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高一数学必修二第二章2.1.2平面
学案
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
一、学习目标：
在认识空间几何体的基础上,以长方体为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间直线与直线之间的位置关系
重点难点：异面直线的概念
二、预习自学（阅读必修2的44～47页，并思考下列问题）
1、什么样的两直线叫做异面直线？
2、两直线同时与另外一直线平行，两直线还平行吗？
3、怎样确定两异面直线所成的角？
三、新课导学
1、空间两直线的位置关系为：
2、异面直线的定义：
画法：
3、平行公理
4、等角定理
5、异面直线所成的角
6.两条异面直线互相垂直：
例1、下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么这四条线段所在直线是异面直线的有
对
例2、如图，空间四边形中，分别是的中点.
求证:四边形是平行四边形.若加上条件AC=BD,
那么四边形是什么图形？
例3、如图,已知正方体.
(1)那些棱所在直线与直线是异面直线?
(2)直线和的夹角是多少?
(3)哪些棱所在的直线与直线垂直?
例4、如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．
当堂检测
1、填空题
(1)如图,是长方体的一条棱,长方体中与平行的棱共有
条
(2)如果,那么和
2、如图,已知长方体中,
(1)和所成的角是多少度?
(2)和所成的角是多少度?
五小结反思
六、巩固提高
1、已知是三条直线，且，与的夹角为，那么与夹角为
2、如图，是长方体的一条棱，
这个长方体中与垂直的棱共
条
3．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
( )
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
4、四面体ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，若BD,AC所成的角为，且BD=AC=1,
求EF的长度。
5、已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成角的大小．
4
3(共28张PPT)
空间中直线与直线
之间的位置关系
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们
去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所
成的角.
（难点）
平面内两条直线的位置关系?
相交直线
相交直线
（有一个公共点）
a
b
o
平行直线
平行直线
（无公共点）
a
b
a
b
c
d
e
f
空间中两条直线的位置关系?
是否存在一个平面同时过上面两条直线？
两条直线既不平
行也不相交
你还可以举出哪些生活中的例子么？
立交桥
异面直线
不同在
任何
一个平面内的两条直线
“经过这两条直线无法作出一个平面”
.
或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
A1
B1
C1
D1
C
B
D
A
如图：正方体的棱所在的直线中，与
直线A1B异面的有哪些？
答案：
D1C1、C1C、CD、
D1D、AD、B1C1
二、异面直线的画法
说明:
画异面直线时
,
为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
a
b
a
A
b
b
(1)
(3)
(2)
常见的异面直线的直观图
a与b是相交直线
a与b是平行直线
a与b是异面直线
a
b
M
不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a
b
a
b
答案：×
共面直线：
相交直线
平行直线
异面直线:
不同在任何一个平面内
空间中直线与直线的位置关系
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。(
)
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
(
)
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
(
)
?
?
?
判断对错
a
b
c
e
d
我们知道,在同一平面内,
如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察
:
将一张纸如图进行折叠
,
则各折痕及边
a,
b,
c,
d,
e,
…
之间有何关系？
a∥b
∥c
∥d
∥e
∥
…
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
例1
：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，
求证EFGH是一个平行四边形。
解题思想：
∵
EH是△ABD的中位线
∴EH
∥BD且EH
=
BD
同理，FG
∥BD且FG
=
BD
∴EH
∥FG且EH
=FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明：
连结BD
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
A
B
D
E
F
G
H
C
变式：
如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。
在空间中,结论是否仍然成立呢?
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
观察
:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,
∠ADC与∠A1D1C1
,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
答:从图中可看出,
∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC
+∠A1B1C1=180
O
D1
C1
B1
A1
C
A
B
D
三、异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四
个角,
其中不大于90度的角称为它
们的夹角,
用以刻画两直线的错开程度,
如图.
在空间,如图所示,
正方体ABCD－EFGH中,
异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?
A
B
G
F
H
E
D
C
O
(2)问题提出
(1)复习回顾
(3)解决问题
异面直线所成角的定义:
如图,已知两条异面直线
a
,
b
,
经过空间任一点O作
直线
a′∥a
,
b
′∥b
则把
a
′与
b
′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
a
b
b
′
a′
O
思想方法
:
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
a
″
这个角的大小与O点的位置有关吗
?
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直。
异面直线所成的角的范围
两异面直线所成的角
的范围是
下图长方体中
平行
相交
异面
②
BD
和FH是
直线
①
EC
和BH是
直线
③BH
和DC是
直线
B
A
C
D
E
F
H
G
(2).与棱
A
B
所在直线异面的棱共有
条?
4
分别是
：CG、HD、GF、HE
(1)说出以下各对线段的位置关系?
1.
四、应用、提高
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB
=
,
AD
=
,
AE
=
2
(1)求BC
和EG
所成的角是多少度?
(2)求AE
和BG
所成的角是多少度?
解答：
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF
=
45
o
(2)
∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
60
o
2.
A
B
G
F
H
E
D
C
2
A
B
G
F
H
E
D
C
3.
如图，正方体ABCD-EFGH中，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)AH与BD所成的角？
解:
(1)如图:
∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线
BE与CG所成的角，
又
?
BEF中∠EBF
=45
，
所以BE与CG所成的角是45
o
o
(2)
60
o
求异面直线所成的角的步骤是:
一、作(找)：作（或找）平行线
二、证：证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。
三、求：在一恰当的三角形中求出角
不同在
任何
一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
异面直线夹角的求法:
一作(找)二证三求
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
等角定理：
异面直线的画法
用平面来衬托
异面直线所成的角
平移，转化为相交直线所成的角
五、课堂小结
