1.3函数的性质 同步训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章
集合与函数概念
函数的性质同步训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知定义在R上的函数是奇函数且是增函数，若，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（
）
①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数.
A．2
B．3
C．4
D．5
5．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
6．设函数,则（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
7．函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知二次函数，且是偶函数，若满足，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．由的范围决定
D．由，的范围共同决定
二、填空题
9．若函数的单调递减区间是,则实数a的值是________.
10．函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．
11．若函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是
．
12．函数的单调递增区间为________．
三、解答题
13．如果二次函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
14．已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
15．
(1)已知在上是单调函数,求的取值范围；
(2)求的解集.
16．已知函数，
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）讨论在上的单调性，并证明你的结论.
参考答案
1．D
【解析】
选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；
选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；
选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；
选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确．
综上所述，故选．
2．D
【详解】
，
如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，
，即，解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据函数单调性解不等式，画出函数图像确定单调性是解题的关键.
3．A
【详解】
由不等式得，
是奇函数，，
，
在R上是增函数，
，
不等式的解集为.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值.
4．C
【详解】
定义在R上的函数，
①令，
则是偶函数；
②令，
则是奇函数；
③令，
则是偶函数；
④令，
则是偶函数；
⑤令，
则和的关系不确定，不能判断奇偶性.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.
5．C
【详解】
解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
6．A
【详解】
因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
7．C
【详解】
因为对任意的，有，
所以对任意的，与均为异号，
所以在上单调递减，
又函数为偶函数，即，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数单调性的定义及应用，考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.
8．B
【详解】
是偶函数，
，函数关于对称，
，，
或，
故选：B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
9．
【详解】
因为函数的单调递减区间是，
而函数的图象的对称轴为直线，所以，即.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二次函数的单调性，注意“函数的单调减区间是”与“函数在区间上是单调减函数”的区别，本题属于基础题.
10．
【详解】
函数在上是增函数，在上是减函数，
所以，，
.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据函数单调性求参数的取值，根据函数解析式求解函数值，属于简单题目.
11．（﹣2，）
【解析】
f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2.
12．
【详解】
令，解得或，
函数的定义域为.
内层函数的减区间为，增区间为.
外层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．
【详解】
解：∵函数的图象对称轴为且在区间上是增函数，
∴，即．实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次函数的单调性，一般根据对称轴与区间的位置关系来讨论，本题属于基础题.
14．（1）；（2）.
【详解】
（1）∵是定义在上的奇函数，∴.
又当时，，∴.
又为奇函数，∴，∴，
∴.
（2）当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
综上，不等式的解集用区间表示为.
【点睛】
本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
15．(1)
或；(2)
当时,不等式的解集为空集；
当时,
不等式的解集为；
当时,
不等式的解集为.
【详解】
(1)函数
的对称轴为：
因为在上是单调函数,所以有：或,解得
或；
(2)方程的两个根为：.
当时,不等式的解集为空集；
当时,
不等式的解集为；
当时,
不等式的解集为.
【点睛】
本题考查了已知函数单调性求参数问题,考查了求解一元二次不等式的解集,考查了分类讨论思想.
16．（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析.
【详解】
（1）为偶函数.
证明如下：∵，
当时，，则，，
所以；
当时，，则，，
所以；
综上所述，对于定义域内任意，都有，所以为偶函数.
（2）在上单调递减，在上单调递增.
任取，，，
因为，，所以，，
所以，当时，，，，
当时，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定证明，注意利用定义法证明函数单调性的步骤，属于中档题.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)