2.3幂函数 同步训练（含解析）
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2020-2021学年度高中数学必修一
幂函数同步训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则的值为（
）
A．-3
B．-2
C．
D．2
2．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（
）
A．16
B．
C．2
D．
3．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数在区间上的最小值是（
）
A．
B．
C．4
D．
5．已知幂函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．[－1，3]
B．
C．[－1，0）
D．
6．已知点在幂函数y＝f（x）的图象上，设，，c＝f（0.30.5），则a，b，c的大小关系是（
）
A．b＜c＜a
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
7．已知，则下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
9．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.
10．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，
，则f(-8)的值是____.
11．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．
12．已知幂函数过点，且，则实数的取值范围是________.
三、解答题
13．已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.
14．已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，
问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)15．已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.
16．已知幂函数在上单调递增，又函数.
（1）求实数的值，并说明函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】
当时，函数，此时函数的定义域为关于原地对称，且，所以函数为奇函数，且在上单调递减，满足题意；
当时，函数，此时函数满足，所以函数为偶函数，不满足题意；
当时，函数，此时函数的在上单调递增，不满足题意；
当时，函数，此时函数的在上单调递增，不满足题意.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的单调性与奇偶性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
2．D
【详解】
设幂函数，
将点代入得：，所以，
故．
故选：D.
【点睛】
本题考查求幂函数的函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
3．C
【详解】
A：的定义域为，值域为，故错误；
B：的定义域为，值域为，故错误；
C：的定义域为，值域，故正确；
D：的定义域为，值域为，故错误；
故选：.
【点睛】
本题考查指对幂函数的定义域和值域，属综合简单题.
4．A
【详解】
∵函数在区间上是减函数，
∴，
故选：A.
【点睛】
此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题
5．B
【详解】
因为幂函数，所以函数在定义域单调递增，
因为，
所以
解之得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．D
【详解】
设幂函数y＝f（x）为，因为点在幂函数y＝f（x）的图象上，所以，解得，
所以，且函数在上单调递减，
又，，，且0.，
所以
，所以a＜b＜c，
故选：D.
【点睛】
本题考查指数式，对数式比较大小，并且根据函数的单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.
7．A
【详解】
对于A，因为在单调递减，且，，故A正确；
对于B，因为在单调递增，且，，故B错误；
对于C，因为在单调递减，且，，故C错误；
对于D，因为在单调递减，且，，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.
8．C
【解析】
试题分析：若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．
考点：指数函数对数函数幂函数的性质．
9．2
【详解】
由题意可知，解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义以及性质的应用，属于基础题.
10．
【详解】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．9
【解析】
当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.
12．；
【解析】
解：幂函数过点，，解得，幂函数．
显然，是奇函数，且在上单调递增，
，即
，
，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
13．或.
【解析】
因为函数在上单调递减，所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
则原不等式可化为，
因为在，上单调递减，
所以或或，
解得或.
故的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查由幂函数的性质解不等式，属于常考题型.
14．答案见解析
【解析】
设f(x)＝xα，由题意得2＝?α＝2，∴f(x)＝x2.
同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．
(3)当?1考点：幂函数的图象.
15．
【解析】
解：因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减，
所以有，解得.
故实数的取值范围是：
【点睛】
本题考查幂函数与二次函数的单调性问题，是基础题.
16．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递增，所以，即，
即，则，
因为与均在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，
所以是奇函数，
所以不等式可变为，
由（1）知在上单调递增，所以，
解得.
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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2020-2021学年度高中数学必修一
幂函数同步训练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则的值为（
）
A．-3
B．-2
C．
D．2
2．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（
）
A．16
B．
C．2
D．
3．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数在区间上的最小值是（
）
A．
B．
C．4
D．
5．已知幂函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．[－1，3]
B．
C．[－1，0）
D．
6．已知点在幂函数y＝f（x）的图象上，设，，c＝f（0.30.5），则a，b，c的大小关系是（
）
A．b＜c＜a
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
7．已知，则下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
9．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.
10．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，
，则f(-8)的值是____.
11．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．
12．已知幂函数过点，且，则实数的取值范围是________.
三、解答题
13．已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.
14．已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，
问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
16．已知幂函数在上单调递增，又函数.
（1）求实数的值，并说明函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】
当时，函数，此时函数的定义域为关于原地对称，且，所以函数为奇函数，且在上单调递减，满足题意；
当时，函数，此时函数满足，所以函数为偶函数，不满足题意；
当时，函数，此时函数的在上单调递增，不满足题意；
当时，函数，此时函数的在上单调递增，不满足题意.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的单调性与奇偶性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
2．D
【详解】
设幂函数，
将点代入得：，所以，
故．
故选：D.
【点睛】
本题考查求幂函数的函数值，考查运算求解能力，属于基础题.
3．C
【详解】
A：的定义域为，值域为，故错误；
B：的定义域为，值域为，故错误；
C：的定义域为，值域，故正确；
D：的定义域为，值域为，故错误；
故选：.
【点睛】
本题考查指对幂函数的定义域和值域，属综合简单题.
4．A
【详解】
∵函数在区间上是减函数，
∴，
故选：A.
【点睛】
此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题
5．B
【详解】
因为幂函数，所以函数在定义域单调递增，
因为，
所以
解之得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．D
【详解】
设幂函数y＝f（x）为，因为点在幂函数y＝f（x）的图象上，所以，解得，
所以，且函数在上单调递减，
又，，，且0.，
所以
，所以a＜b＜c，
故选：D.
【点睛】
本题考查指数式，对数式比较大小，并且根据函数的单调性比较函数值的大小关系，属于中档题.
7．A
【详解】
对于A，因为在单调递减，且，，故A正确；
对于B，因为在单调递增，且，，故B错误；
对于C，因为在单调递减，且，，故C错误；
对于D，因为在单调递减，且，，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.
8．C
【解析】
试题分析：若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．
考点：指数函数对数函数幂函数的性质．
9．2
【详解】
由题意可知，解得
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了幂函数的定义以及性质的应用，属于基础题.
10．
【详解】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．9
【解析】
当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.
12．；
【解析】
解：幂函数过点，，解得，幂函数．
显然，是奇函数，且在上单调递增，
，即
，
，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
13．或.
【解析】
因为函数在上单调递减，所以，
解得.
又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
则原不等式可化为，
因为在，上单调递减，
所以或或，
解得或.
故的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查由幂函数的性质解不等式，属于常考题型.
14．答案见解析
【解析】
设f(x)＝xα，由题意得2＝?α＝2，∴f(x)＝x2.
同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．
(3)当?1
15．
【解析】
解：因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减，
所以有，解得.
故实数的取值范围是：
【点睛】
本题考查幂函数与二次函数的单调性问题，是基础题.
16．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又因为在上单调递增，所以，即，
即，则，
因为与均在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，
所以是奇函数，
所以不等式可变为，
由（1）知在上单调递增，所以，
解得.
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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