5.1导数的几何意义 同步学案

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导数的几何意义学案
一．学习目标
导数是高中数学研究函数性质的重要工具，该工具的应用重要性体现在对于函数图像的几何性质，比如切线与切点、单调性以及极值的研究有着直接的结论性语言；本次课以曲线的切点与切线入手，理解导数的几何意义——对于曲线切线方程的价值体现。
二．前文回顾
1.导数的计算
①基本初等函数：
原函数
导函数
特例：
特例：
特例：
特例：
②导数的四则运算：
i法则1
两个函数和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）：
即：
ii法则2
两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数（前导后不导，加上前不导后导）：
即：
推论：若C为常数，。即：常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数。
iii法则3
两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
即：
推论
③复合函数的导数
一般的，假设函数在点处有导数，函数在点对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且或
在进行复合函数的求导过程是，应注意分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏；同时特别要注意的是中间变量的系数，避免出现的错误。
2.导数运算的原则与方法
(1)原则：先化简解析式，再求导．
(2)方法：
①连乘积形式：先展开转化为多项式的形式，再进行求导；对于某些特殊型问题可以两边去对数进行求解。因为对于连续几项代数式相乘的形式求导法则未确定，可以通过两边取对数将其转化为几项相加的形式再进行求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
⑥复合函数：由外向内，层层求导．
三．基础知识
函数在处的导数是曲线在点处的切线的斜率；曲线在点处的切线的斜率；
相应的切线方程为。
利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化；以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，在解题过程中，掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解。
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
四．典例分析与性质总结
题型1：已知切点求切线方程
如果曲线的切点已知，求解切线的解题思路如下所示：
①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；
②由点斜式求得切线方程为．
例1：曲线在点处切线的斜率等于(　　)
A.
B.
C.
2
D.
1
例2：设函数；若函数为奇函数，则函数在点处的切线方程为
。
题型2：已知切线的斜率求切点坐标或参数
已知斜率求切点，依照导函数的几何意义，切线的斜率等于切点处的导函数值；故而要求切点处的坐标，即解方程；但是在求解的过程中注意定义域的限制作用。
例3：设曲线在点处的切线方程为，则(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
例4：在曲线上哪一点处的切线，满足下列条件：分别求出该点的坐标．
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角是．
例5：若曲线上任意一点处的切线斜率为，若的最小值为4，则此时该切点的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
题型3：未知切点求切线方程
若切点的坐标未知，解此类问题的解题思路如下所示：
①设出切点坐标；
②对曲线方程求导，代入切点坐标，得到切线的斜率
③由两点坐标得到切线的斜率，因此有
④列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程。
例6：已知函数，若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程。
题型4：切线倾斜角的范围问题
求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决。
已知切线倾斜角的范围，求切点横坐标的取值范围，此问题即是已知切线斜率的范围，即导函数值的取值范围，从而得到关于切点横坐标的不等式关系，解不等式即可求解；但是在求解的过程中注意定义域的限制作用。
例7：已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________．
例8：已知点为曲线C：上的点，且曲线C在点处切线倾斜角的取值范围为，
则点横坐标的取值范围是________．
题型5：公切线问题
例9：若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（
）
例10：已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值。
题型5：能力提升与变式
例11：已知为常数，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是(　　)
A.
B.
C．
D．
例12：点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为(　　)
A．1
B.
C.
D.
例13：曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为(　　)
A.
B.
C.
D．1
五．变式演练与提高
1.过点作曲线的切线最多有(　　)
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
2.已知直线是曲线的一条切线，则m的值？
3.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________．
4.已知直线与曲线相切于点A(1,3),则n=(　　)
5.设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为________．
6.在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点处的切
线与直线平行，则的值是________．
7.若曲线与曲线在交点处有公切线，则(　　)
A.
B.
0
C.
1
D.
2
六．反思总结
1.易错梳理
求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况：若已知点是切点，则可通过点斜式直接写出方程；当某点不是切点，且过点的切线斜率为时，常需设出切点
，利用求解。
求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的不同。过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上；而在点处的切线，必以点为切点；
2.切点三要素
依照切点的基本概念以及导数的几何意义，在解决关于切点的有关问题时，对于切点的三要素一定要把握住：
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件。
3.切线方程的总体思路汇总：
4.四条必须记住的切线方程
为便于后期函数问题的解决，提升解题效率，对于下面四条特殊的切线方程应熟记于心，并要学会灵活运用。
①过处的切线方程为：
②在处的切线方程为：
③过处的切线方程为：
④在处的切线方程为：
例：若直线是曲线的一条切线，求参数的值。（利用上面提到的切线方程，是的一条切线，当曲线向上平移3个单位，得到，其切线也应向上平移3个单位，得到；即参数）
七．课后作业
1.曲线在点处的切线方程为________．
2.曲线在处的切线方程为，则（）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为（
）
4.已知函数存在垂直于轴的切线，则的取值范围？
5.设为曲线：在点处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点之外，曲线在直线的下方．
6.已知函数，和直线：；是否存在，使直线既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
八．参考答案
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
∵，显然在曲线上
所以
∴曲线在点处的切线斜率为；故选C.
例2：解析：
∵
∴
又为奇函数，∴恒成立；
即恒成立，
∴
∴
∴
所以曲线在点处的切线方程为
例3：解析：
因为，所以，由题意得，即，
∴.
例4：解析：
思路分析
解：，
设是满足条件的点．
(1)因为切线与直线平行，
所以，解得，，即；
(2)因为切线与直线垂直，
所以，解得，，即
(3)因为切线倾斜角是，则其斜率
所以，解得，，即
例5：解析：
【答案】　A　
的定义域为，由导数的几何意义知，即，当且仅当（在定义域范围内）时等号成立，代入曲线方程得；
故所求的切点坐标是。
例6：解析：
题目中的已知点不在曲线上，也即曲线的切点未知。
假设切点为
∵
故而；
解得
∴直线与曲线的切点为；
∴；即切线的斜率为1，由此可求得直线的方程为
例7：解析：
∵，
∴
∵，∴，当且仅当时等号成立；
∴，∴
又，∴
注：在解题过程中，注意正切函数在的图象与其正切值之间的对应关系．
例8：解析：
设，点处切线倾斜角为，则，
由，得，
令，得
例9：解析：
假设直线与曲线以及曲线的切点分别为，
由题意知，，即。
故而切线方程为，化简得，；
或，化简得，即
∴，则，∴
例10：解析：
方法一　∵，∴，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
∵与曲线相切，
∴(当时曲线变为，与已知直线平行)．
由消去，
得；由，解得。
方法二　同方法一得切线方程为.
设与曲线相切于点
∵，∴．
由；解得
例11：解析：
【答案】　A
由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以有正根，即有
正根；
①当时，图像与轴交于负半轴，显然满足题意；
②当时，需满足，解得；
综上，
例12：解析：
【答案】　D
将变形为，则；令，则或(舍)，可知函数的斜率为1的切线的切点横坐标为，切点坐标为；
故切线方程为；则点到直线的最小距离即切线方程与的两平行线间的距离：
方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离．
例13：解析：
【答案】　A　
∵，∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为，该直线与直线和围成的三角形如图所示，
其中直线与的交点，
所以三角形面积，故选A.
（五．变式演练与提高）
1.解析：
【答案】　A
由题意得，，设切点为，那么切线的斜率为，利用点斜式方程可知切线方程为，将点代入可得关于的方程；
令，则；由得或；
在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；
，；
所以方程有3个解．故过点作曲线的切线最多有3条，故选A.
2.解析：
∵直线是曲线的一条切线，
∴，得，（舍去）
即切点为，且在直线上，代入可得
3.解析：
设，∵，∴，
∴点处的切线斜率为
∴，∴，
∴点的坐标为．
4.解析：
对求导得
由导数的几何意义，
∵在直线与曲线上，把代入；
可得，联立求得
5.解析：
设，
由，得，∴
由，得，∴，
∴或(舍去)，∴，∴点的坐标为．
6.解析：
因为曲线过点，所以①
又，曲线在点处的切线与直线平行，所以②
由①②解得；所以
7.解析：
【答案】　C　
依题意得，，，于是有，代入解得；
又有，则，因此，选C.
（七．课后作业）
1.解析：
∵，∴曲线在点处的切线斜率；
由点斜式方程，得切线方程为，即
2.解析：
，所以
当时，
因为曲线在处的切线方程为
所以，得
3.解析：
因为，所以，曲线在点处的切线的斜率；
设，的导数为，曲线在点处的切线斜率为；
由题意知，两切线垂直，故而，解得，所以，即
4.解析：
由题意知，，故而
∵存在垂直于轴的切线，∴存在零点；
∴有解；
∴
5.解析：
(1)设，则
所以切线的斜率，所以L的方程为.
(2)证明：令，则除切点之外，曲线在直线的下方等价于
()．
满足，且
当时，，，所以，故单调递减；
当时，同理可知单调递增．
所以，()．
所以除切点之外，曲线在直线的下方．
6.解析：
存在．
由已知得，直线恒过定点，若直线是曲线的切线
则设切点为．
∵，∴切线方程为
将代入切线方程，解得.
当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为.
因为，
①当的切线斜率时，由，解得或.
当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为.
∴与的公切线是.
②当的切线斜率时，由，解得或.
当时，，切线方程为；
当时，，切线方程为；
∴与的公切线不是
综上所述，与的公切线是，此时.
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