）2÷4+（﹣3）
（3）
（4）22°53′×3+107°45′÷5
五．作图—基本作图（共6小题）
25．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
26．如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．15
B．13
C．11
D．10
27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
28．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为
．
29．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为
．
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．
4.3.1
角
参考答案与试题解析
一．角的概念（共6小题）
1．如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．140°
D．150°
【分析】根据邻补角性质，可得∠AOC+∠BOC＝180°，结合已知∠AOC＝30°，可求∠BOC．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查邻补角的性质以及角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2．如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【分析】根据平角的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，关键是注意用三个大写字母表示，顶点字母要写在中间；唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
4．如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝ 110° ．
【分析】直接利用已知得出∠BOC的度数，再利用邻补角的定义得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】此题主要考查了角的概念，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
5．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，射线OD、OE将∠BOC三等分，则∠AOD＝ 102° ．
【分析】依据邻补角以及三等分线的定义，即可得到∠COD的度数，进而得出∠AOD的度数
【解答】解：∵点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，
∴∠BOC＝180°﹣63°＝117°，
又∵射线OD、OE将∠BOC三等分，
∴∠COD＝∠BOC＝39°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝63°+39°＝102°，
故答案为：102°．
【点评】此题考查了邻补角的概念、以及角的概念．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
6．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
【分析】设出∠BOC＝x°，根据两角的关系可用x表示出∠AOC，由∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝180°写出关于x的方程，解方程问题就得以解决．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠AOC＝（3x+20）°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝x°+（3x+20）°＝（4x+20）°＝180°，
解得x＝40，
答：∠BOC的度数是40°
【点评】本题考查的角的计算，解题的关键是拆分平角，并记住平角等于180°．
二．钟面角（共6小题）
7．某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角是（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：时针与分针相距3+＝（份），
时钟面上的时针与分针的夹角是30°×＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
8．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
【分析】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角，“钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°”是常用的基本知识．
9．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86°
B．68°
C．67°
D．87°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：8：28时，时针与分针相距2++＝份，
8：28时，时针与分针所夹的角是30×＝86°，
故选：A．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题的关键．
10．小张家里的挂钟指向9：30，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是 105° ．
【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字．
【解答】解：3×30°+15°＝105°．
∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
11．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是 67.5 度．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解答】解：∵360°÷12＝30°，
∴6时45分时，此时钟面上时针与分针夹角的度数是：30°×2+×30°＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
12．某电视台录制的节目在周五21：10播出，请你计算出此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？
【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．
【解答】解：21点时分针与时针所成的角是90°，
6°×10＝60°，0.5°×10＝5°，
∴21：10分针与时针所成的角为：90°+60°﹣5°＝145°．
【点评】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．
三．方向角（共6小题）
13．若把钟面上的每个刻度均看作一个点，那么表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为（ ）
A．北偏东60°
B．北偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏东30°
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解答】解：表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为北偏东60°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
14．已知在点O北偏西50°的某处有一点A，在点O南偏西30°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
【分析】直接利用方向角定义得出∠AOB＝180°﹣50°﹣30°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵点O北偏西60°的某处有一点A，
在点O南偏西20°的某处有一点B，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角问题，根据题意画出图形是解题的关键．
15．为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（ ）
A．南偏东44°
B．南偏西44°
C．北偏东46°
D．北偏西46°
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据定义就可以解决．
【解答】解：如图：
因为AM⊥BM，
所以∠2+∠3＝90°，
因为南北方向的直线平行，
所以∠2＝46°，∠1＝∠3，
所以∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣46°＝44°，
所以∠1＝44°，
所以起火点M在观测台A的南偏西44°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
16．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西 55 度的走向施工，才能使公路准确接通．
【分析】先求出∠COD，然后根据方向角的知识即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵AD∥OC，
∴∠COD＝∠ADO＝55°，
即乙地公路走向应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．
故答案为：55．
【点评】此题考查了方向角的知识，解答本题的关键是求出∠COD的度数，另外要熟练方向角的表示方法．
17．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝ 25 度．
【分析】根据方位角的概念，画出方位角，利用平行线的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了方向角的知识，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，然后利用平行线的性质求解．
18．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
【分析】（1）依据方向角的定义，即可得到表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）依据∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，即可得到∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，进而得出射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【解答】解：（1）如图所示：OH表示南偏西50°方向，ON表示东南方向；
（2）∵∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，
∴∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，
∴射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【点评】本题主要考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
四．度分秒的换算（共6小题）
19．计算：2.5°＝（ ）
A．15′
B．25′
C．150′
D．250′
【分析】根据“1度＝60分，即1°＝60′”解答．
【解答】解：2.5°＝2.5×60′＝150′．
故选：C．
【点评】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
20．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠A＜∠B＜∠C
C．∠B＞∠A＞∠C
D．∠C＞∠A＞∠B
【分析】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：∠A＝25.12°，∠B＝25°12′＝25.2°，∠C＝1518′＝25.3°，
∠A＜∠B＜∠C，
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键．
21．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是（ ）
A．80.6°
B．40°
C．80.8°或39.8°
D．80.6°或40°
【分析】根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝60.3°+20°30′＝80.8°，
∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝60.3°﹣20°30′＝39.8°，
故选：C．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用角的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
22．计算：65°19′48″+35°17′6″＝ 100.615° （将计算结果换算成度）．
【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答．
【解答】解：65°19′48″+35°17′6″
＝100°36′54″，
∵54÷60＝0.9，（36+0.9）÷60＝0.615，100+0.615＝100.615，
∴100°36′54″＝100.615°．
故答案是：100.615°．
【点评】本题考查了角度的计算和度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
23．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是 126°42′32″ ．
【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案为：126°42′32″．
【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．
24．计算：
（1）（﹣10）+（+3）+（﹣5）﹣（﹣7）
（2）（﹣2）2÷4+（﹣3）
（3）
（4）22°53′×3+107°45′÷5
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算可得；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（4）先进行度、分、秒的乘除法计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣10+3﹣5+7
＝3+7﹣10﹣5
＝﹣5；
（2）原式＝4÷4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2；
（3）原式＝﹣8×﹣2
＝﹣1﹣2
＝﹣3；
（4）原式＝68°39′+21°33′
＝90°12′．
【点评】本题主要考查度、分、秒的混合运算和有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
五．作图—基本作图（共6小题）
25．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
26．如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．15
B．13
C．11
D．10
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；
④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 12 ．
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
29．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为 70°或130° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：由题意得，
直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B＝40°，
∵∠ACD＝30°，
如图1，∴∠ACB＝40°+30°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；
如图2，∴∠ACB＝40°﹣30°＝10°，
∴∠BAC＝180°﹣10°﹣40°＝130°，
综上所述，∠BAC的度数为70°或130°，
故答案为：70°或130°．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠ACB的度数是解题的关键．
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；
（2）∵点D为BC边的中点，DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．
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日期：2020/9/13
9:03:40；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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4.3.1
角
一．角的概念（共6小题）
1．如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．140°
D．150°
2．如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝
．
5．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，射线OD、OE将∠BOC三等分，则∠AOD＝
．
6．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
二．钟面角（共6小题）
7．某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角是（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
8．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
9．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86°
B．68°
C．67°
D．87°
10．小张家里的挂钟指向9：30，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是
．
11．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是
度．
12．某电视台录制的节目在周五21：10播出，请你计算出此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？
三．方向角（共6小题）
13．若把钟面上的每个刻度均看作一个点，那么表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为（ ）
A．北偏东60°
B．北偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏东30°
14．已知在点O北偏西50°的某处有一点A，在点O南偏西30°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
15．为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（ ）
A．南偏东44°
B．南偏西44°
C．北偏东46°
D．北偏西46°
16．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西
度的走向施工，才能使公路准确接通．
17．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝
度．
18．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
四．度分秒的换算（共6小题）
19．计算：2.5°＝（ ）
A．15′
B．25′
C．150′
D．250′
20．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠A＜∠B＜∠C
C．∠B＞∠A＞∠C
D．∠C＞∠A＞∠B
21．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是（ ）
A．80.6°
B．40°
C．80.8°或39.8°
D．80.6°或40°
22．计算：65°19′48″+35°17′6″＝
（将计算结果换算成度）．
23．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是
．
24．计算：
（1）（﹣10）+（+3）+（﹣5）﹣（﹣7）
（2）（﹣2）2÷4+（﹣3）
（3）
（4）22°53′×3+107°45′÷5
五．作图—基本作图（共6小题）
25．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
26．如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．15
B．13
C．11
D．10
27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
28．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为
．
29．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为
．
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．
4.3.1
角
参考答案与试题解析
一．角的概念（共6小题）
1．如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．140°
D．150°
【分析】根据邻补角性质，可得∠AOC+∠BOC＝180°，结合已知∠AOC＝30°，可求∠BOC．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查邻补角的性质以及角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
2．如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【分析】根据平角的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，关键是注意用三个大写字母表示，顶点字母要写在中间；唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
4．如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝ 110° ．
【分析】直接利用已知得出∠BOC的度数，再利用邻补角的定义得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】此题主要考查了角的概念，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
5．如图，已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，射线OD、OE将∠BOC三等分，则∠AOD＝ 102° ．
【分析】依据邻补角以及三等分线的定义，即可得到∠COD的度数，进而得出∠AOD的度数
【解答】解：∵点O是直线AB上一点，∠AOC＝63°，
∴∠BOC＝180°﹣63°＝117°，
又∵射线OD、OE将∠BOC三等分，
∴∠COD＝∠BOC＝39°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝63°+39°＝102°，
故答案为：102°．
【点评】此题考查了邻补角的概念、以及角的概念．有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
6．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
【分析】设出∠BOC＝x°，根据两角的关系可用x表示出∠AOC，由∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝180°写出关于x的方程，解方程问题就得以解决．
【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠AOC＝（3x+20）°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝x°+（3x+20）°＝（4x+20）°＝180°，
解得x＝40，
答：∠BOC的度数是40°
【点评】本题考查的角的计算，解题的关键是拆分平角，并记住平角等于180°．
二．钟面角（共6小题）
7．某一时刻，时钟上显示的时间是9点30分，则此时时针与分针的夹角是（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：时针与分针相距3+＝（份），
时钟面上的时针与分针的夹角是30°×＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
8．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°
B．30°
C．75°
D．60°
【分析】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角，“钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°”是常用的基本知识．
9．时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86°
B．68°
C．67°
D．87°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：8：28时，时针与分针相距2++＝份，
8：28时，时针与分针所夹的角是30×＝86°，
故选：A．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题的关键．
10．小张家里的挂钟指向9：30，此时该挂钟的时针与分针所夹的角是 105° ．
【分析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字．
【解答】解：3×30°+15°＝105°．
∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
11．若钟表显示时间是6时45分，则此时钟面上时针与分针夹角的度数是 67.5 度．
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解答】解：∵360°÷12＝30°，
∴6时45分时，此时钟面上时针与分针夹角的度数是：30°×2+×30°＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
12．某电视台录制的节目在周五21：10播出，请你计算出此时时钟上的分针与时针所成的角是多少度？
【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．
【解答】解：21点时分针与时针所成的角是90°，
6°×10＝60°，0.5°×10＝5°，
∴21：10分针与时针所成的角为：90°+60°﹣5°＝145°．
【点评】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．
三．方向角（共6小题）
13．若把钟面上的每个刻度均看作一个点，那么表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为（ ）
A．北偏东60°
B．北偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏东30°
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解答】解：表示2时的刻度在表示12时的刻度的方向为北偏东60°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
14．已知在点O北偏西50°的某处有一点A，在点O南偏西30°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．80°
D．100°
【分析】直接利用方向角定义得出∠AOB＝180°﹣50°﹣30°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵点O北偏西60°的某处有一点A，
在点O南偏西20°的某处有一点B，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角问题，根据题意画出图形是解题的关键．
15．为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（ ）
A．南偏东44°
B．南偏西44°
C．北偏东46°
D．北偏西46°
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度．根据定义就可以解决．
【解答】解：如图：
因为AM⊥BM，
所以∠2+∠3＝90°，
因为南北方向的直线平行，
所以∠2＝46°，∠1＝∠3，
所以∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣46°＝44°，
所以∠1＝44°，
所以起火点M在观测台A的南偏西44°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是做这类题的关键．
16．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西 55 度的走向施工，才能使公路准确接通．
【分析】先求出∠COD，然后根据方向角的知识即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵AD∥OC，
∴∠COD＝∠ADO＝55°，
即乙地公路走向应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．
故答案为：55．
【点评】此题考查了方向角的知识，解答本题的关键是求出∠COD的度数，另外要熟练方向角的表示方法．
17．张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝ 25 度．
【分析】根据方位角的概念，画出方位角，利用平行线的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠1＝60°，
∴∠ABE＝∠DAB＝60°，
又∵∠CBE＝35°，
∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了方向角的知识，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，然后利用平行线的性质求解．
18．如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
【分析】（1）依据方向角的定义，即可得到表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）依据∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，即可得到∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，进而得出射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【解答】解：（1）如图所示：OH表示南偏西50°方向，ON表示东南方向；
（2）∵∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，
∴∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，
∴射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【点评】本题主要考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
四．度分秒的换算（共6小题）
19．计算：2.5°＝（ ）
A．15′
B．25′
C．150′
D．250′
【分析】根据“1度＝60分，即1°＝60′”解答．
【解答】解：2.5°＝2.5×60′＝150′．
故选：C．
【点评】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．
20．已知∠A＝25.12°，∠B＝25°12′，∠C＝1518′，那么它们的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠A＜∠B＜∠C
C．∠B＞∠A＞∠C
D．∠C＞∠A＞∠B
【分析】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案．
【解答】解：∠A＝25.12°，∠B＝25°12′＝25.2°，∠C＝1518′＝25.3°，
∠A＜∠B＜∠C，
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键．
21．在同一平面上，若∠BOA＝60.3°，∠BOC＝20°30′，则∠AOC的度数是（ ）
A．80.6°
B．40°
C．80.8°或39.8°
D．80.6°或40°
【分析】根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∠AOC＝∠BOA+∠BOC＝60.3°+20°30′＝80.8°，
∠AOC＝∠BOA﹣∠BOC＝60.3°﹣20°30′＝39.8°，
故选：C．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用角的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
22．计算：65°19′48″+35°17′6″＝ 100.615° （将计算结果换算成度）．
【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答．
【解答】解：65°19′48″+35°17′6″
＝100°36′54″，
∵54÷60＝0.9，（36+0.9）÷60＝0.615，100+0.615＝100.615，
∴100°36′54″＝100.615°．
故答案是：100.615°．
【点评】本题考查了角度的计算和度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
23．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是 126°42′32″ ．
【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案为：126°42′32″．
【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．
24．计算：
（1）（﹣10）+（+3）+（﹣5）﹣（﹣7）
（2）（﹣2）2÷4+（﹣3）
（3）
（4）22°53′×3+107°45′÷5
【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算可得；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（4）先进行度、分、秒的乘除法计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣10+3﹣5+7
＝3+7﹣10﹣5
＝﹣5；
（2）原式＝4÷4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2；
（3）原式＝﹣8×﹣2
＝﹣1﹣2
＝﹣3；
（4）原式＝68°39′+21°33′
＝90°12′．
【点评】本题主要考查度、分、秒的混合运算和有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
五．作图—基本作图（共6小题）
25．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
26．如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．15
B．13
C．11
D．10
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；
④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 12 ．
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
29．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为 70°或130° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：由题意得，
直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B＝40°，
∵∠ACD＝30°，
如图1，∴∠ACB＝40°+30°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；
如图2，∴∠ACB＝40°﹣30°＝10°，
∴∠BAC＝180°﹣10°﹣40°＝130°，
综上所述，∠BAC的度数为70°或130°，
故答案为：70°或130°．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠ACB的度数是解题的关键．
30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边的中点．
（1）过点D作直线DE⊥BC，交线段AB于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CE，求证：AE＝CE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；
（2）∵点D为BC边的中点，DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AE＝CE．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，正确的作出图形是解题的关键．
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日期：2020/9/13
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