6.3 实数同步练习（含解析）
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6.2
实数
一．无理数（共6小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14
D．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．3.1415
3．实数、、﹣π、、0.101001中，无理数有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在﹣这五个实数中，无理数有
个．
5．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有
个无理数．
6．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
二．实数（共6小题）
7．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是（ ）
A．②③
B．①③
C．①④
D．②④
8．下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．有最小的正整数，没有最小的整数
C．a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a⊥c
D．内错角相等
9．下列各数中是有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．π
10．已知实数﹣，0.16，，，，，其中为分数的是
．
11．无理数是一个无限不循环小数，它的小数点后百分位上的数字是
12．将下列各数的序号填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…，0，，﹣，，
有理数集合：{
…}；
无理数集合：{
…}；
正实数集合：{
…}；
整数集合：{
…}；
三．实数的性质（共6小题）
13．的倒数为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．
14．已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．﹣2
15．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
16．9的平方根是
，的相反数是
，|﹣3|＝
．
17．﹣π的相反数为
，的绝对值是
．
18．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
四．实数与数轴（共6小题）
19．已知实数a、b、c为数轴上对应的点（如图所示），则下列各式中正确的是（ ）
A．bc＞ab
B．a﹣c＜a﹣b
C．
D．b+c＞a+b
20．关于，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．若n＜＜n+1，则n＝2
D．它可以表示体积为6的正方形的棱长
21．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc
B．a+b＞c+b
C．a+c＞b+c
D．ab＞cb
22．如图所示，数轴上表示3，的对应点分别为C、B．点C是AB的中点，则点A表示的数是
．
23．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B．
①线段AB＝
；
②点A表示的数为
．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
五．实数大小比较（共6小题）
25．已知a＝3，b＝2，c＝，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
26．在实数﹣1，，0，中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．
27．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．2
28．比较大小：
．（填“＞”、“＜”或“＝”）
29．比较大小：4
（填“＞”“＜”或“＝”）．
30．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根；②3的平方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用＜连接大小．
六．估算无理数的大小（共6小题）
31．已知n是正整数，并且n﹣1＜3+＜n，则n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
32．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
33．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间
B．﹣1和﹣2之间
C．﹣2和﹣3之间
D．﹣3和﹣4之间
34．已知实数的整数部分是m，小数部分是n，则＝
．
35．最接近﹣的整数是
．
36．已知：实数a为的小数部分，b是9的平方根，求式子2b﹣a的值．
七．实数的运算（共6小题）
37．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3
B．＝2
C．
D．＝2
38．以下说法正确的是（ ）
A．两个无理数之和一定是无理数
B．带根号的数都是无理数
C．无理数都是无限小数
D．所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数．
39．在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
40．计算：（1）+（﹣1）2020+＝
；
（2）|﹣2|+＝
．
41．计算：
（1）3﹣5＝
；
（2）（﹣3）2＝
；
（3）＝
；
（4）﹣＝
；
（5）6﹣2＝
；
（6）|2﹣|＝
．
42．﹣12020+++|﹣2|．
6.2
实数
参考答案与试题解析
一．无理数（共6小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14
D．
【分析】根据无理数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．
5
是无理数2是整数，属于有理数，故选项正确；
B．是分数，属于有理数，故选项错误；
C．3.14是分数，属于有理数，故选项错误；
D．＝﹣3是整数，属于有理数，故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．3.1415
【分析】无理数常见的三种类型是：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数，如2π．据此解答即可．
【解答】解：A、＝2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、属于开不尽的方根，是无理数，故此选项符合题意；
C、﹣是有理数，故此选项不符合题意；
D、3.1415是有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的认识，掌握常见无理数的类型是解题的关键．
3．实数、、﹣π、、0.101001中，无理数有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：＝4，，0.101001是有理数，
无理数有：，﹣π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．在﹣这五个实数中，无理数有 2 个．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：＝2，﹣，0.6，这些数是有理数，
所给数据中无理数有：﹣，，共有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
5．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有 2 个无理数．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）等形式．
6．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
【分析】根据有理数与无理数的定义看判定求解．
【解答】解：有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），
无理数集合：（，﹣，，…）．
【点评】本题主要考查了有理数与无理数的定义．有理数是整数与分数的统称；无理数是无限不循环小数．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．开方开不尽的数也是无理数．
二．实数（共6小题）
7．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是（ ）
A．②③
B．①③
C．①④
D．②④
【分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．
【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，
所以表述正确的序号是②③；
故选：A．
【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．有最小的正整数，没有最小的整数
C．a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a⊥c
D．内错角相等
【分析】A、根据无理数的定义即可判定；
B、根据整数的定义可以判断；
C、根据在同一平面内，垂直同一直线的两直线互相平行可判断；
D、根据平行线的性质可以判断．
【解答】解：A、无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故选项错误；
B、有最小的正整数是1，没有最小的整数，故选项正确；
C、在同一平面内，a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a∥c，故选项错误；
D、两直线平行，内错角相等，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的定义，平行线的性质，实数是有理数和无理数统称．要求掌握这些基本概念并迅速做出判断．
9．下列各数中是有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．π
【分析】根据有理数的意义，可得答案．
【解答】解：﹣是有理数，
，，π是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
10．已知实数﹣，0.16，，，，，其中为分数的是 ﹣，0.16， ．
【分析】有理数包括整数和分数，，和不是有理数，即也不是分数．
【解答】解：＝1.1，
在实数﹣，0.16，，，，中，分数有﹣，0.16，．
故答案为：﹣，0.16，．
【点评】本题考查了有理数和分数的运用，注意：整数和分数统称有理数，即分数属于有理数．
11．无理数是一个无限不循环小数，它的小数点后百分位上的数字是 6
【分析】求得3.16的平方小于10而3.17的平方大于10，则可得答案．
【解答】解：∵3.162＝9.9856，3.172＝10.0489
∴3.16＜＜3.17
∴的小数点后百分位上的数字是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了实数的相关计算，属于基础知识的考查，比较简单．
12．将下列各数的序号填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…，0，，﹣，，
有理数集合：{ ，3.1415926，﹣0.456，0，， …}；
无理数集合：{ π，3.030030003…，﹣， …}；
正实数集合：{ ，π，3.1415926，3.030030003…，，， …}；
整数集合：{ ，0， …}；
【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．
【解答】解：根据定义知：有理数有：，3.1415926，﹣0.456，0，，；
无理数有：π，3.030030003…，﹣，；
正实数有：，π，3.1415926，3.030030003…，，，；
整数有：，0，；
【点评】本题考查了实数的分类及各种数的定义，要求学生熟练掌握实数的分类．
三．实数的性质（共6小题）
13．的倒数为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：的倒数是4，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
14．已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．﹣2
【分析】m，n互为倒数，则mn＝1；|m|＝1，则m＝±1，求出n代入所求的代数式即可求解．
【解答】解：∵m，n互为倒数，
∴mn＝1，
∵|m|＝1，
∴m＝±1，
当m＝1时，n＝1；
当m＝﹣1时，n＝﹣1；
∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值、倒数的定义，求代数式的值．解题的关键是掌握倒数、绝对值的定义，理解mn＝1．
15．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
16．9的平方根是 ±3 ，的相反数是 ﹣ ，|﹣3|＝ 3﹣ ．
【分析】根据平方根、相反数、绝对值的定义求解即可．
【解答】解：9的平方根是±3；
的相反数是﹣；
|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3﹣．
故答案为：±3，﹣，3﹣．
【点评】此题主要考查了相反数、绝对值、平方根．解题的关键是掌握相反数、绝对值、平方根等概念．
17．﹣π的相反数为 π ，的绝对值是 ．
【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．绝对值的求法：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．据此解答即可．
【解答】解：﹣π的相反数是π；的绝对值是．
故答案为：π，．
【点评】此题考查了相反数、绝对值的性质，要求掌握相反数、绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
18．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如和，和；
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【解答】解：（1）如＝0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵和互为相反数，
∴＝0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
四．实数与数轴（共6小题）
19．已知实数a、b、c为数轴上对应的点（如图所示），则下列各式中正确的是（ ）
A．bc＞ab
B．a﹣c＜a﹣b
C．
D．b+c＞a+b
【分析】由图象可知a＞0，c＜b＜0，再根据不等式的性质，每个选项进行计算即可．
【解答】解：由图可知，a＞0，c＜b＜0，
∵bc＞0，ac＜0，
∴bc＞ac，故A选项正确；
∵c＜b＜0，
∴﹣c＞﹣b＞0，
∴a﹣c＞a﹣b，故B选项错误；
∵c＜a，b＜0，
∴，故C选项错误；
∵c＜a，b＜0，
∴b+c＜a+b，故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数与数轴上的点是一一对应关系及不等式的性质，合理应运不等式的性质进行计算是解决本题的关键．
20．关于，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．若n＜＜n+1，则n＝2
D．它可以表示体积为6的正方形的棱长
【分析】根据无理数的和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断．
【解答】解：A因为不能完全开立方，所以是无理数，所以A正确；
B因为是一个实数，实数与数轴上的点一一对应，所以B正确；
C因为，1＜＜2，所以C错误；
D因为正方体的体积等于棱长的立方，所以D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查立方根的概念及相关的计算，无理数的概念，无限不循环的小数；实数与数轴上的点一一对应，立方根估算大小，正方体体积与棱长之间的关系．
21．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc
B．a+b＞c+b
C．a+c＞b+c
D．ab＞cb
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
B、a+b＜c+b，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
C、a+c＜b+c，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
D、ab＞cb，原不等式成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
22．如图所示，数轴上表示3，的对应点分别为C、B．点C是AB的中点，则点A表示的数是 6﹣ ．
【分析】点C是AB的中点，设A表示的数是a，则﹣3＝3﹣a，即可求得a的值．
【解答】解：设A表示的数是a，则
﹣3＝3﹣a，
解得：a＝6﹣．
故答案为：6﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，正确理解a与3和之间的关系是关键．
23．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B．
①线段AB＝ 2 ；
②点A表示的数为 1﹣ ．
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可
【解答】解：∵正方形的面积为3，
∴圆的半径为，
∴点A表示的数为1﹣．
∵AB是圆的直径，
∴AB＝2
故答案为：2；1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为，因此点B所表示的数m＝2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|2﹣1|+2﹣+6，
＝|1|+8﹣，
＝﹣1+8﹣，
＝7．
【点评】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
五．实数大小比较（共6小题）
25．已知a＝3，b＝2，c＝，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
【分析】根据算术平方根的定义先把a、b、c进行整理，再根据实数大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝3＝，b＝2＝，c＝＝，
∴b＜c＜a；
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较和算术平方根，熟练掌握比较的法则和算术平方根的定义是解题的关键．
26．在实数﹣1，，0，中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：因为2＜＜3，
所以在实数﹣1，，0，中，最大的数是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
27．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．2
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：在﹣1，0，，2中，最大的数是，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
28．比较大小： ＞ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根据两个整数的算术平方根比较大小，被开方数大的比较大，即可得出答案．
【解答】解：因为10＞8，
所以＞，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的方法．
29．比较大小：4 ＜ （填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先求出4＝，再比较根号内的数即可求解．
【解答】解：∵4＝，
16＜20，
∴4＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
30．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根；②3的平方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用＜连接大小．
【分析】（1）利用立方根、平方根、算术平方根定义计算即可求出；
（2）将各数表示在数轴上，按照从小到大顺序排列即可．
【解答】解：（1）①﹣27的立方根是﹣3；
②3的平方根是±；
③的算术平方根是3；
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣＜＜3．
【点评】此题考查了实数大小比较，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
六．估算无理数的大小（共6小题）
31．已知n是正整数，并且n﹣1＜3+＜n，则n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】直接估算无理数的大小进而得出答案．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴8＜3+＜9，
∴n﹣1＝8，
解得：n＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键．
32．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
【分析】直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【解答】解：（3﹣）÷
＝3﹣2，
∵7＜3＜8，
∴5＜3﹣2＜6，
∴估计的值应该在5和6之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．
33．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间
B．﹣1和﹣2之间
C．﹣2和﹣3之间
D．﹣3和﹣4之间
【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵P在A左侧，
∴该点P所表示的数在数轴上介于﹣3和﹣4之间．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
34．已知实数的整数部分是m，小数部分是n，则＝ 2﹣ ．
【分析】根据估算无理数大小得出的整数部分m的值，小数部分n的值为﹣m，把m、n代入分式中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴m＝1，n＝，
∴＝
＝
＝
＝．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了无理数估算大小及二次根式分母有理化的计算，合理应用平方差公式去掉分母中的二次根式是解决本题的关键．
35．最接近﹣的整数是 ﹣2 ．
【分析】根据被开方数3的范围，利用算术平方根性质确定出的范围，进而确定出﹣的范围，判断即可．
【解答】解：∵2.25＜3＜4，
∴1.5＜＜2，即﹣2＜﹣＜﹣1.5，
∴最接近﹣的整数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
36．已知：实数a为的小数部分，b是9的平方根，求式子2b﹣a的值．
【分析】根据算术平方根的定义得到3＜＜4，即可得到a＝﹣3；b是9的平方根，可得b＝±3，再把a，b的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，实数a为的小数部分，
∴a＝﹣3；
∵b是9的平方根，
∴b＝±3，
∴2b﹣a的值为6﹣或﹣6﹣，
即2b﹣a＝9﹣或．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了平方根．
七．实数的运算（共6小题）
37．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3
B．＝2
C．
D．＝2
【分析】根据算术平方根、立方根以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵＝3，
∴选项A不符合题意；
∵＝﹣2，
∴选项B不符合题意；
∵＝5
∴选项C不符合题意；
∵＝2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
38．以下说法正确的是（ ）
A．两个无理数之和一定是无理数
B．带根号的数都是无理数
C．无理数都是无限小数
D．所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数．
【分析】直接利用无理数的定义以及数轴与实数的关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、两个无理数之和一定是无理数，错误，例如+（﹣）＝0；
B、带根号的数都是无理数，错误，例如；
C、无理数都是无限小数，正确；
D、所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数，错误，实数与数轴上的点一一对应．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义以及数轴与实数的关系，正确把握相关定义是解题关键．
39．在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：由题意知：2☆x＝2+x﹣1＝1+x，
又2☆x＝1，
∴1+x＝1，
∴x＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解．
40．计算：（1）+（﹣1）2020+＝ 6 ；
（2）|﹣2|+＝ 2 ．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根性质，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2+1+3＝6；
（2）原式＝2﹣+＝2．
故答案为：（1）6；（2）2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
41．计算：
（1）3﹣5＝ ﹣2 ；
（2）（﹣3）2＝ 9 ；
（3）＝ 4 ；
（4）﹣＝ ﹣2 ；
（5）6﹣2＝ 4 ；
（6）|2﹣|＝ ﹣2 ．
【分析】（1）根据有理数减法的运算方法计算即可．
（2）根据有理数的乘方的运算方法计算即可．
（3）根据平方根的含义和求法计算即可．
（4）根据立方根的含义和求法计算即可．
（5）根据合并同类项的方法计算即可．
（6）根据绝对值的含义和求法计算即可．
【解答】解：（1）3﹣5＝﹣2；
（2）（﹣3）2＝9；
（3）＝4；
（4）﹣＝﹣2；
（5）6﹣2＝4；
（6）|2﹣|＝﹣2．
故答案为：﹣2；9；4；﹣2；4；﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
42．﹣12020+++|﹣2|．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12020+++|﹣2|
＝﹣1+（﹣3）+2+2﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
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日期：2020/9/14
11:13:23；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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6.2
实数
一．无理数（共6小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14
D．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．3.1415
3．实数、、﹣π、、0.101001中，无理数有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在﹣这五个实数中，无理数有
个．
5．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有
个无理数．
6．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
二．实数（共6小题）
7．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是（ ）
A．②③
B．①③
C．①④
D．②④
8．下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．有最小的正整数，没有最小的整数
C．a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a⊥c
D．内错角相等
9．下列各数中是有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．π
10．已知实数﹣，0.16，，，，，其中为分数的是
．
11．无理数是一个无限不循环小数，它的小数点后百分位上的数字是
12．将下列各数的序号填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…，0，，﹣，，
有理数集合：{
…}；
无理数集合：{
…}；
正实数集合：{
…}；
整数集合：{
…}；
三．实数的性质（共6小题）
13．的倒数为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．
14．已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．﹣2
15．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
16．9的平方根是
，的相反数是
，|﹣3|＝
．
17．﹣π的相反数为
，的绝对值是
．
18．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
四．实数与数轴（共6小题）
19．已知实数a、b、c为数轴上对应的点（如图所示），则下列各式中正确的是（ ）
A．bc＞ab
B．a﹣c＜a﹣b
C．
D．b+c＞a+b
20．关于，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．若n＜＜n+1，则n＝2
D．它可以表示体积为6的正方形的棱长
21．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc
B．a+b＞c+b
C．a+c＞b+c
D．ab＞cb
22．如图所示，数轴上表示3，的对应点分别为C、B．点C是AB的中点，则点A表示的数是
．
23．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B．
①线段AB＝
；
②点A表示的数为
．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
五．实数大小比较（共6小题）
25．已知a＝3，b＝2，c＝，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
26．在实数﹣1，，0，中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．
27．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．2
28．比较大小：
．（填“＞”、“＜”或“＝”）
29．比较大小：4
（填“＞”“＜”或“＝”）．
30．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根；②3的平方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用＜连接大小．
六．估算无理数的大小（共6小题）
31．已知n是正整数，并且n﹣1＜3+＜n，则n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
32．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
33．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间
B．﹣1和﹣2之间
C．﹣2和﹣3之间
D．﹣3和﹣4之间
34．已知实数的整数部分是m，小数部分是n，则＝
．
35．最接近﹣的整数是
．
36．已知：实数a为的小数部分，b是9的平方根，求式子2b﹣a的值．
七．实数的运算（共6小题）
37．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3
B．＝2
C．
D．＝2
38．以下说法正确的是（ ）
A．两个无理数之和一定是无理数
B．带根号的数都是无理数
C．无理数都是无限小数
D．所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数．
39．在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
40．计算：（1）+（﹣1）2020+＝
；
（2）|﹣2|+＝
．
41．计算：
（1）3﹣5＝
；
（2）（﹣3）2＝
；
（3）＝
；
（4）﹣＝
；
（5）6﹣2＝
；
（6）|2﹣|＝
．
42．﹣12020+++|﹣2|．
6.2
实数
参考答案与试题解析
一．无理数（共6小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.14
D．
【分析】根据无理数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．
5
是无理数2是整数，属于有理数，故选项正确；
B．是分数，属于有理数，故选项错误；
C．3.14是分数，属于有理数，故选项错误；
D．＝﹣3是整数，属于有理数，故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．﹣
D．3.1415
【分析】无理数常见的三种类型是：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数，如2π．据此解答即可．
【解答】解：A、＝2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、属于开不尽的方根，是无理数，故此选项符合题意；
C、﹣是有理数，故此选项不符合题意；
D、3.1415是有理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的认识，掌握常见无理数的类型是解题的关键．
3．实数、、﹣π、、0.101001中，无理数有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：＝4，，0.101001是有理数，
无理数有：，﹣π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．在﹣这五个实数中，无理数有 2 个．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．
【解答】解：＝2，﹣，0.6，这些数是有理数，
所给数据中无理数有：﹣，，共有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
5．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有 2 个无理数．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）等形式．
6．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
【分析】根据有理数与无理数的定义看判定求解．
【解答】解：有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），
无理数集合：（，﹣，，…）．
【点评】本题主要考查了有理数与无理数的定义．有理数是整数与分数的统称；无理数是无限不循环小数．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．开方开不尽的数也是无理数．
二．实数（共6小题）
7．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：
①圆周率是一个有理数；
②圆周率是一个无理数；
③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；
④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．
其中表述正确的序号是（ ）
A．②③
B．①③
C．①④
D．②④
【分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．
【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，
所以表述正确的序号是②③；
故选：A．
【点评】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．有最小的正整数，没有最小的整数
C．a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a⊥c
D．内错角相等
【分析】A、根据无理数的定义即可判定；
B、根据整数的定义可以判断；
C、根据在同一平面内，垂直同一直线的两直线互相平行可判断；
D、根据平行线的性质可以判断．
【解答】解：A、无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故选项错误；
B、有最小的正整数是1，没有最小的整数，故选项正确；
C、在同一平面内，a，b，c
是直线，若
a⊥b，b⊥c，则
a∥c，故选项错误；
D、两直线平行，内错角相等，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的定义，平行线的性质，实数是有理数和无理数统称．要求掌握这些基本概念并迅速做出判断．
9．下列各数中是有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．π
【分析】根据有理数的意义，可得答案．
【解答】解：﹣是有理数，
，，π是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．
10．已知实数﹣，0.16，，，，，其中为分数的是 ﹣，0.16， ．
【分析】有理数包括整数和分数，，和不是有理数，即也不是分数．
【解答】解：＝1.1，
在实数﹣，0.16，，，，中，分数有﹣，0.16，．
故答案为：﹣，0.16，．
【点评】本题考查了有理数和分数的运用，注意：整数和分数统称有理数，即分数属于有理数．
11．无理数是一个无限不循环小数，它的小数点后百分位上的数字是 6
【分析】求得3.16的平方小于10而3.17的平方大于10，则可得答案．
【解答】解：∵3.162＝9.9856，3.172＝10.0489
∴3.16＜＜3.17
∴的小数点后百分位上的数字是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了实数的相关计算，属于基础知识的考查，比较简单．
12．将下列各数的序号填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…，0，，﹣，，
有理数集合：{ ，3.1415926，﹣0.456，0，， …}；
无理数集合：{ π，3.030030003…，﹣， …}；
正实数集合：{ ，π，3.1415926，3.030030003…，，， …}；
整数集合：{ ，0， …}；
【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．
【解答】解：根据定义知：有理数有：，3.1415926，﹣0.456，0，，；
无理数有：π，3.030030003…，﹣，；
正实数有：，π，3.1415926，3.030030003…，，，；
整数有：，0，；
【点评】本题考查了实数的分类及各种数的定义，要求学生熟练掌握实数的分类．
三．实数的性质（共6小题）
13．的倒数为（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：的倒数是4，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
14．已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．﹣2
【分析】m，n互为倒数，则mn＝1；|m|＝1，则m＝±1，求出n代入所求的代数式即可求解．
【解答】解：∵m，n互为倒数，
∴mn＝1，
∵|m|＝1，
∴m＝±1，
当m＝1时，n＝1；
当m＝﹣1时，n＝﹣1；
∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值、倒数的定义，求代数式的值．解题的关键是掌握倒数、绝对值的定义，理解mn＝1．
15．实数﹣2的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【分析】由相反数的定义可知：﹣2的相反数是2．
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义；熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
16．9的平方根是 ±3 ，的相反数是 ﹣ ，|﹣3|＝ 3﹣ ．
【分析】根据平方根、相反数、绝对值的定义求解即可．
【解答】解：9的平方根是±3；
的相反数是﹣；
|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3﹣．
故答案为：±3，﹣，3﹣．
【点评】此题主要考查了相反数、绝对值、平方根．解题的关键是掌握相反数、绝对值、平方根等概念．
17．﹣π的相反数为 π ，的绝对值是 ．
【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．绝对值的求法：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．据此解答即可．
【解答】解：﹣π的相反数是π；的绝对值是．
故答案为：π，．
【点评】此题考查了相反数、绝对值的性质，要求掌握相反数、绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
18．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根．
【分析】（1）任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如和，和；
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．
【解答】解：（1）如＝0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2）∵和互为相反数，
∴＝0，
∴8﹣y+2y﹣5＝0，
解得：y＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x＝﹣5，
∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y的立方根是﹣2．
【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
四．实数与数轴（共6小题）
19．已知实数a、b、c为数轴上对应的点（如图所示），则下列各式中正确的是（ ）
A．bc＞ab
B．a﹣c＜a﹣b
C．
D．b+c＞a+b
【分析】由图象可知a＞0，c＜b＜0，再根据不等式的性质，每个选项进行计算即可．
【解答】解：由图可知，a＞0，c＜b＜0，
∵bc＞0，ac＜0，
∴bc＞ac，故A选项正确；
∵c＜b＜0，
∴﹣c＞﹣b＞0，
∴a﹣c＞a﹣b，故B选项错误；
∵c＜a，b＜0，
∴，故C选项错误；
∵c＜a，b＜0，
∴b+c＜a+b，故D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查实数与数轴上的点是一一对应关系及不等式的性质，合理应运不等式的性质进行计算是解决本题的关键．
20．关于，下列说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数
B．它可以用数轴上的一个点来表示
C．若n＜＜n+1，则n＝2
D．它可以表示体积为6的正方形的棱长
【分析】根据无理数的和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断．
【解答】解：A因为不能完全开立方，所以是无理数，所以A正确；
B因为是一个实数，实数与数轴上的点一一对应，所以B正确；
C因为，1＜＜2，所以C错误；
D因为正方体的体积等于棱长的立方，所以D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查立方根的概念及相关的计算，无理数的概念，无限不循环的小数；实数与数轴上的点一一对应，立方根估算大小，正方体体积与棱长之间的关系．
21．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc
B．a+b＞c+b
C．a+c＞b+c
D．ab＞cb
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
B、a+b＜c+b，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
C、a+c＜b+c，原不等式不成立，故本选项不符合题意；
D、ab＞cb，原不等式成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
22．如图所示，数轴上表示3，的对应点分别为C、B．点C是AB的中点，则点A表示的数是 6﹣ ．
【分析】点C是AB的中点，设A表示的数是a，则﹣3＝3﹣a，即可求得a的值．
【解答】解：设A表示的数是a，则
﹣3＝3﹣a，
解得：a＝6﹣．
故答案为：6﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，正确理解a与3和之间的关系是关键．
23．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B．
①线段AB＝ 2 ；
②点A表示的数为 1﹣ ．
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可
【解答】解：∵正方形的面积为3，
∴圆的半径为，
∴点A表示的数为1﹣．
∵AB是圆的直径，
∴AB＝2
故答案为：2；1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为，因此点B所表示的数m＝2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|2﹣1|+2﹣+6，
＝|1|+8﹣，
＝﹣1+8﹣，
＝7．
【点评】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
五．实数大小比较（共6小题）
25．已知a＝3，b＝2，c＝，将其按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
【分析】根据算术平方根的定义先把a、b、c进行整理，再根据实数大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝3＝，b＝2＝，c＝＝，
∴b＜c＜a；
故选：A．
【点评】此题考查了实数大小比较和算术平方根，熟练掌握比较的法则和算术平方根的定义是解题的关键．
26．在实数﹣1，，0，中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．
C．0
D．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：因为2＜＜3，
所以在实数﹣1，，0，中，最大的数是，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
27．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．2
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．
【解答】解：在﹣1，0，，2中，最大的数是，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．
28．比较大小： ＞ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根据两个整数的算术平方根比较大小，被开方数大的比较大，即可得出答案．
【解答】解：因为10＞8，
所以＞，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的方法．
29．比较大小：4 ＜ （填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先求出4＝，再比较根号内的数即可求解．
【解答】解：∵4＝，
16＜20，
∴4＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
30．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根；②3的平方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用＜连接大小．
【分析】（1）利用立方根、平方根、算术平方根定义计算即可求出；
（2）将各数表示在数轴上，按照从小到大顺序排列即可．
【解答】解：（1）①﹣27的立方根是﹣3；
②3的平方根是±；
③的算术平方根是3；
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣＜＜3．
【点评】此题考查了实数大小比较，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
六．估算无理数的大小（共6小题）
31．已知n是正整数，并且n﹣1＜3+＜n，则n的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】直接估算无理数的大小进而得出答案．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴8＜3+＜9，
∴n﹣1＝8，
解得：n＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键．
32．估计的值应该在（ ）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
【分析】直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【解答】解：（3﹣）÷
＝3﹣2，
∵7＜3＜8，
∴5＜3﹣2＜6，
∴估计的值应该在5和6之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．
33．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间
B．﹣1和﹣2之间
C．﹣2和﹣3之间
D．﹣3和﹣4之间
【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵P在A左侧，
∴该点P所表示的数在数轴上介于﹣3和﹣4之间．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
34．已知实数的整数部分是m，小数部分是n，则＝ 2﹣ ．
【分析】根据估算无理数大小得出的整数部分m的值，小数部分n的值为﹣m，把m、n代入分式中，应用分母有理化的方法进行化简，即可得到答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴m＝1，n＝，
∴＝
＝
＝
＝．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了无理数估算大小及二次根式分母有理化的计算，合理应用平方差公式去掉分母中的二次根式是解决本题的关键．
35．最接近﹣的整数是 ﹣2 ．
【分析】根据被开方数3的范围，利用算术平方根性质确定出的范围，进而确定出﹣的范围，判断即可．
【解答】解：∵2.25＜3＜4，
∴1.5＜＜2，即﹣2＜﹣＜﹣1.5，
∴最接近﹣的整数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
36．已知：实数a为的小数部分，b是9的平方根，求式子2b﹣a的值．
【分析】根据算术平方根的定义得到3＜＜4，即可得到a＝﹣3；b是9的平方根，可得b＝±3，再把a，b的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵3＜＜4，实数a为的小数部分，
∴a＝﹣3；
∵b是9的平方根，
∴b＝±3，
∴2b﹣a的值为6﹣或﹣6﹣，
即2b﹣a＝9﹣或．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了平方根．
七．实数的运算（共6小题）
37．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3
B．＝2
C．
D．＝2
【分析】根据算术平方根、立方根以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵＝3，
∴选项A不符合题意；
∵＝﹣2，
∴选项B不符合题意；
∵＝5
∴选项C不符合题意；
∵＝2，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
38．以下说法正确的是（ ）
A．两个无理数之和一定是无理数
B．带根号的数都是无理数
C．无理数都是无限小数
D．所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数．
【分析】直接利用无理数的定义以及数轴与实数的关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、两个无理数之和一定是无理数，错误，例如+（﹣）＝0；
B、带根号的数都是无理数，错误，例如；
C、无理数都是无限小数，正确；
D、所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上所有的点都表示有理数，错误，实数与数轴上的点一一对应．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义以及数轴与实数的关系，正确把握相关定义是解题关键．
39．在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b﹣1，例如：2☆3＝2+3﹣1＝4．如果2☆x＝1，则x的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：由题意知：2☆x＝2+x﹣1＝1+x，
又2☆x＝1，
∴1+x＝1，
∴x＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解．
40．计算：（1）+（﹣1）2020+＝ 6 ；
（2）|﹣2|+＝ 2 ．
【分析】（1）原式利用平方根、立方根性质，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2+1+3＝6；
（2）原式＝2﹣+＝2．
故答案为：（1）6；（2）2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
41．计算：
（1）3﹣5＝ ﹣2 ；
（2）（﹣3）2＝ 9 ；
（3）＝ 4 ；
（4）﹣＝ ﹣2 ；
（5）6﹣2＝ 4 ；
（6）|2﹣|＝ ﹣2 ．
【分析】（1）根据有理数减法的运算方法计算即可．
（2）根据有理数的乘方的运算方法计算即可．
（3）根据平方根的含义和求法计算即可．
（4）根据立方根的含义和求法计算即可．
（5）根据合并同类项的方法计算即可．
（6）根据绝对值的含义和求法计算即可．
【解答】解：（1）3﹣5＝﹣2；
（2）（﹣3）2＝9；
（3）＝4；
（4）﹣＝﹣2；
（5）6﹣2＝4；
（6）|2﹣|＝﹣2．
故答案为：﹣2；9；4；﹣2；4；﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
42．﹣12020+++|﹣2|．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12020+++|﹣2|
＝﹣1+（﹣3）+2+2﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
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日期：2020/9/14
11:13:23；用户：40中金山分校；邮箱：40zjs@xyh.com；学号：37582644
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