3.6.2 二次函数的应用（含答案）
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第三章 二次函数
3.6 二次函数的应用
第2课时
知识梳理
知识点1 利用二次函数解决最大（小）面积问题
如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD、其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB＝x（m），那么AD边的长度可表示为_____________。
（2）设长方形的面积为y（m），则y＝______________。
（3）当x＝_________时，y的值最大，最大值是_____________。
知识点2 利用二次函数解决最大（小）面积问题的一般步骤
（1）引入____________（如正方形的边长、圆的半径等）；
（2）用含____________的代数式表示出来；
（3）根据几何图形的面积计算公式列出表示图形面积的_____________表达式；
（4）根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定符合条件的最大函数值及取得最大值时相应的自变量的值，从而求得几何图形的最大（小）面积。
考点突破
考点 利用二次函数解决最大（小）面积问题
典例1 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40 m的栅栏围住（如图所示）.若设绿化带的BC边长为x（m），绿化带的面积为y（m2）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解:（1）y与x之间的函数关系式为y＝＝，
自变量x的取值范围是0＜x≤25；
（2）y＝＝＋200，
∵20＜25，∴当x＝20时，y有最大值200.
∴当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大。
友情提示 利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是:（1）用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量；（2）根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；（3）根据函数关系式求出最大值及取得最大值时自变量的值当x＝不在自变量的取值范围内时，应根据自变量的取值范围来确定最大（小）值.
变式1 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____________。
变式2 如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）。
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，sinB＝，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP。
（1）求AC，BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y。当x为何值y最大，并求出最大值。
解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AB＝2，得，∴AC＝2。
由勾股定理得BC＝4；
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴。
设PC＝x，则DC＝x，AD＝2－x，
∴S△ADP＝AD·PC＝（2－x）·x＝－x2＋x＝－（x－2）2＋1
∴当x＝2时，y的最大值是1.
变式3 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.现要作一个内接于△ABC的矩形DEFN，其中，点D，E在AB上.
（1）求△ABC中AB上的高h；
（2）设DN＝x.当x取何值时，矩形DEFN的面积最大？
巩固提高
1.如图所示，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
2.如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A. 60m2 B. 63m2
C. 64m2 D. 66m2
3.如图所示，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC边上一点，连接DE，DF，设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为___________m2。
5.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）.
（1）如图1所示，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2所示，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室比（1）中的长多2 m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确。
6.课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2。
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2所示，材料总长仍为6m，利用图3所示，解答下列问题:
（1）若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。
体验中考
1.（2018·巴彦淖尔）工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.（厚度不计）
（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长是多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
2.（2018·荆州）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2（如图所示）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部种到这块空地上吗？请说明理由.
3.（2018·福建A）如图所示，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏.
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜地ABCD面积的最大值。
4.（2018·福建B）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成的一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100 米.
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1所示，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2所示，请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）30－x （2）－x2＋30x （3）20 300
知识点2:（1）自变量 （2）自变量 （3）二次函数
考点突破
cm2
2.解:（1）S＝x（24－3x）＝－3x2＋24x（）
（2）当S＝45 m2时，解得x1＝3m（舍去），x2＝5m.∴AB＝5m；
（3）S＝－3（x－4）2＋48.∵，∴当x＝时，
S最大＝＝＝＞45.
围法:24－3×＝10 m，当花圃长10 m，宽14 m时，最大面积为140m2.
3.解:（1）由题意得，AB＝＝10.∵10h＝48，∴h＝4.8；
（2）设NF＝y，如图所示，作CG⊥AB交AB于点G，交NF于点M。
∵△CNF∽△CAB，∴。∴，即。
∴S矩形DEFN＝（0＜x＜4.8），
故当时，此时矩形DEIN的面积最大。
巩固提高
1.C 2.C 4.D 4.75
5.解（1）∵，当x＝25时，占地面积最大.
即饲养室长为25m时，占地面积y最大；
（2）∵，
当x＝26时，占地面积最大.即饲养室长x为26 m时，占地面积y最大.
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确。
6.解：（1）由题意得，AD＝，
则S＝1×＝（m2），即此时透光面积为m2。
（2）设AB＝x m，则AD＝（3－）m，∵3－＞0，∴0＜x＜。
设窗户面积为S，由题意得，
S＝AB· AD＝x（3－）＝.
当x＝时，且x＝在0＜x＜的范围内，S最大值＝m2＞ 1.05 m2，
∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
体验中考
1，解:（1）如图所示:
设裁掉的正方形的边长为x dm，
由题意得，（12－2x）（8－2x）＝32.即x2－10x＋16＝0.解得x＝2或x＝8（舍去），
答:裁掉的正方形的边长为2 dm，底面积为32 dm2；
（2）设总费用为y元，
则y＝2（12－2x）（8－2x）＋0. 5 × ［2x（12－2x） ＋2x（8－2x）］
＝4x2－60x＋192＝4（x－7.5）2－33，
又∵12－2x＜5（8－2x），∴x≤3.5.
∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小。∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.
答:裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元.
2. 解: （1） y ＝x（36－2x）＝－2x2＋36x（9≤x＜18）；
（2）由题意得，－2x2＋36x＝160，解得x＝10或8.
∵x＝8时， 36－16＝20＞18，不符合题意，∴x的值为10；
（3∵y＝－2x2＋36x＝－2（x－9）2＋162，∴x＝9时，y有最大值162.
设分别购买甲、乙、丙三种绿色植物a，b，c棵，
由题意得，，化筒，得，
由②－①×7，得b＝－7c＋1 500＞0，解得c＜214；
由①×8－②，得a＝6c－1100＞0，解得c＞183，
∴183＜c＜214，故丙种植物最多可以购买214棵，
则a＝184，b＝2.
此时需要植面积为0.4a＋6＋0.4c＝0.4×184＋2＋0. 4×214＝161.2（m2）.
∵161. 2＜162，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.
3.解:（1）设AB＝xm，则BC＝（100－2x）m.
由题意得，x（100－2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45.
当x＝5时，100－2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100－2x＝10，
答:AD的长为10m；
（2）设AD＝x m，
∴S＝。
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1 250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a－a2。
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250 m2；当0＜a＜50时，S的最大值为（50a－a2） m2。
4.解:（1）设AD＝1米.则AB＝米.
由题意得，＝450.解得x1＝10，x2＝90.
∵a＝20，且x＜a，∴x＝90不合题意舍去.
∴利用旧墙AD的长为10米；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图1方案围成矩形菜园，由题意得，
S＝，0＜x＜a.
∵0＜a＜50，∴x＜a＜50时，S随 的增大而增大.
当x＝a时，S最大＝50a－a2.
②如按图2方案围成矩形菜园，由题意得，
，0＜x＜50＋，
当a＜25＋＜50＋时，即0＜a＜时，则x＝25＋，S最大＝ ＝。
当25＋≤a＜50，即≤a＜50时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时， S最大＝a＝.
综合①②，当0＜a＜时，
＞0.
,
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当＜a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25＋）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当≤a＜50时，H成长为a米，宽为（50－)米的矩形面积最大，最大面积为()平方米。
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第三章 二次函数
3.6 二次函数的应用
第2课时
知识梳理
知识点1 利用二次函数解决最大（小）面积问题
如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD、其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB＝x（m），那么AD边的长度可表示为_____________。
（2）设长方形的面积为y（m），则y＝______________。
（3）当x＝_________时，y的值最大，最大值是_____________。
知识点2 利用二次函数解决最大（小）面积问题的一般步骤
（1）引入____________（如正方形的边长、圆的半径等）；
（2）用含____________的代数式表示出来；
（3）根据几何图形的面积计算公式列出表示图形面积的_____________表达式；
（4）根据二次函数的性质及自变量的取值范围确定符合条件的最大函数值及取得最大值时相应的自变量的值，从而求得几何图形的最大（小）面积。
考点突破
考点 利用二次函数解决最大（小）面积问题
典例1 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40 m的栅栏围住（如图所示）.若设绿化带的BC边长为x（m），绿化带的面积为y（m2）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解:（1）y与x之间的函数关系式为y＝＝，
自变量x的取值范围是0＜x≤25；
（2）y＝＝＋200，
∵20＜25，∴当x＝20时，y有最大值200.
∴当x＝20时，满足条件的绿化带面积最大。
友情提示 利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是:（1）用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量；（2）根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；（3）根据函数关系式求出最大值及取得最大值时自变量的值当x＝不在自变量的取值范围内时，应根据自变量的取值范围来确定最大（小）值.
变式1 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____________。
变式2 如图所示，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）。
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
典例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，sinB＝，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP。
（1）求AC，BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y。当x为何值y最大，并求出最大值。
解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AB＝2，得，∴AC＝2。
由勾股定理得BC＝4；
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴。
设PC＝x，则DC＝x，AD＝2－x，
∴S△ADP＝AD·PC＝（2－x）·x＝－x2＋x＝－（x－2）2＋1
∴当x＝2时，y的最大值是1.
变式3 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.现要作一个内接于△ABC的矩形DEFN，其中，点D，E在AB上.
（1）求△ABC中AB上的高h；
（2）设DN＝x.当x取何值时，矩形DEFN的面积最大？
巩固提高
1.如图所示，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
2.如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A. 60m2 B. 63m2
C. 64m2 D. 66m2
3.如图所示，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC边上一点，连接DE，DF，设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为___________m2。
5.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）.
（1）如图1所示，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2所示，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室比（1）中的长多2 m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确。
6.课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2。
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2所示，材料总长仍为6m，利用图3所示，解答下列问题:
（1）若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。
体验中考
1.（2018·巴彦淖尔）工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.（厚度不计）
（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长是多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
2.（2018·荆州）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2（如图所示）。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为160 m2，求x的值；
甲 乙 丙
单价（元/棵） 14 16 28
合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部种到这块空地上吗？请说明理由.
3.（2018·福建A）如图所示，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏.
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜地ABCD面积的最大值。
4.（2018·福建B）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成的一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100 米.
（1）已知a＝20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1所示，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图2所示，请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值。
参考答案
知识梳理
知识点1:（1）30－x （2）－x2＋30x （3）20 300
知识点2:（1）自变量 （2）自变量 （3）二次函数
考点突破
cm2
2.解:（1）S＝x（24－3x）＝－3x2＋24x（）
（2）当S＝45 m2时，解得x1＝3m（舍去），x2＝5m.∴AB＝5m；
（3）S＝－3（x－4）2＋48.∵，∴当x＝时，
S最大＝＝＝＞45.
围法:24－3×＝10 m，当花圃长10 m，宽14 m时，最大面积为140m2.
3.解:（1）由题意得，AB＝＝10.∵10h＝48，∴h＝4.8；
（2）设NF＝y，如图所示，作CG⊥AB交AB于点G，交NF于点M。
∵△CNF∽△CAB，∴。∴，即。
∴S矩形DEFN＝（0＜x＜4.8），
故当时，此时矩形DEIN的面积最大。
巩固提高
1.C 2.C 4.D 4.75
5.解（1）∵，当x＝25时，占地面积最大.
即饲养室长为25m时，占地面积y最大；
（2）∵，
当x＝26时，占地面积最大.即饲养室长x为26 m时，占地面积y最大.
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确。
6.解：（1）由题意得，AD＝，
则S＝1×＝（m2），即此时透光面积为m2。
（2）设AB＝x m，则AD＝（3－）m，∵3－＞0，∴0＜x＜。
设窗户面积为S，由题意得，
S＝AB· AD＝x（3－）＝.
当x＝时，且x＝在0＜x＜的范围内，S最大值＝m2＞ 1.05 m2，
∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
体验中考
1，解:（1）如图所示:
设裁掉的正方形的边长为x dm，
由题意得，（12－2x）（8－2x）＝32.即x2－10x＋16＝0.解得x＝2或x＝8（舍去），
答:裁掉的正方形的边长为2 dm，底面积为32 dm2；
（2）设总费用为y元，
则y＝2（12－2x）（8－2x）＋0. 5 × ［2x（12－2x） ＋2x（8－2x）］
＝4x2－60x＋192＝4（x－7.5）2－33，
又∵12－2x＜5（8－2x），∴x≤3.5.
∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小。∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.
答:裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元.
2. 解: （1） y ＝x（36－2x）＝－2x2＋36x（9≤x＜18）；
（2）由题意得，－2x2＋36x＝160，解得x＝10或8.
∵x＝8时， 36－16＝20＞18，不符合题意，∴x的值为10；
（3∵y＝－2x2＋36x＝－2（x－9）2＋162，∴x＝9时，y有最大值162.
设分别购买甲、乙、丙三种绿色植物a，b，c棵，
由题意得，，化筒，得，
由②－①×7，得b＝－7c＋1 500＞0，解得c＜214；
由①×8－②，得a＝6c－1100＞0，解得c＞183，
∴183＜c＜214，故丙种植物最多可以购买214棵，
则a＝184，b＝2.
此时需要植面积为0.4a＋6＋0.4c＝0.4×184＋2＋0. 4×214＝161.2（m2）.
∵161. 2＜162，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上.
3.解:（1）设AB＝xm，则BC＝（100－2x）m.
由题意得，x（100－2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45.
当x＝5时，100－2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100－2x＝10，
答:AD的长为10m；
（2）设AD＝x m，
∴S＝。
当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1 250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a－a2。
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250 m2；当0＜a＜50时，S的最大值为（50a－a2） m2。
4.解:（1）设AD＝1米.则AB＝米.
由题意得，＝450.解得x1＝10，x2＝90.
∵a＝20，且x＜a，∴x＝90不合题意舍去.
∴利用旧墙AD的长为10米；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图1方案围成矩形菜园，由题意得，
S＝，0＜x＜a.
∵0＜a＜50，∴x＜a＜50时，S随 的增大而增大.
当x＝a时，S最大＝50a－a2.
②如按图2方案围成矩形菜园，由题意得，
，0＜x＜50＋，
当a＜25＋＜50＋时，即0＜a＜时，则x＝25＋，S最大＝ ＝。
当25＋≤a＜50，即≤a＜50时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时， S最大＝a＝.
综合①②，当0＜a＜时，
＞0.
,
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当＜a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等.
∴当0＜a＜时，围成长和宽均为（25＋）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当≤a＜50时，H成长为a米，宽为（50－)米的矩形面积最大，最大面积为()平方米。
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